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家用量子理论笔记

Dirac记号

记法 3.27 $\mathbf H$ 中两向量 $\phi,\psi$ 的braket表示 $\phi$ 和 $\psi$ 的内积 $\left<\phi,\psi\right>$ ，记作 $\braket{\phi| \psi}$ 。
$\mathbf H$ 中的向量 $\psi$ 叫 ket ，记作 $\ket\psi$ 。
$\mathbf H$ 中的连续线性泛函叫 bra。对于任何向量 $\phi\in\mathbf H$ ，让 $\bra\phi$ 表示线性映射 $\psi\mapsto \left<\phi,\psi\right>$ 。

也就是说， $\bra\phi$ 是“与 $\phi$ 做内积”的泛函。
内积 $\braket{\phi| \psi}$ 就是bra泛函 $\bra\phi$ 作用于ket向量 $\ket\psi$ 的结果。
如果 $A$ 是 $\mathbf H$ 上的算子， $\phi$ 是 $\mathbf H$ 上的向量，那么我们可以形成线性泛函 $\bra\phi A$ ，表示线性映射 $\psi\mapsto\left<\phi, A\psi\right>$ ，记作 $\bra\phi A\ket\psi$ 。
这个符号强调了对这个量有两种不同的思考方式。我们既可以把 $\bra\phi A\ket\psi$ 看作是线性算子 $\bra\phi A$ 作用于向量 $\ket\psi$ ，又可以看作是线性算子 $\bra\phi$ 作用于向量 $A\ket\psi$ 。

记法 3.28 $\mathbf H$ 中两向量 $\phi,\psi$ ， $\mathbf H$ 上的线性算子 $\ket\phi\bra\psi$ 表示线性映射 $\chi\mapsto\left<\psi,\chi\right>\phi$ ，可如下式解读：

$\begin{align} \left(\ket\phi\bra\psi\right)\left(\ket\chi\right)=\ket\phi\braket{\psi|\chi}=\braket{\psi|\chi}\ket\phi \end{align}$
算子 $\ket\phi\bra\psi$ 把一个新的向量关联到每个ket向量 $\ket\chi$ 上，以唯一具有符号意义的方式：我们把 $\ket\phi\bra\psi\ket\chi$ 解释为向量 $\ket\phi$ 乘以标量 $\braket{\psi|\chi}$ 。
记法 3.29 给定H中由三个指标n、l和m标记的向量族，物理学家不将这些向量表示为 $\ket{\psi_{n,l,m}}$ ，而是简记为 $\ket{n,l,m}$ 。

这种记法并非没有缺陷。如果我们有用同一组指标的两组不同的向量，数学家可以简单地将它们标记为 $\phi_{n,l,m}$ 和 $\psi_{n,l,m}$ ，但物理学家就有问题了。
作为狄拉克符号的一个例子，假设一个算子 $\hat H$ 有一个特征向量 $\psi_n$ 组成的正交基。物理学家会这样用这个基来表达一个一般矢量的分解：

$\begin{align} I=\sum_n\ket n\bra n \end{align}$
其中 $\psi_n$ 简单表示为 $\ket n$ 。鉴于 $\ket n$ 是一个单位矢量，其中 $\ket n\bra n$ 是投到矢量 $\ket n$ 所张成的一维子空间的正交投影。

记法 3.30 在物理学文献中，复数z的复共轭被表示为 $z^*$ ，而不是像数学文献中的 $\bar z$ 。数学家称作算子 $A$ 的伴随，记作 $A^*$ 的，物理学家称作 $A$ 的赫米特共轭，记作 $A^\dagger$ 。物理学家将自伴随算子称作赫米特算符。

我们可以用狄拉克记号来表达一个算子的伴随（或赫米特共轭）的概念，具体如下。如果 $A$ 是 $\mathbf H$ 上的一个有界算子，那么 $A^\dagger$ 是唯一的有界算子，使 $\bra \psi A = \bra{A^\dagger \psi}$ 。

记法 3.31 给定正则对易关系 (canonical commutation relations) 的不可约表示 (irreducible representation)，并给定相应希尔伯特空间中的矢量 $\psi$ ，物理学家将谈论位置波函数 $\psi(x):=\braket{x|\psi}$ 。
这里， $\bra x$ 是与 ket 向量 $\ket x$ 相关的bra 泛函，其中 $\ket x$ 应该是属于位置算子的特征值 $x$ 的一个特征向量。

算子 (operators) 与其伴随 (adjoints)

量子力学中，物理量（位置、动量、能量等）用希尔伯特空间 $\mathbf{H}$ 中的算子表示。
它们是无界算子，在经典力学中对应经典相空间中的无界函数。

这里 $\mathbf{H}$ 将表示复数域 $\mathbb C$ 上的希尔伯特空间 (Hilbert space)，即完备的内积空间，而且是可分离的。
按物理学文献中的惯例，内积在第二个因子中是线性的，而在第一个因子处则表现为共轭的，反线性的。

$\begin{align} \forall \phi, \psi\in \mathbf H, \lambda \in \mathbb C\colon \left<\phi, \lambda \psi\right> = \lambda \left<\phi, \psi\right>, \left<\lambda \phi, \psi\right> = \bar \lambda \left<\phi, \psi\right> \end{align}$
算子 $A\colon \mathbf H\to\mathbf H$ 是有界的 (bounded) ，如果存在常数 $C$ 使得

$\begin{align} \forall \psi \in \mathbf H\colon \left\Vert A\psi\right\Vert \le C\left\| \psi\right\| \end{align}$
对所有的有界算子 $A$ ，都存在唯一的有界算子 $A^*$ ，称作 $A$ 的伴随 (adjoint)，使得

$\begin{align} \forall \phi, \psi\in \mathbf H\colon\left<\phi, A \psi\right> = \left<A^* \phi, \psi\right> \end{align}$
其存在性与唯一性由Riesz定理所证明。
有界算子 $A$ 称为自伴随的 (self-adjoint) ，如果 $A^*=A$ 。对线性算子来说，自伴随的一定有界，反过来说就是，无界的自伴随算子不能定义在在整个希尔伯特空间上。所以处理量子力学里面的无界算子时，需要限制定义域。

定义 3.1 $\mathbf H$ 上的莫须有界算子 (not necessarily bounded operator) $A$ 是从 $\mathbf H$ 的密集子空间 (dense subspace) $\text{Dom}(A)$ 到 $\mathbf H$ 上的线性映射。

定义 3.2 对一个 $\mathbf H$ 上的莫须有界算子 $A$ ，它的伴随 $A^*$ 定义如下：

定义域

$\begin{align} \text{Dom}(A^*):=\left\{\phi\in\mathbf H\mid\forall \psi \in \text{Dom}(A)\colon \left\vert \left<\phi, A\psi \right>\right\vert \le C\left\| \psi\right\|\right\} \end{align}$

对应法则（用布尔巴基学派的元组语言）

$\begin{align} A^*:=\left\{(\phi,\chi)\in \mathbf H^2\mid\forall \psi\in\text{Dom}(A)\colon\left<\phi, A\psi \right>=\left<\chi, \psi \right>\right\} \end{align}$
定义域中的条件，是要求泛函 $\psi\mapsto\left<\phi, A\psi \right>$ 有界。此时因为 $A$ 的定义域是密集的，所以BLT定理使Riesz定理可用，进而得到 $\chi$ 的存在性和唯一性。莫须有界的线性算子的伴随，在它的定义域上都是线性的。
定义 3.3 一个 $\mathbf H$ 上的莫须有界算子 $A$ ：
它是对称的 (symmetric)，如果

$\begin{align} \forall \phi, \psi \in \text{Dom}(A)\colon\left<\phi, A\psi \right>=\left<A\phi, \psi \right> \end{align}$
它是自伴随的，如果

$\begin{align} \text{Dom}(A^*)=\text{Dom}(A),&&\forall \phi \in \text{Dom}(A)\colon A^*\phi=A\phi \end{align}$
它是本质自伴随的 (essentially self-adjoint)，如果 $A$ 的图象 (graph) 在 $\mathbf H^2$ 中的闭包 (closure) 是一个自伴随算子的图象。

自伴随要求定义域和对应法则都要一致。
每一个（本质）自伴随的算子都对称。反之不然，因为对称而不自伴随的算子 $A$ ，它的伴随扩张了定义域。不过在 $A$ 的定义域里， $A$ 和 $A^*$ 的对应法则一致）。

命题 3.4 设 $A$ 是 $\mathbf H$ 上的对称算子。

对所有的 $\psi\in\text{Dom}(A)$ ， $\left<\psi, A\psi\right>$ 的值都是实数。进一步地，如果 $\left\{\psi,A\psi\dots A^{m-1}\psi\right\}\subset\text{Dom}(A)$ ，那么 $\left<\psi, A^m\psi\right>$ 也是实数。

设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，也就是说对一些非零的 $\psi\in\text{Dom}(A)$ ， $A\psi=\lambda\psi$ 。那么 $\lambda\in\mathbb R$ 。

在物理学上， $\left<\psi,A\psi\right>$ 代表--我们将在本章后面看到--在 $\psi$ 态中测量 $A$ 的期望值，而特征值λ代表这种测量的可能值之一。从物理学角度看，我们希望这两个数字都是实数。如果A是自伴随的，而不仅仅是对称的，那么频谱定理将给出一种典型的方法，把在实线上的概率测量关联到每个 $\psi\in\mathbf H$ ，编码了在状态ψ中的测量A的概率。

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