家用量子理论笔记1

家用笔记1

位置与位置算子

让我们首先考虑一个在实线上运动的单一粒子。这样一个粒子的波函数是一个 $\psi：\mathbb{R^1\to C}$ 的映射。虽然这个映射会随着时间的推移而变化，但我们现在认为时间是固定的。函数 $|\psi(x)|^2$ 被认为是粒子位置的概率密度。这意味着粒子的位置属于某个集 $\Omega\subset\mathbb R^1$ 的概率是

$\begin{align} \int_\Omega|\psi(x)|^2\mathrm dx \end{align}$
为了让这个规则有意义， $\psi$ 应该归一化，使得

$\begin{align} {\color{blue}\left<\psi|\psi\right>}=\int_\mathbb R|\psi(x)|^2\mathrm dx=1 \end{align}$
也就是说， $\psi$ 应该是希尔伯特空间 $L^2(\mathbb R)$ 上的单位向量。

既然函数 $|\psi(x)|^2$ 是粒子位置的概率密度，那么根据概率论的标准定义，位置的期望值将是

$\begin{align} E(r)&=\int_\mathbb Rr(x)|\psi(x)|^2\mathrm dx\notag\\ &=\int_\mathbb R\bar\psi(x)\,r(x)\,\psi(x)\,\mathrm dx\notag\\ &=\left<\psi, r\psi\right>\\ \end{align}$
只要积分是绝对收敛的。这里为了抽象掉傀儡变元 $x$ ，使用指示函数 $r(x)=x$ 来表示位置这个物理量。更一般地说，我们可以将位置的任何阶矩（moment，概率论概念。即位置的某个幂的期望值）计算为

$\begin{align} E(r^m)&=\int_\mathbb Rr^m(x)|\psi(x)|^2\mathrm dx\\ \end{align}$
同样假设积分是收敛的。

量子理论的一个关键思想是用算子和相关希尔伯特空间上的内积来表达各种量（位置、动量、能量等）的期望值。在位置的情况下，希尔伯特空间就是 $L^2(\mathbb R)$ ，我们可以引入由

$\begin{align} (\hat r\psi)(x):=x\psi(x) \end{align}$
定义的位置算子 $\hat r$ ，也就是说， $\hat r$ 是“乘以 $r(x)$ ”的算子。引入这个算子的意义在于，在(3)中定义的位置的期望值现在可以表示为

$\begin{align} &\color{blue}\braket r=&E(r) &=\left<\psi, \hat r\psi\right> &=\color{blue}\bra\psi \hat r\ket\psi \end{align}$
其中内积是 $L^2(\mathbb R)$ 上通常的内积。（回顾一下，我们是按照物理学的惯例，把共轭放在内积的第一个因子上）为了避免函数E的过度重载，我们将算子 $\hat r$ 在状态 $\psi$ 中的期望值改用尖括号表示。蓝字是狄拉克记法。

在(4)中定义的位置的高阶矩也可以用位置算子来计算。

$\begin{align} \braket {r^m} &= \left<\psi, \hat r^m\psi\right> &= \color{blue}\bra\psi\hat r^m\ket\psi \end{align}$
这里，我们用积分(4)写过的矩，用算子和内积再写了一遍，可谓是听君一席话，如听一席话。然而，算子描述将促使我们用相应的算子来平行描述粒子的动量、能量或角动量的矩。

应该注意的是，对于一个给定的 $\psi \in L^2(\mathbb R)$ ， $\hat r\psi$ 可能不在 $L^2(\mathbb R)$ 中。 $\hat r$ 未能定义在我们所有的希尔伯特空间上，这反映了 $\hat r$ 是一个无界算子。即使 $\hat r\psi$ 在 $L^2(\mathbb R)$ 中， $\hat r^m\psi$ 对某些 $m$ 来说也可能不在 $L^2(\mathbb R)$ 中。尽管如此，对于 $L^2(\mathbb R)$ 中的任何单位向量 $\psi$ ，我们在 $\mathbb R$ 上都有一个定义明确的概率密度，由 $|\psi(x)|^2$ 给出。

动量与动量算符

在任何固定时间，粒子的波函数 $\psi(x)$ （根据薛定谔假设的波理论）只是一个“位置”变量 $x$ 的函数。尽管波函数 $\psi$ 通过 $|\psi(x)|^2$ 直接编码了粒子位置的概率，但关于粒子动量的信息是如何编码的并不清楚。事实证明，动量是通过波函数的振荡来编码的。量子力学的一个关键思想是德布罗意假说，作为理解氢原子玻尔模型中允许的能量的一种方式。德布罗意假说提出了波函数的振荡频率——作为固定时间内位置的函数——和它的动量之间的特殊关系。

命题 3.5 (德布罗意假说) 如果一个粒子的波函数具有空间角频率 $k$ ，那么粒子的动量 $p$ 为：

$\begin{align} p=\hbar k \end{align}$
其中 $\hbar$ 是普朗克常数。

戴维森-盖默电子衍射实验，不仅有力地支持了电子具有波动行为的观点，而且还支持了电子的动量与相关波的空间频率之间的具体关系(8)。当然，命题3.5是相当模糊的。更准确一点说，命题3.5应该是指形式为 $\phi(x)=e^{ikx}$ 的简谐波函数代表一个具有动量 $p=\hbar k$ 的粒子。这里，粒子的空间角频率 $k$ 对标的是光波的角频率 $\omega$ 。

现在，函数 $e^{ikx}$ 显然不是平方可积的，所以波函数[它应该满足归一化条件(2)]严格来说不可能是 $e^{ikx}$ 。因此，让我们简单地转而思考圆上的粒子，这样我们就可以避免某些技术问题。我们认为圆上粒子的波函数 $\psi$ 是 $\mathbb R$ 上周期 $2\pi$ 的一个函数，满足归一化条件：

$\begin{align} \int_{[0,2\pi]}|\psi(x)|^2\mathrm dx=1 \end{align}$
对于任何整数 $k$ ，说归一化的简谐波函数 $\psi(x)=e^{ikx}/\sqrt{2\pi}$ 代表一个具有动量 $p=\hbar k$ 的粒子都是有意义的。在这种情况下，我们应该认为粒子的动量是确定的，也就是说，是非随机的。如果粒子的波函数是 $e^{ikx}/\sqrt{2\pi}$ ，那么对粒子动量的测量应然（概率为1）给出数值 $\hbar k$ 。

现在，函数 $e^{ikx}/\sqrt{2\pi},k\in\mathbb Z$ ，构成了周期 $2π$ 的、平方可积的函数所成的希尔伯特空间 $L^2([0,2\pi])$ 的正交基。因此，圆上粒子的一般的波函数都可以线性表出为：

$\begin{align} \psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{k=-\infty}^\infty \hat\psi_ke^{ikx} \end{align}$
上式又称傅里叶（Fourier）反演公式，等号右边是 $\psi$ 的傅里叶级数，它在 $L^2([0,2\pi])$ 中是绝对收敛的。复数列 $\hat\psi_0,\hat\psi_1,\hat\psi_{-1},\hat\psi_2,\hat\psi_{-2}\dots$ 称作 $\psi$ 的傅里叶变换，其序号互为相反数的项互为共轭复数。这样， $\psi$ 的第 $k$ 个傅里叶系数为：

$\begin{align} \hat\psi_k=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{[0,2\pi]}\psi(x)e^{-ikx}\mathrm dx \end{align}$
如果 $\psi$ 被归一化为一个单位矢量，那么我们有普朗谢尔（Plancheral）公式：

$\begin{align} {\color{blue}\braket{\psi|\psi}_{L^2([0,2\pi])}}=\|\psi\|^2_{L^2([0,2\pi])} =\int_{[0,2\pi]}|\psi(x)|^2\mathrm dx =\sum_{k=-\infty}^\infty |\hat\psi_k|^2=1 \end{align}$
对于一个波函数由(10)给出的粒子，粒子的动量不再是确定的。相反，我们应该认为，对粒子动量的测量将产生这些值 $\hbar k, k\in\mathbb Z$ 中的一个，得到一个特定值 $\hbar k$ 的概率为 $|\hat\psi_k|^2$ ，按照基本概率论，那么，动量的期望值应该是

$\begin{align} \braket p=\sum_{k=-\infty}^\infty \hbar k|\hat\psi_k|^2 \end{align}$
而动量的更高阶矩应该是

$\begin{align} \braket {p^m}=\sum_{k=-\infty}^\infty (\hbar k)^m|\hat\psi_k|^2 \end{align}$
假设级数绝对收敛。

我们希望在动量算子 $\hat p$ 中编码动量条件(12)和(13)，它的定义应该是：对于所有由(10)给出粒子的波函数 $\psi$ ，都有 $\braket {p^m}=\left<\psi, \hat p^m\psi\right>=\color{blue}\bra\psi\hat p^m\ket\psi$ 。如果 $\hat p$ 满足

$\begin{align} \hat pe^{ikx}=\hbar ke^{ikx} \end{align}$
我们可以实现这种关系，因为那时，

$\begin{align} \left<\psi, \hat p^m\psi\right>&= \sum_{k=-\infty}^\infty\int_{[0,2\pi]} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\bar{\hat\psi}_ke^{-ikx}(\hbar k)^m\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\hat\psi_ke^{ikx}\right) \mathrm dx\notag\\ &=\sum_{k=-\infty}^\infty (\hbar k)^m|\hat\psi_k|^2=\braket {p^m} \end{align}$
满足(14)的 $\hat p$ 的（大概是唯一的）选择是

$\begin{align} \hat p=\frac\hbar i \frac {\mathrm d}{\mathrm dx} \end{align}$
现在回到实轴的设定，很自然地假设实线上的动量算子 $\hat p$ 也应该由 $\hat p=-i\hbar\,{\rm d}/{\mathrm dx}$ 给出。这个算子满足关系

$\begin{align} \hat pe^{ikx}= (\hbar k)e^{ikx} \end{align}$
这应该是为了捕捉波函数 $e^{ikx}$ 具有动量 $\hbar k$ 的想法。尽管函数 $e^{ikx}$ 关于 $x$ 来说不是平方可积的，但傅里叶变换允许我们将任何平方可积的函数建立为形如 $e^{ikx}$ 的函数的叠加（superposition，是物理学家对线性组合或其连续类似物（continuous analog thereof），即积分，所使用的术语）。这意味着[通过与(10)的类比]我们有

$\begin{align} \psi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb R \hat\psi(k)e^{ikx}\mathrm dk \end{align}$
其中 $\hat\psi(k)$ 是 $\psi$ 的傅里叶变换，定义为

$\begin{align} \hat\psi(k)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb R \psi(x)e^{-ikx}\mathrm dx \end{align}$

普朗谢尔定理告诉我们，傅里叶变换是 $L^2(\mathbb R)$ 到 $L^2(\mathbb R)$ 的一个单元映射（unitary map）。即对于任何单位矢量 $\psi\in L^2(\mathbb R)$ ：

$\begin{align} {\color{blue}\braket{\psi|\psi}=}\|\psi\|^2=\int_\mathbb R|\psi(x)|^2\mathrm dx= \int_\mathbb R\left|\hat\psi(k)\right|^2\mathrm dk=1 \end{align}$
考虑到圆的情况(11)，我们很自然地认为， $|\hat\psi(k)|^2$ 本质上是粒子动量的概率密度。（准确地说， $|\hat\psi(k)|^2$ 是空间角频率 $k=p/\hbar$ 的概率密度）

现在我们可以完全在希尔伯特空间 $L^2(\mathbb R)$ 内表达动量算子的属性，而不需要明确提及非平方可积的函数 $e^{ikx}$ 。

命题 3.6

$\begin{align} \hat p = -i\hbar\frac{\rm d}{\mathrm dx} \end{align}$
用来定义动量算子 $\hat p$ 。那么对于 $L^2(\mathbb R)$ 中所有足够好的单位向量 $ψ$ ，我们有

$\begin{align} {\color{blue}\bra\psi\hat p^m\ket\psi}= \left<\psi, \hat p^m\psi\right>=\int_\mathbb R(\hbar k)^m\left|\hat\psi(k)\right|^2\mathrm dk \end{align}$
对于所有正整数m。(22)中的量被解释为动量的m次方的期望值， $\braket {p^m}$ 。

方程(22)应与圆的情况下的(15)进行比较。

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