同济高等数学第七版2.1习题精讲（续）

5、证明 $(cosx)'=-sinx$

证明： $(cosx)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{cos(x+\Delta x)-cosx}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-2sin(x+\frac{\Delta x}{2})sin{\frac{\Delta x}{2}}}{\Delta x}=-sinx$

6、假定 $f'(x_0)$ 存在，按照导数定义观察下列极限，指出 $A$ 表示什么：

(1) $\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=A$

(2) $\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x)}{x}=A$ ,其中 $f(0)=0$ ,且 $f'(0)$ 存在；

(3) $\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=A$

解：(1) $\displaystyle \lim_{ x \to 0}\frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{-\Delta x}=f'(x_0)$ ,所以 $A=-f'(x_0)$

(2) $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)=A$ ,其中 $f(0)=0$ ,且 $f'(0)$ 存在；

(3) $\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f'(x_0)$ ,所以 $A=2f'(x_0)$

7、
$f(x)=\begin{cases}{\frac{2}{3} x^3},x\leq 1,\\x^2,x>1\end{cases}$ 在 $x=1$ 处是否可导？

解：根据导数定义，左导数 $f'_{-}(1)=\displaystyle \lim_{x\to 1^{-1}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\displaystyle \lim_{x\to 1^{-1}}\frac{\frac{2}{3}x^3-\frac{2}{3}}{x-1}=2$

右导数 $f'_{+}(1)=\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}}\frac{x^2-\frac{2}{3}}{x-1}=\infty$

故该函数左导数存在，右导数不存在，因此选B。

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