关于Bessel函数作为“特殊”常微分方程函数，会出现在很多物理模型，这里给出我第一次时候从柱坐标推导出它的完整过程，（一开始我一直以为只有极坐标或者柱坐标能遇见这个东西，后面我发现其实不用柱坐标貌似也可以推出来......下一次就举一个例子。）这次主要是想聊一下2D情况下的分离变量，并通过一统操作引出Bessel方程，对他的样子有一个初步的认识。(大部分都是数学公式，如果学习《数理方程》的可能对于推导上有些许帮助)
二维情况
强调一下，不管对于任何形式PDE的分离变量只适用于BC为齐次的情况下。对于非齐次的拉普拉斯方程，我们可以通过适当的修正调整，将BC变成齐次BC进而进行分离变量。
1.1 矩形域：
假设有这么一个正方形区域：
∆U = 0；（x,y）∈(a,b)*(c,d)
U(a,y) = f(y), y∈[c,d];
U(b,y) = g(y), y∈[c,d];
U(x,c) = h(x), x∈[a,b];
U(x,d) = k(x), x∈[a,b];
再修正之前，考虑这么一个问题，如果现在让两两对边的BC为齐次，那么不能逃避的问题就是四对角的处理，最理想最干脆的做法就是，上来就将四对角认作是0，同时还不能改变原本的初始方程，为此：引入一个调和方程P（x,y），由于∆P=0，加到原方程上对原方程没有任何影响。例如：P（x,y） = a0+a1x+a2y+a3xy。这里的调和方程只要关于x，y是调和方程就行，不唯一。
于是，进行四对角处理：
再将原本的U函数变换成W函数，w函数的表达式为：W = U+p这样W函数就可以满足四对角为0的条件了。同时，处理的时候我们考虑两两对边处理，所以我们对W表达式进一步写为：W = W1+W2 = U+p。这样的话原方程就化为了两组齐次边界的PDE方程。
对于W1：
对于W2：
求解W1：利用分离变量法：
设：W1 = X（x）Y（y）带入方程，得：X‘’Y+XY‘’=0，于是有：
考虑到齐次BC，得到关于Y得方程：
So easy,直接按照之前的推论得：
关于X得方程，解是关于e的函数，可以利用双曲函数来作为基函数：
于是带入：W1 = X*Y。并带入边界条件和初始条件即可求解；W2的方法和W1一样！
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1.2 ⚪域
利用极坐标的形式：
假设它是齐次边界条件，同样利用分离变量的思想，有：
带入原方程有：
这里因为圆形本身是具有周期性质的，所以这个BC就是一个天然的周期性边界条件，即：
得到的本征值和本征函数符合之前说的S-L问题的结论，有：
整理带入方程，得到经典的欧拉方程：
关于它的解，可以写成：
然后就可以利用最开始设定的U表达式，将两者乘起来：
关于系数的求解，就是将边界条件和初始条件带入，相同项合并，另系数等于零之后求得。
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1.3 柱坐标下的分离变量：
Laplace方程在柱坐标下的表达式为：
设分离变量的形式：
代入上式，得：
求解移项整理，得：
利用之前得思路，引入一个本征值：
将这个方程写成方程组得形式：
对于（2）式，利用上面圆域得结果有：
将（3）带入（1）并整理移项得：
发现（4）就有意思了，这种形式不就是我们最开始所说的等式两边两种变量形式吗？目的就是为了可以利用引入本征值v。于是，我们定义：
还是讨论v的不同值下的情况：
当v = 0：
求解：
当v > 0：
经过一系列的推导，过程中将设：
得：
求解（5）就可以得到我费了好大劲要得到的N阶Bessel方程：
当v<0:
为了方便计算，设-v=k^2>0:
此时，如果我把-v=k^2带入到（7）中，方程化成：
仔细看这个（7）和（8）的表达式，就是（7）中的x变成了（8）中的ix。所以有（8）就是“虚宗量的Bessel方程”。
因为我这里就是想说明Bessel方程的导出过程和形式，所以关于亥姆霍兹方程的内容我就不再赘述，有兴趣可以查找相关资料。
