数理方程中的Fourier变换和Laplace变换

笔者刚学《数理方程》不久，本文以巩固自身学习和共享交流探讨为目的，有不对的地方欢迎交流批评指正。
为了内容不过于繁杂（打字太累），主要以思路为主，不保证绝对严谨，请谅解。

本文目录

Laplace变换的由来
傅里叶变换的性质
一个例子：傅里叶变换解热传导方程柯西问题
Laplace变换简介
傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别
其他注记

Laplace变换的由来

在数学分析中，已学过周期函数可以展开成三角函数的级数（即傅里叶级数），不妨设f(x)以2T为周期，则在(-T,T]上的展开为：
$f(t) = a_0/2 + \sum_{n=1}^\infty \left (a_n \cos(\frac{n\pi t}{T}) + b_n \sin(\frac{n\pi t}{T}) \right )$ $a_0 = \frac{1}{T}\int_{-T}^Tf(t)dt$ $a_n = \frac{1}{T}\int_{-T}^Tf(t)\cos(\frac{n\pi t}{T})dt$ $b_n = \frac{1}{T}\int_{-T}^Tf(t)\sin(\frac{n\pi t}{T})dt$ 现在，我们希望得到一个对于一般函数（以一维为例，定义域为R）的类似的展开式。
若 $f(x)$ 满足条件：在任意有限区间上分段光滑且在R上绝对可积（此条件为一个函数傅里叶变换存在的充分条件），则可将傅里叶展开中的级数求和部分写成积分：
$f(x) = \int_0^{+\infty}[a(\omega)\cos(\omega x) + b(\omega)\sin(\omega x)]d\omega$ $a(\omega) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos(\omega t)dt$ $b(\omega) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin(\omega t)dt$ （上式的正确性证明略过）
将a和b代入f，并将三角函数部分合并，得到傅里叶积分公式：
$f(x) =\frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty}d\omega \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos \omega (x-t)dt$ 再由欧拉公式 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ ，有
$e^{i\omega (x-t)} = \cos \omega (x-t) + i\sin \omega (x-t)$ 由sin部分对 $\omega$ 是奇函数，积分为0，cos部分是偶函数，因此傅里叶积分公式可用e表示为：
$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega x}d\omega \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t}dt$ 可令 $F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t}dt$ 则 $f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)e^{i\omega x}d\omega$ 以上两式分别为傅里叶变换和傅里叶逆变换。

傅里叶变换的性质

（证明略，由定义即可证明）

线性性质
$F[c_1 f_1 + c_2 f_2] = c_1F[ f_1] + c_2F[ f_2]$
微分性质（将微分运算变为代数运算，可使偏微分方程变常微分方程）
$F[f'(x)] = i\omega F[f(x)]$
乘多项式
$F[x·f(x)] = i\frac{d}{d\omega}F[f(x)]$
卷积性质（第二条常用于求傅里叶逆变换）
$F[(f_1*f_2)(x)] =F[f_1(x)]·F[f_2(x)]$ $F[f_1·f_2] =\frac{1}{2\pi}F[f_1]*F[f_2]$

一个例子：傅里叶变换解热传导方程柯西问题

热传导方程柯西问题：
$\left\{\begin{matrix} u_t = a^2u_{xx} + f(x,t)\;\;-\infty<x<+\infty,t>0 \\ u|_{t=0} = \varphi(x)\;\;-\infty<x<+\infty \end{matrix}\right.$ 用 $\hat u,\hat f$ 表示u和f关于变量x的傅里叶变换，即 $\hat u(\omega,t) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(x,t) e^{-i\omega x}dx$ $\hat f(\omega,t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,t) e^{-i\omega x}dx$ 对方程的第一行两边关于x作傅里叶变换，并利用微分性质，有
$\frac{d\hat u}{dt} =-a^2\omega^2\hat u(\omega,t) + \hat f(\omega,t)$ 对方程的第二行（初始条件）也作傅里叶变换，得
$\hat u(\omega,t)|_{t=0} = \hat \varphi(\omega)$ 得到了一个（可解的）含参量 $\omega$ 的常微分方程。
常微分方程的解为
$\hat u(\omega,t) = \hat \varphi (\omega) e^{-a^2\omega^2t} + \int_0^t \hat f (\omega, \tau) e^{-a^2\omega^2(t-\tau)}d\tau$ 再做傅里叶逆变换，得原方程的解：
$u(x,t) = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}} \int_{-\infty} ^{ + \infty} \varphi ( \xi) e^{-\frac{(x - \xi)^2}{4 a^2 t}} d\xi + \frac{1}{2a\sqrt{\pi}} \int_0^t d\tau \int_{-\infty}^{ + \infty } \frac{f( \xi, \tau)}{ \sqrt{ t - \tau }} e^{-\frac{(x - \xi)^2}{4 a^2 (t - \tau)}} d\xi$ 以上就是应用傅里叶变换解偏微分方程的过程。

Laplace变换简介

因为与傅里叶变换类似，直接给出
拉普拉斯变换的公式： $g(p) = \int_0^{+\infty} f(t)e^{-pt}dt$ 拉普拉斯变换存在的条件：f在 $[0,+\infty)$ 内分段光滑且 $\int_0^{+\infty} f(t)e^{-pt}dt$ 收敛。
拉普拉斯变换的性质：

微分性质
$L[f'(x)] = p L[f(x)] - f(0)$ $L[f^{(n)}(x)] = p^n L[f(x)] - p^{n-1}f(0) - p^{n-2}f'(0) - ... - f^{(n-1)}(0)$
卷积性质
$L[(f_1*f_2)(x)] =L[f_1(x)]·L[f_2(x)]$
积分性质（由微分性质推广）
$L[ \int_0^t f(t)dt] = \frac{1}{p}L[f(t)]$

傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别

变换后的积分区间不同，傅里叶变换对R积分，拉普拉斯变换只对正半轴积分。
变换的存在条件不同。拉普拉斯变换的条件较为苛刻。
性质有些许区别。比如说微分性质，傅里叶变换比拉普拉斯变换更加漂亮、干净，这是由于存在条件苛刻带来的好处。

由于这些区别，我们应灵活选用不同变换处理不同情况。

其他注记

限于篇幅不举更多例子了，直接说一些需要注意的地方。
傅里叶变换和拉普拉斯变换是解决偏微分方程的重要方法，尤其对于定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 和 $(0,\infty)$ 的问题。变换方法不仅可用于热传导方程，对其他种类、高阶的方程同样适用。
在使用的时候，我们需要考虑：对哪个变量做变换（x或t）、做什么变换，这些需要根据问题的条件具体考虑。比如，如果对我们的例子（热传导方程柯西问题）对t做拉普拉斯变换，就会得到
$p\hat u(x;p) - \varphi(x) = a^2 \frac{d^2\hat u(x;p)}{dx^2} + \hat f(x;p)$ 由于拉普拉斯变换的微分性质，原方程的两个等式在变换后仅得到一个等式的二次常微分方程，条件不够无法得到常微分方程的解。