16. 地下水运动数学模型的 Laplace 变换解法

Laplace 变换法是将含有初始条件与边界件变换为常微分方程的边值问题，是一种求解偏微分问题的数学变换方法。

以下内容源自地下水动力学课程的补充材料。

地下水运动数学模型的 Laplace 变换解法

F1. Laplace 变换简介

Laplace 变换定义

设函数 $f(t)$ 是定义在 $(0,\infty)$ 上的实值函数，如果对于复参数 $p=\beta+j\omega$ ，积分 $F(p)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-pt}\mathrm{d}t$ 在复平面 $p$ 的某一区域内收敛，则称 $F(p)$ 为 $f(t)$ 的 Laplace 变换，记为

$F(p)=\mathscr{L}\{f(t)\}=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-pt}\mathrm{d}t$

相应地，称 $f(t)$ 为 $F(p)$ 的 Laplace 逆变换，记为

$f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F(p)\}$

简单函数的 Laplace 变换

$\begin{array}{ll} (1)& \mathscr{L}\{1\} &= \int_0^{+\infty}e^{-pt}\mathrm{d}t = -\left.\frac{1}{p}e^{-pt}\right|_0^{+\infty}=\frac{1}{p} \\ (2)& \mathscr{L}\{e^{at}\} &= \int_0^{+\infty}e^{at}e^{-pt}\mathrm{d}t =\left.\frac{1}{a-p}e^{(a-p)t}\right|_0^{+\infty}=\frac{1}{p-a},\quad(p>a)\\ (3)& \mathscr{L}\{\sin(at)\} &= \int_0^\infty\sin(at)e^{-pt}\mathrm{d}t =-\frac{e^{-pt}}{p^2+a^2}\left[p\sin(at)+a\cos(at)\right]_0^\infty \\ & & =\frac{a}{p^2+a^2},\quad (p>0)\\ (4)& \mathscr{L}\{\cos(at)\} & =\int_0^\infty\cos(at)e^{-pt}\mathrm{d}t =\frac{e^{-pt}}{p^2+a^2}\left[-p\cos(at)+a\sin(at)\right]_0^\infty \\ &&=\frac{p}{p^2+a^2},\qquad (p>0) \\ (5)& \mathscr{L}\{t^n\} &= \int_0^\infty t^ne^{-pt}\mathrm{d}t = -n!e^{-pt}\sum_{m=0}^n \left. \frac{t^{n-m}}{(n-m)!p^{m+1}}\right|_0^\infty\\ &&=\frac{n!}{p^{n+1}},\quad (p>0) \end{array}$

特殊函数的 Laplace 变换

Heaviside 阶跃函数 (Heaviside step function)：

$H(t)=\begin{cases} 0& for\quad t<0\\ 1& for\quad t \ge 0\end{cases}$

Laplace变换：

$\mathscr{L}\{H(t-t_0)\}=\frac{1}{p}\exp(-pt_0),\quad s>0$

$\delta$ 函数 (Dirac Delta function) 或脉冲函数 (Impulse function)：

$\delta(t)=\begin{cases} 0 & for\quad|t|>0 \\ \infty & for\quad t =0 \end{cases},\quad\int_{-\varepsilon}^\varepsilon\delta(t)\mathrm{d}t=1$

也可表示为

$\delta(t)=\begin{cases} 0 & for\quad|t|>\varepsilon \\ \frac{1}{2\varepsilon} & for\quad |t| \le\varepsilon \end{cases}, \quad \varepsilon\to 0$

$\delta$ 函数性质:

$\int_{-\infty}^\infty\delta(t) f(t)\mathrm{d}t=f(0)$

Laplace 变换:

$\begin{align*} \mathscr{L}\{\delta(t-t_0)\} & = \int_0^\infty \delta(t-t_0)e^{-pt}\mathrm{d}t = \lim_{\varepsilon\to 0}\int_{t_0-\varepsilon}^{t_0+\varepsilon} \frac{e^{-pt}}{2\varepsilon}\mathrm{d}t \\ & =\lim_{\varepsilon\to 0} \frac{e^{-p(t_0-\varepsilon)}-e^{-p(t_0+\varepsilon)}}{2p\varepsilon} =e^{-pt_0} \end{align*}$

即

$\mathscr{L}\{\delta(t-t_0)\}= \exp(-pt_0)$

Laplace 变换存在定理

设函数 $f(t)(t\geq0)$ 满足：

在任何有限区间上分段连续；
即存在常数 $c$ 及 $M>0$ ，使得 $|f(t)|\leq Me^{ct}$ 。

则象函数 $F(p)$ 在半平面 $\mathrm{Re} p>c$ 上一定存在且解析。

Laplace 变换性质
设

$F(p)=\mathscr{L}\{f(t)\}.\quad G(p)=\mathscr{L}\{g(t)\}$

线性性质

设 $a,b$ 为常数，则有

$\mathscr{L}\{af(t)+bg(t)\}=aF(p)+bG(p)$

$\mathscr{L}^{-1}\{aF(p)+bG(p)\}=af(t)+bg(t)$

相似性质

设 $a$ 为任一正实数，则

$\mathscr{L}\{f(at)\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{p}{a}\right)$

$\mathscr{L}^{-1}\{F(ap)\}=\frac{1}{a}f\left(\frac{t}{a}\right)$

延迟性质

设 $t<0$ 时， $f(t)=0$ ，则对任一非负实数 $\tau$ 有

$\mathscr{L}\{H(t-\tau)f(t-\tau)\}=e^{-p\tau}F(p)$

位移性质

设 $a$ 为任一复常数，则

$\mathscr{L}\{e^{at}f(t)\}=F(p-a)$

$\mathscr{L}\{e^{-at}f(t)\}=F(p+a)$

微分性质

$\begin{align*} \mathscr{L}\{f'(t)\}&=pF(p)-f(0)\\ \mathscr{L}\{f^{(n)}(t)\}&=p^nF(p)-p^{n-1}f(0)-p^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\\ F'(p)&=-\mathscr{L}\{tf(t)\}\\ F^{(n)}(p)&=(-1)^n\mathscr{L}\{t^nf(t)\} \end{align*}$

积分性质

$\begin{align*} \mathscr{L}\left\{\int_0^tf(t)\mathrm{d}t\right\}&=\frac{1}{p}F(p)\\ \mathscr{L}\left\{\frac{1}{t}f(t)\right\}&=\int_p^\infty F(p)\mathrm{d}p \end{align*}$

设函数满足： $t<0$ 时 $f_1(t)=f_2(t)=0$ ，则定义卷积如下：

$\begin{align*} f_1(t)*f_2(t)& =\int_0^tf_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm{d}\tau\\ &=\int_0^tf_1(t-\tau)f_2(\tau)\mathrm{d}\tau \end{align*}$

由上式给出的卷积满足交换律、结合律及分配律等性质。

卷积定理

$\mathscr{L}\{f_1(t)*f_2(t)\}=F_1(p)\cdot F_2(p)$

Laplace 变换与逆变换简表

序号	$f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F(p)\}$	$F(p)=\mathscr{L}\{f(t)\}$
(1)	$1$	$\frac{1}{p}$
(2)	$H(t-t_0)$	$\frac{1}{p}\exp(-pt_0)$
(3)	$\delta(t-t_0)$	$\exp(-pt_0)$
(4)	$t$	$\frac{1}{p^2}$
(5)	$t^\alpha$	$\frac{\Gamma(\alpha+1)}{p^{\alpha+1}}$
(6)	$\exp(\alpha t)$	$\frac{1}{p-\alpha}$
(7)	$t^n\exp(\alpha t)$	$\frac{n!}{(p-\alpha)^{n+1}}$
(8)	$\frac{1}{\sqrt{\pi t}}$	$\frac{1}{\sqrt{p}}$
(9)	$2\sqrt{\frac{t}{\pi}}$	$p^{-3/2}$
(10)	$\frac{1}{2\sqrt{\pi t^3}}\exp\left(-\frac{1}{4t}\right)$	$\exp(-\sqrt{p})$
(11)	$\mathrm{erfc}\left(\frac{1}{2\sqrt{t}}\right)$	$\frac{1}{p}\exp(-\sqrt{p})$
(12)	$\frac{1}{\sqrt{\pi t}}\exp\left(-\frac{1}{4t}\right)$	$\frac{1}{\sqrt{p}}\exp(-\sqrt{p})$
(13)	$2\sqrt{\frac{t}{\pi}}\exp(-\frac{1}{4t})-\mathrm{erfc}(\frac{1}{2\sqrt{t}})$	$p^{-\frac{3}{2}}\exp(-\sqrt{p})$
(14)	$t\exp(-t)$	$\frac{1}{(p+1)^2}$
(15)	$\frac{1}{t}\exp(-\frac{1}{t})$	$2K_0(2\sqrt{p})$
(16)	$E_1(\frac{1}{t})$	$\frac{2}{p}K_0(2\sqrt{p})$
(17)	$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin(2\sqrt{t})$	$p^{-\frac{3}{2}}\exp(\frac{1}{p})$
(18)	$\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(2\sqrt{t})$	$p^{-\frac{1}{2}}\exp(\frac{1}{p})$
(19)	$-\gamma -\ln t$	$(\ln p)/p$

表中： $H(t)$ — 单位阶跃函数； $\delta(t)$ — 单位阶跃函数； $\mathrm{erf}\,(t)=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^t\exp(-y^2)\,\mathrm{d}y$ — 误差函数； $\mathrm{erfc}(t)=1-\mathrm{erf}(t)=\frac{2}{\sqrt \pi}\int_t^\infty\exp(-y^2)\,\mathrm{d}y$ — 余误差函数； $K_0$ — 第二类零阶修正 Bessel 函数； $E_1(t)=\int_t^{\infty}\frac{1}{y}\exp(-y)\,\mathrm{d}y$ — 指数积分； $\gamma = 0.577\,215\,6649 \cdots$ — 欧拉常数.

Laplace 变换法是将含有初始条件与边界件变换位常微分方程的边值问题，是一种求解特殊井流问题的数学变换方法。

F2. Laplace变换法求解地下水运动数学模型

利用性质 $\mathscr{L}\{f'(t)\}=pF(p)-f(0)$ ，消除变量对 t 的导数，将含有初始条件与边界条件的问题变换为常微分方程的边值问题。

1 维问题（ $\mathrm{I-1}$ ）：

$\left\{ \begin{array}{l} a \frac{\partial^2s}{\partial x^2} = \frac{\partial s}{\partial t} \\ \mathrm{IC:}s(x,0)=0 \\ \mathrm{BC:}s(0,t)=H \\ \mathrm{BC:}s(\infty ,t)=0 \\ \end{array} \right.$

对方程做 Laplace 变换，记：

$\overline{s}(x,p)=\mathscr{L}\{s(x,t)\}=\int_0^\infty s(x,t)\exp(-pt)\mathrm{d}t$

有

$a\frac{\mathrm{d}^2\overline{s}(x,p)}{\mathrm{d}x^2}=p\overline{s}(x,p)-s(x,0)=p\overline{s}(x,p)$

上述方程的通解为

$\overline{s}(x,p)=C_1\exp\left(\sqrt{\frac{p}{a}}x\right)+C_2\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{a}}x\right)$

对边界条件做 Laplace 变换：

$\left\{\begin{array}{l} \overline{s}(\infty,p)=0\\ \overline{s}(0,p)=\frac{H}{p}\\ \end{array}\right.$

根据边界条件，有 $C_1=0,C_2=\dfrac{H}{p}$ ，因此

$\overline{s}(x,p)=H\frac{1}{p}\exp\left( -\sqrt{\frac{p}{a}}x\right)$

根据 Laplace 变换简表公式（11）：

$L^{-1}\left\{\frac{1}{p}\exp(-\alpha\sqrt{p})\right\}=\mathrm{erfc}\left(\frac{\alpha}{2\sqrt{t}}\right)$

取 $\alpha=\dfrac{x}{\sqrt{a}}$ , 得

$s(x,t)=H\mathrm{erfc}\left(\frac{x}{2\sqrt{at}}\right)$

1 维问题（ $\mathrm{I-2}$ ）：

$\left\{ \begin{array}{l} a \frac{\partial^2s}{\partial x^2} = \frac{\partial s}{\partial t} \\ \mathrm{IC:}s(x,0)=0 \\ \mathrm{BC:}s(\infty ,t)=0 \\ \mathrm{BC:}\left.\frac{\partial s}{\partial x}\right|_{x=0}=-\frac{q}{T} \\ \end{array} \right.$

对方程做 Laplace 变换，记

$\overline{s}(x,p)=\mathscr{L}\{s(x,t)\}=\int_0^\infty s(x,t)\exp(-pt)\mathrm{d}t$

有

$a\frac{\mathrm{d}^2\overline{s}(x,p)}{\mathrm{d}x^2}=p\overline{s}(x,p)-s(x,0)=p\overline{s}(x,p)$

上述方程的通解为

$\overline{s}(x,p)=C_1\exp\left(\sqrt{\frac{p}{a}}x\right)+ C_2\exp\left(-\sqrt{\frac{p}{a}}x\right)$

对边界条件做 Laplace 变换：

$\left\{\begin{array}{l} \overline{s}(\infty,p)=0\\ \left.\frac{\partial\overline{s}}{\partial x}\right|_{x=0}=-\frac{1}{p}\frac{q}{T}\\ \end{array}\right.$

根据边界条件，有 $C_1=0,C_2=\dfrac{q}{T}\sqrt{a} p^{-\frac{3}{2}}$ , 因此

$\overline{s}(x,p)=\frac{q}{T}\sqrt{a} p^{-\frac{3}{2}}\exp\left( -\sqrt{\frac{p}{a}} x\right)$

根据 Laplace 变换简表公式（13）

$\mathscr{L}^{-1}\left\{p^{-\frac{3}{2}}\exp(-\alpha\sqrt{p}) \right\} = 2\sqrt{\frac{t}{\pi}}\exp\left(-\frac{\alpha^2}{4t}\right)-\alpha\mathrm{erfc}\left(\frac{\alpha}{2\sqrt{t}}\right)$

取 $\alpha=\dfrac{x}{\sqrt{a}}$ ，得

$\begin{align*}s(x,t)&=\frac{q}{T}\sqrt{a}\left[2\sqrt{\frac{t}{\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{4at}\right)-\frac{x}{\sqrt{a}}\mathrm{erfc}\left(\frac{x}{2\sqrt{at}}\right)\right]\\ & = \frac{q}{T}\sqrt{\frac{4at}{\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{4at}\right) -\frac{qx}{T}\mathrm{erfc}\left(\frac{x}{2\sqrt{at}}\right)\\ & = \frac{q}{T}\left[\frac{1}{\sqrt{\pi}u}\exp(-u^2)-\mathrm{erfc}(u)\right] \end{align*}$

式中， $u^2=\frac{x^2}{4at}$ .

2 维问题（ $\mathrm{II-1}$ ）：

记 $s= H_0-H$ ，数学模型：

$\left\{\begin{array}{ll} a\left(\frac{\partial^2{s}}{\partial{r^2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial{s}}{\partial{r}}\right)= \frac{\partial{s}}{\partial{t}}&t>0,0<r<\infty\\ \mathrm{IC:}s(r,0)=0&0<r<\infty\\ \mathrm{BC:}s(\infty,t)=0,\lim\limits_{r\to\infty } \left(\frac{\partial{s}}{\partial{r}}\right)=0&t>0\\ \mathrm{BC:}\lim\limits_{r\to 0} \left(r\frac{\partial{s}}{\partial{r}}\right)=-\frac{Q}{2\pi T} & \end{array}\right.$

式中， $a=\frac{T}{S}$ 。

记

$\overline{s}(r,p)=\mathscr{L}\{s\}=\int_0^\infty s(r,t)e^{-pt}\mathrm{d}t$

对方程两边做 Laplace 变换，并使用初始条件 $s(r,0)=0$ ，得：

$\frac{\mathrm{d}^2\overline{s}}{\mathrm{d}r^2}+\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}\overline{s}}{\mathrm{d}r}-\frac{p}{a}\overline{s}=0$

此为 0 阶修正 Bessel 方程，通解为：

$\overline{s}=C_1I_0\left(\sqrt{\frac{p}{a}}r\right)+C_2K_0\left(\sqrt{\frac{p}{a}}r\right)$

对边界条件做 Laplace 变换：

$\left\{\begin{array}{l} \overline{s}(\infty,p)=0\\ \left.r\frac{\partial\overline{s}}{\partial r}\right|_{r=r_w}=-\frac{1}{p}\frac{Q}{2\pi T}\\ \end{array}\right.$

根据边界条件，有 $C_1=0,C_2=\frac{Q}{2\pi T}\frac{1}{p}\frac{1}{\sqrt{\frac{p}{a}}r_wK_1\left(\sqrt{\frac{p}{a}}r_w\right)}$ ，因此

$\overline{s}=\frac{Q}{2\pi T}\frac{1}{p}\frac{K_0\left(\sqrt{\frac{p}{a}}r\right)}{\sqrt{\frac{p}{a}}r_wK_1\left(\sqrt{\frac{p}{a}}r_w\right)}$

设 $r_w\to0$ ，因为 $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}xK_1(x)=1$ ，所以有

$\overline{s}\doteq \frac{Q}{4\pi T}\frac{2}{p}K_0\left(\sqrt{\frac{p}{a}}r\right)$

根据 Laplace 变换简表公式（16）：

$\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{2}{p}K_0(2\sqrt{p})\right\}=E_1\left(\frac{1}{t}\right)$

及 Laplace 变换相似性：

$\mathscr{L}^{-1}\left\{F(bp)\right\}=\frac{1}{b}f\left(\frac{t}{b}\right)$

有

$\overline{s}\doteq \frac{Q}{4\pi T}\frac{2}{p}K_0\left(\sqrt{\frac{p}{a}}r\right)=\frac{Q}{4\pi T}\frac{r^2}{4a}\frac{2}{\frac{r^2}{4a}p}K_0\left(2\sqrt{\frac{r^2}{4a}p}\right)$

取 $b=\frac{r^2}{4a}$ ：

$s=\frac{Q}{4\pi T}E_1\left(\frac{r^2}{4at}\right)=\frac{Q}{4\pi T}\int_{\frac{r^2S}{4Tt}}^\infty \frac{e^{-y}}{y}\mathrm{d}y$

2 维问题（ $\mathrm{II-2}$ ）：Jacob-Lohman 公式

做无量纲变量代换，记 $\overline{r}=\frac{r}{r_w},\overline{t}= \frac{at}{r_w^2}$ ，定解问题变为

$\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial^2s}{\partial\overline{r}^2}+\frac{1}{\overline{r}}\frac{\partial s}{\partial\overline{r}}= \frac{\partial s}{\partial\overline{t}}&\overline{t}>0,1<\overline{r}<\infty\\ s(\overline{r},0)=0,&1<\overline{r}<\infty\\ s(\infty,\overline{t})=0,&\overline{t}>0\\ s(1,\overline{t})=s_w,&\overline{t}>0\\ \end{array}\right.$

对方程两边做 Laplace 变换，并使用初始条件 $s(r,0)=0$ ，得：

$\frac{\mathrm{d}^2\overline{s}}{\mathrm{d}\overline{r}^2}+\frac{1}{\overline{r}}\frac{\mathrm{d}\overline{s}}{\mathrm{d}\overline{r}}-p\overline{s}=0$

此为 0 阶修正 Bessel 方程，通解为：

$\overline{s}=C_1I_0\left(\sqrt{p}\overline{r}\right)+C_2K_0\left(\sqrt{p}\overline{r}\right)$

对边界条件做 Laplace 变换：

$\left\{\begin{array}{l} \overline{s}(\infty,p)=0\\ \overline{s}(1,\overline{t})=\frac{s_w}{p}\\ \end{array}\right.$

根据边界条件，有 $C_1=0,C_2=\frac{s_w}{p}\frac{1}{K_0(\sqrt{p})}$ ，因此

$\overline{s}=\frac{s_w}{p}\frac{K_0(\sqrt{p}\overline{r})}{K_0(\sqrt{p})}$

记

$\overline{A}(\overline{r},p)=\frac{K_0(\sqrt{p}\overline{r})}{pK_0(\sqrt{p})},\qquad \overline{s}=s_w \overline{A}(\overline{r},p)$

$A(\overline{r},\overline{t})=\mathscr{L}^{-1}\{\overline{A}(\overline{r},p)\}$

则有

$s=s_wA(\overline{r},\overline{t})$

式中， $A(\overline{r},\overline{t})$ 称为降深函数。

记 $Q_w$ 为自流井流量， $\overline{Q}_w$ 为 $Q_w$ 的 Laplace 变换。有

$\overline{Q}_w =-2\pi \overline{r} T\left.\frac{\partial \overline{s}}{\partial \overline{r}}\right|_{\overline{r}=1}=2\pi T\frac{s_w}{p}\frac{\sqrt{p}K_1(\sqrt{p})}{K_0(\sqrt{p})}$

记

$G(\overline{t})=\mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{K_1(\sqrt{p})}{\sqrt{p}K_0(\sqrt{p})}\right\}$

有

$Q_w=2\pi Ts_w G(\overline{t})$

式中， $G(\overline{t})$ 称为流量函数， $\overline{t}=\frac{at}{r_w^2}$ 。

2 维问题（ $\mathrm{II-3}$ ）：Hantush-Jacob 公式

数学模型：

$\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial^2{s}}{\partial{r^2}}+ \frac{1}{r}\frac{\partial{s}}{\partial{r}} -\frac{s}{B^2}=\frac{1}{a} \frac{\partial{s}}{\partial{t}}&t>0,r_w<r<\infty\\ s(r,0)=0,&r_w<r<\infty\\ s(\infty,t)=0,&t>0\\ \lim\limits_{r\to 0}\left(s\frac{\partial s}{\partial t}\right)=-\frac{Q}{2\pi T},&t>0\\ \end{array}\right.$

式中， $a=\frac{T}{S}$ 。

对方程两边做 Laplace 变换，并使用初始条件 $s(r,0)=0$ ，得：

$\frac{\partial^2\overline{s}}{\partial{r^2}}+ \frac{1}{r}\frac{\partial\overline{s}}{\partial{r}} -\left(\frac{p}{a}+\frac{1}{B^2}\right)\overline{s}=0$

同 Theis 模型，其解为：

$\overline{s}=\frac{Q}{4\pi T}\frac{2}{p}K_0\left(\sqrt{\frac{p}{a}+\frac{1}{B^2}}r\right)=\frac{Q}{4\pi T}\frac{2}{p}K_0\left(2\sqrt{\frac{r^2}{4a}\left(p+\frac{a}{B^2}\right)}\right)$

记 $\alpha=\frac{r^2}{4a},\beta=\frac{a}{B^2}$ ，由 Laplace 变换简表公式（15）：

$\mathscr{L}^{-1}\{2K_0(2\sqrt{p})\} =\frac{1}{t}\exp\left(-\frac{1}{t}\right)=f(t)$

及相似性，有

$\mathscr{L}^{-1}\{2K_0(2\sqrt{\alpha p })\} =\frac{1}{\alpha}f\left(\frac{t}{\alpha}\right)=\frac{1}{t}\exp\left(-\frac{\alpha}{t}\right)$

根据位移性质，有

$\mathscr{L}^{-1}\{2K_0(2\sqrt{\alpha (p+\beta) })\}=\exp(-\beta t)\frac{1}{t}\exp\left(-\frac{\alpha}{t}\right) =\frac{1}{t}\exp\left(-\beta t-\frac{\alpha}{t}\right)$

利用卷积计算 $\mathscr{L}^{-1}\{\frac{4\pi T \overline{s}}{Q}\}$ ：

$\frac{4\pi T s}{Q}=\int_0^t 1\cdot \frac{1}{\tau}\exp\left(-\beta \tau-\frac{\alpha}{\tau}\right)\mathrm{d}\tau$

做变量代换 $y=\frac{\alpha}{\tau}$ ：

$\begin{align*} \frac{4\pi T s}{Q} & =\int_\infty^{\frac{\alpha}{t}} \frac{y}{\alpha}\exp\left(-\frac{\alpha\beta}{y}-y\right)\left(-\frac{\alpha}{y^2}\right)\mathrm{d}y\\ &= \int_{\frac{r^2}{4at}}^\infty\frac{1}{y}\exp\left(-y-\frac{r^2}{4B^2y}\right)\mathrm{d}y \end{align*}$

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16. 地下水运动数学模型的 Laplace 变换解法

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