书名：皇帝新脑（第一推动丛书·综合系列）
作者：罗杰·彭罗斯
译者：许明贤,吴忠超
出版社：湖南科学技术出版社
出版时间：2018-01-01
ISBN：9787535794444
第3章 数学和实在
- 托伯列南国
- 实数
- 有多少个实数
- 实数的“实在性”
- 复数
- 芒德布罗集的构成
- 数学概念的柏拉图实在
六、 芒德布罗集的构成
1、芒德布罗集
- 芒德布罗集(Mandelbrot set)是分形几何和复动力学中一个非常有趣而又典型的集合：
平方与加法是定义芒德布罗集所需要的程序开始，这实际上就是定义芒德布罗集所需要的一切。
2、定义
- 令z为一个任意选择的复数。不管这一个复数是什么，它都由亚根平面上的某一点所代表。
- 现在考虑由下式
表出的映射，它把z由一个新的复数来取代。
这儿C为另一个固定的（也就是给定的）复数。
数在亚根平面为某一个新的点所表示。
3、几何意义
- 平方与加法程序在二维上具有完美的意义，即将点z 变成点
有一个简单的几何意义：二维中的点z 可通过其坐标(x，y)来刻画。
如图给出坐标为(x，y)的一个点以及该点与原点之间的连线，该连线与x轴的夹角为。
要得到点(x，y)的平方，可取点(x，y)到原点距离的平方以及夹角的2倍，作出新的点，其坐标为,将其记为
。
加上，得
。
每次使用同一个c值，重复上述程序。
从0 开始，若由该程序产生的点位于圆心在原点的足够大的圆内，则将c归人芒德布罗集。
4、周期点
- 加上某些特殊的数，会得到以一种固定模式循环的数列。
1）一般式
- 假设每次平方后所加的数为c，则所得数列为：
若该数列趋向于0，则最终其中一个被迭代的项必定会消失。
2）周期为2
- 考虑
这一项，它什么时候等于0?
若，则C=0或C=-1；
若C=-1，则每次加上-1，得到数列0，-1，0，-1，0，-1，…，这是一个“周期为2”的模式。
3）周期为3
- 考虑下一项
，它什么时候等于0?
c=0显然满足；
另外三个根从方程中产生。根据复杂的三次方程求根公式，可知在此情况下数值
- 用这个数作为c，可得
0,-1.75487..., -1.3247..., 0 ,-1.75487..., -1.3247...,
三步重复一次。C=-1.75487...周期为3
同理可以得到周期是4，周期是5...的数列。
要找到这些数列，只需求出c的值，使得“平方后加上c”程序的第n次迭代等于0。它们恰好可用吉尔布雷思排列来描述。
5、完整的芒德布罗集
上面的例子局限于一维的直线。而芒德布罗集属于二维。二维上有一个“平方后加上c”的概念，能使重复平方后加上c所得结果有界的c，就是 芒德布罗集上的点。
图3.2给出了芒德布罗集的图形。
x轴上介于-2和0之间的值就是上面讨论过的点。
中央大心形区域称为心形曲线。
它的四周被斑点所包围，而每一个这样的斑点又被更小的斑点所包围(以此类推，直至无穷)。
图3.2 芒德布罗集
互联网上有很多计算机程序可用来探索芒德布罗集。(随着图形的放大)越来越精细的结构不断出现。它吸引了数学、物理学和生物学上的顶尖头脑。
人们猜想，每一个斑点(大斑点，小斑点，以至无穷)都包含一个周期点。这个猜想如果得到了证明，那么，著名的“局部连通性”猜想也就迎刃而解了。
