第二章控制系统的数学模型

控制系统的数学模型是描述系统内部物理量或变量间的数学表达式

静态数学模型：在静态条件下描述变量之间关系的代数方程

动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程

建立控制系统数学模型

分析法：根据物理规律和化学规律列出方程式

实验法：施加信号，记录响应，用适当的数学模型进行逼近

时域：微分方程、差分方程和状态方程
复数域：传递函数和结构图
频域：频域特性

2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换

由于在《信号与线性系统分析》已对此进行深入讲解，此处不赘述。

请参见博主在《信号与线性系统分析》中的具体阐述。

2.2 控制系统的时域数学模型

2.2.1 控制系统微分方程的建立

先由系统原理图画出系统方块图并分别列写出组成系统各元件的微分方程；然后消去中间变量便得到输出量与输入量之间关系的微分方程。

2.2.2 非线性微分方程的微分化

严格地说，实际物理元件或系统都是非线性化的。在一定条件下，为了简化数学模型，可以视为线性元件。除此之外，还有一种线性化方法称为切线法或小偏差法

注：此思想在模拟电子技术基础中将非线性的三极管变为线性的思想一致

设 $y=f(x)$ ，取点 $x_{0}$ ，则有 $y_{0}=f(x_{0})$ ，对 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处进行泰勒展开：

$y=f(x)=f(x_{0})+(\frac{df(x)}{x})_{x_{0}}+\frac{1}{2!}(x-x_{0})+(\frac{d^2f(x)}{dx^2})_{x_{0}}(x-x_{0})^2+\cdots$

当增量 $x-x_{0}$ 很小时，略去其高次项，则有

$y-y_{0}=f(x)-f(x_{0})=(\frac{df(x)}{x})_{x_{0}}$

令 $\Delta y=y-y_{0}=f(x)-f(x_{0})$ ， $\Delta x= x-x_{0}$ ， $K=({df(x)}/{x})_{x_{0}}$

略去增量符号 $\Delta$ ，便得到函数 $y=f(x)$ 在 $x_{0}$ 点附近的线性化方程

$y=Kx$

2.3 控制系统的复数域数学模型

2.3.1 传递函数的定义和性质

线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

设线性定常系统由下述 $n$ 阶线性常微分方程描述

$a_{0}\frac{d^{n}}{dt^{n}}c(t)+a_{1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}c(t)+\cdots+a_{n-1}\frac{d}{dt}c(t)+a_{n}c(t)=\\b_{0}\frac{d^{m}}{dt^{m}}r(t)+b_{1}\frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}r(t)+\cdots+b_{m-1}\frac{d}{dt}r(t)+b_{m}r(t)$

$c(t)$ 是系统输出量
$r(t)$ 是系统输入量
$a_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 和 $b_{j}(j=1,2,\cdots,m)$ 是与系统结构和参数有关的常系数

对上式两端同时作拉普拉斯变换：

$[a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{n-1}s+a_{n}]c(s)=[b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+b_{m-1}s+b_{m}]R(s)$

$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+b_{m-1}s+b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{n-1}s+a_{n}}$

传递函数的性质

传递函数是复变量 $s$ 的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质； $m \leq n$ 且所有系数均为实数
传递函数只取决于系统或元件的结构和参数
由定义可知：传递函数与微分方程具有相通性
传递函数 $G(s)$ 的拉式反变换是冲激响应 $g(t)$

2.3.2 传递函数的零点和极点

传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后可写为如下形式：

$G(s)=\frac{b_{0}(s-z_{1})(s-z_{2})\cdots(s-z_{m})}{a_{0}(p-z_{1})(s-p_{2})\cdots(s-p_{n})}=K^{\ast}\frac{\prod_{i=1}^{m}(s-z_{i})}{\prod_{j=1}^{n}(s-p_{j})}$

$z_{i}(i=1,2,\cdots,m)$ 是分子多项式的零点，称为传递函数的零点

$p_{j}(j=1,2,\cdots,n)$ 是分母多项式的零点，称为传递函数的极点

系数 $k^{\ast}={b_{0}}/{a_{0}}$ ，称为传递系数或根轨迹增益

2.3.3 传递函数的极点和零点对输出的影响

系统传递函数的极点就是系统微分方程的特征根，因此它们决定了所描述系统自由运动的形态，称之为模态，而且在强迫运动中(即零初始条件响应中)也会包含这些自由运动的模态。

设某系统的传递函数为：

$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{6(s+3)}{(s+1)(s+2)}$

显然，其极点 $p_{1}=-1, p_{2}=-2$ ，零点 $z_{1}=-3$ ，其自由运动的模态是 $e^{-t}$ 和 $e^{-2t}$ 。

取一个输入 $r(t)=R_{1}+R_{2}e^{-5t}$ ，可求得系统的零状态响应：

$c(t)=9R_{1}-R_{2}e^{-5t}+(3R_{2}-12R_{1})e^{-t}+(3R_{1}-2R_{2})e^{-2t}$

式中，前两项具有与输入函数 $r(t)$ 相同的模态，后两项中包含了由极点-1和-2形成的自由运动模态，这是系统的固有成分，但其系数与输入函数有关。

传递函数的极点可以受到输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态

设具有相同极点但零点不同的传递函数分别为：

$G_{1}(s)=\frac{4s+2}{(s+1)(s+2)} \quad G_{2}(s)=\frac{1.5s+2}{(s+1)(s+2)}$

在零初始条件下，它们的单位阶跃响应分别是

$c_{1}(t)=1+2e^{-t}-3e^{-2t} \quad c_{2}(t)=1-0.5e^{-t}-0.5e^{-2t}$

传递函数的零点并不形成自由运动的模态，但它们却影响各模态响应中所占的比重，因而也影响响应曲线的形状

2.4 控制系统的结构图与信号流图

控制系统的结构图和信号流图都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形。但是信号流图只适用于线性系统，而结构图也可用于非线性系统。

2.4.1 系统结构图的组成和绘制

信号线：信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。

引出点(或测量点)：引出点表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。

比较点(或综合点)：比较点表示对两个以上的信号进行加减运算，"+"表示相加，"-"表示相减，"+"号可省略不写。

方框(或环节)：方框表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统的传递函数

绘制系统结构图时，首先考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数并把它们用方框表示，根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方框连接。

2.4.2 结构图的等效变换和简化

结构图中方框间的基本连接只有串联、并联、和反馈连接。简化的一般方法是移动引出点或比较点，交换比较点进行方框运算。在简化过程总应遵循变换前后变量关系保持等效的原则——前向通路中传递函数的成绩，回路中传递函数的乘积保持不变。

串联

由图可知：

$U(s)=G_{1}(s)R(s) \quad C(s)=G_{2}(s)U(s)$

由上式消去中间变量 $U(s)$ 得

$C(s)=G_{1}(s)G_{2}(s)R(s)= G(s)R(s)$

由此可知，两个方框串联连接的等效方框，等于各个方框传递函数之乘积啊是大。这个结论可推广到 $n$ 个串联方框情况。

并联

由图可知：

$C_{1}(s)=G_{1}(s)R(s) \quad C_{2}(s)=G_{2}(s)R(s) \quad C(s)=C_{1}(s)+ C_{2}(s)$

由上式消去 $C_{1}(s)$ 和 $C_{2}(s)$ 得

$C(s)=[G_{1}(s)\pm G_{2}(s)]R(s)=G(s)R(s)$

由此可知，两个方框并联连接的等效方框，等于各个方框传递函数的代数和。这个结论可推广到 $n$ 个并联方框情况。

反馈

"+"号为正反馈，"-"号为负反馈

由图可知：

$c(s)=G(S)E(S) \quad B(s)=H(s)C(s) \quad E(s)=R(s) \pm B(s)$

消去中间变量 $E(s)$ 和 $R(s)$ 得

$C(s)\frac{G(s)}{1 \mp G(s)H(s)}R(s)=\Phi(s)R(s)$

其中 $\Phi(s)$ 称为闭环传递函数、 $G(s)$ 称为前向通路传递函数、 $G(s)H(s)$ 称为开环传递函数。

比较点和引出点的移动

"-"号可以在信号线上越过方框移动，但不能超过比较点和引出点。

比较点前移

由图可知

$C(s)=R(s)G(s) \pm Q(s)=[R(s) \pm \frac{Q(s)}{G(s)}]G(s)$

比较点后移

由图可知

$C(s)=[R(s) \pm Q(s)]G(s)=R(s)G(s) \pm Q(s)G(s)$

引出点前移

由图可知

$G(s)R(s)=C(s)$

引出点后移

由图可知

$R(s)=R(s)G(s)\frac{1}{G(s)}$

2.4.3 信号流图的组成及性质

《信号与线性系统分析》已具体讲述，此处不赘述

请参见博主在《信号与线性系统分析》中的具体阐述。

2.4.4 信号流图的绘制

由系统微分方程绘制：进行拉普拉斯变换。

由系统结构图绘制：只需在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号便得到结点。用标有传递函数的线段代替结构图中的方框便得到支路。

2.4.5 梅森公式

《信号与线性系统分析》已具体讲述，此处不赘述

请参见博主在《信号与线性系统分析》中的具体阐述。

2.4.6 闭环系统的传递函数

一个典型的反馈控制系统的结构图和信号流图如下图所示，其中 $R(s)$ 和 $N(s)$ 都是施加于系统的外作用， $R(s)$ 是有用输入作用，简称输入信号； $N(s)$ 是扰动作用； $C(s)$ 是系统的输出信号。

输入信号下的闭环传递函数

应用叠加原理，令 $N(s)=0$ ，由基本反馈可知：

$\Phi(s)=\frac{G_{1}(s)G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

扰动作用下的闭环传递函数

应用叠加原理，令 $R(s)=0$ ，简单变换结构图可得：

$\Phi_{n}(s)=\frac{G_{2}(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

显然，当输入信号 $R(s)$ 和扰动作用 $N(s)$ 同时作用时系统的输出为

$\sum C(s)=\frac{1}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}[G_{1}(s)G_{2}(s)R(s)+G_{2}(s)N(s)]$

当 $|G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)| \gg1$ 时，

$\sum C(s)=\frac{1}{G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}[G_{1}(s)G_{2}(s)R(s)+G_{2}(s)N(s)]=\frac{R(s)}{H(s)}+\frac{N(s)}{G_{1}(s)H(s)}$

由于 $N(s)$ 较小，当 $|G_{1}(s)H(s)| \gg1$ 时

$\sum C(s)=\frac{1}{H(s)}R(s)$

表明在一定条件下，系统的输出只取决于反馈通路 $H(s)$ 及输入信号 $R(s)$

在模拟电子技术基础中，称之为深度负反馈。

闭环系统的误差传递函数

闭环系统在输入信号和扰动作用时，以误差信号 $E(s)$ 作为输出量时的传递函数称为误差传递函数。由简单的结构图变换可得：

$\Phi_{e}(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

$\Phi_{en}(s)=\frac{E(s)}{N(s)}=\frac{-G_{2}(s)H(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}$

开环传递函数

由上述分析可知，其各种闭环系统传递函数分母均相同，其中 $G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)$ 是回路增益，并成为系统的开环传递函数等效为主反馈断开，从输入信号 $R(s)$ 到反馈信号 $B(s)$ 之间的传递函数。

最后编辑于：2019.10.23 14:11:18

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第二章 控制系统的数学模型

2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换

2.2 控制系统的时域数学模型

2.2.1 控制系统微分方程的建立

2.2.2 非线性微分方程的微分化

2.3 控制系统的复数域数学模型

2.3.1 传递函数的定义和性质

2.3.2 传递函数的零点和极点

2.3.3 传递函数的极点和零点对输出的影响

2.4 控制系统的结构图与信号流图

2.4.1 系统结构图的组成和绘制

2.4.2 结构图的等效变换和简化

2.4.3 信号流图的组成及性质

2.4.4 信号流图的绘制

2.4.5 梅森公式

2.4.6 闭环系统的传递函数

2.4.6 闭环系统的传递函数

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第二章控制系统的数学模型