同济高等数学第七版1.2习题精讲

1.下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察 $x_n$ 的变化趋势，写出它们的趋势。

(1) $\left\{\frac{1}{2^{n}}\right\} $
(2) $\left\{(-1)^{n} \frac{1}{n}\right\}$
(3) $\left\{2+\frac{1}{n^{2}}\right\}$
(4) $\left\{\frac{n-1}{n+1}\right\}$
(5) $\left\{n(-1)^{n}\right\}$
(6) $\left\{\frac{2^{n}-1}{3^{n}}\right\}$
(7) $\left\{n-\frac{1}{n}\right\}$
(8) $\left\{\left[(-1)^{n}+1\right] \frac{n+1}{n}\right\}$

解：(1) $\left\{\frac{1}{2^{n}}\right\} $ 趋向于0。
(2) $\left\{(-1)^{n} \frac{1}{n}\right\}$ 趋向于0。
(3) $\left\{2+\frac{1}{n^{2}}\right\}$ 趋向于2.
(4) $\left\{\frac{n-1}{n+1}\right\}$ 趋向于1。
(5) $\left\{n(-1)^{n}\right\}$ ，随着 $n$ 的不断增大，趋向于无穷大，还有正负的。该数列发散。
(6) $\left\{\frac{2^{n}-1}{3^{n}}\right\}$ 趋向于0。
(7) $\left\{n-\frac{1}{n}\right\}$ 该数列发散。
(8) $\left\{\left[(-1)^{n}+1\right] \frac{n+1}{n}\right\}$ ，因为当 $n$ 为奇数时，数列趋向于0.当 $n$ 为偶数时数列趋向于2.所以该数列发散。

2.(1)数列的有界性是数列收敛的什么条件？

(2)无界数列是否一定发散？

(3)有界数列是否一定收敛？

解：(1)数列收敛必有界，但有界未必收敛，譬如 $(-1)^n$ 。所以有界是收敛的必要而非充分条件。

(2)无界一定发散。

(3)有界未必收敛。再次譬如 $(-1)^n$ 。

3.下列关于数列 $\{x_n\}$ 的极限是 $a$ 的定义，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由，如果错的，请举反例。

(1)对于任意给定的 $\epsilon>0$ ，存在 $N\in N_+$ ，当 $n>N$ 时，不等式 $x_n-a<\epsilon$ 成立。

(2)对于任意给定的 $\epsilon>0$ ，存在 $N\in N_+$ ，当 $n>N$ 时，有无穷多项 $x_n$ ，使不等式 $|x_n-a|<\epsilon$ 成立。

(3)对于任意给定的 $\epsilon>0$ ，存在 $N\in N_+$ ，当 $n>N$ 时，不等式 $|x_n-a|<c\epsilon$ 成立，其中 $c$ 为某个正常数。

(4)对于任意给定的 $m\in N_+$ ，存在 $N\in N_+$ ，当 $n>N$ 时，不等式 $|x_n-a|<\frac{1}{m}$ 成立，

首先说明的是，这个题目的含义是如果满足1,2,3,4中的某个语句，会不会得出极限是a这个结论。别整倒过来。另外下面的解法请以理解为主。如果老师留了作业，直接按照下面的方式交上去，会被打的！

解：(1)正确的说法中应该是不等式 $|x_n-a|<\epsilon$ 成立。绝对值的好处就在于无论怎样接近 $a$ （有朋自左方来。还是右方来，还是左一下右一下的无限接近都可以）都可以。如果去掉绝对值，可能就达不到无限接近了。

例如： $(-1)^n$ ,取 $a=1$ 。此时 $x_n-a$ 的答案不是0，就是-2，肯定小于任意正数 $\epsilon>0$ ，但是： $(-1)^n$ 极限不存在。

(2)无穷多项，不代表所有项。明白了这个就好理解了，为什么这句也是错误的。

例子依然是 $(-1)^n$ ，同样取 $a=1$ 。当 $n$ 是偶数时，有无穷多个1，这些项离 $a=1$ 的距离都是0，小于任意正数 $\epsilon>0$ ，但是 $(-1)^n$ 极限不存在。所以无限多项和极限的距离达到了小于任意小也未必说明该极限就一定是存在的。

(3)正确。原因较为简单，证明比较啰嗦。大意就是当 $c$ 为某个正的常数时，令 $c\epsilon$ 为全新的 $\epsilon’$ ，这样就满足了极限存在的定义，只是把符号加了一个撇。

(4)正确。同样令 $\frac{1}{m}=\epsilon$ ,它又成了极限存在的定义。因为对于任意给定的 $m\in N_+$ ，它的倒数依然可以成为任意小的正数 $\epsilon$ 。

再一次警告：上面的语言是帮助理解的。千万不要直接拷贝。

4.设数列 ${x_n}$ 的一般项 $x_n=\frac{1}{n}cos\frac{n\pi}{2}$ ,问 $\lim_{n\to +\infty} {x_n}=?$ ，求出 $N$ ,使当 $n>N$ 时， $x_n$ 与其极限之差的绝对值小于正数 $\epsilon$ ，当 $\epsilon=0.001$ 时，求出 $N$ 。

解：这个题目加了星号。

极限是0。因为余弦函数 $cos$ 是一个有界量， $\frac{1}{n}$ 此趋势下是无穷小，根据有界量与无穷小之积仍是无穷小，所以得出极限为0。但是这个原理在后面才会讲到。所以再一次警告，如果直接拷贝这个答案交给老师可能会被K。

在本节中可以使用放缩的思想，放缩的原则有一个就是好算又不要搞乱方向。譬如，本题中设极限答案为 $a$ ,则需要 $|x_n-a|=|\frac{1}{n}cos\frac{n\pi}{2}-a|<\epsilon$ 成立，这玩意不好计算啊，所以要放缩一下。因为 $cos$ 最大是1，所以有 $|x_n-a|=|\frac{1}{n}cos\frac{n\pi}{2}-a|<|\frac{1}{n}-a|<\epsilon$ 。仔细观察一下是不是一直写的 $<,<,<$ 号，这样就叫没搞乱方向。此时如果弄一个 $>$ 进来就疯了。因为这是想干啥看不明白了。不难分析出 $n\to \infty$ 时极限是0.

代入后此时为 $|x_n-a|=|\frac{1}{n}cos\frac{n\pi}{2}-a|<|\frac{1}{n}-a|=\frac{1}{n}<\epsilon$ 。当 $\epsilon=0.001$ 时,，自然可以求得 $n>1000$ 。这个1000就是 $N$ 。

此题有其它多种答案。但这最为舒服。

5.根据数列极限的定义证明：

(1) $\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}=0$

(2) $\lim_{n\to \infty}\frac{3n+1}{2n+1}=\frac{3}{2}$

(3) $\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n^2+a^2}}{n}=1$

(4) $\lim_{n\to \infty}0.999···9=1$

解：有关极限的定义证明成功的第一步就是一定要算出准确的答案。之后按照"八股文"的固定风格来进行写作。不信你看接下来的极限证明除了个别的需要处理一下，大部分都是同样的语气。当然极限证明的方法很多。本部分内容理解为主。

(1)对于任意小的正数 $\epsilon>0$ ,要使得 $|x_n-A|=\frac{1}{n^2}<\epsilon$ 成立，只需 $n^2>\frac{1}{\epsilon}$ 即可，即 $n>\frac{1}{\sqrt \epsilon}$ 。故取 $N=[\frac{1}{\sqrt \epsilon}]$ 。于是对于任意小的正数 $\epsilon>0$ ,总存在 $N=[\frac{1}{\sqrt \epsilon}]$ ，当 $n>N$ 时使得 $|x_n-A|=\frac{1}{n^2}<\epsilon$ 成立。问题得证。

(2)对于任意小的正数 $\epsilon>0$ ,要使得 $|x_n-A|=\frac{1}{4n+2}<\epsilon$ 成立，只需 $4n+2>\frac{1}{\epsilon}$ 即可，即 $n>\frac{1}{4\epsilon}-\frac{1}{2}$ 。故取 $N=[\frac{1}{4\epsilon}-\frac{1}{2}]$ 。于是对于任意小的正数 $\epsilon>0$ ,总存在 $N=[\frac{1}{4\epsilon}-\frac{1}{2}]$ 。当 $n>N$ 时使得 $|x_n-A|=\frac{1}{4n+2} <\epsilon$ 成立。问题得证。

(3)对于任意小的正数 $\epsilon>0$ ,要使得 $|x_n-A|=\frac{\sqrt{n^2+a^2}-n}{n}<\epsilon$ 成立，只需……晕啊，不太好算啊。只好放缩一下了，别搞乱方向。从来一次……

证明：对于任意小的正数 $\epsilon>0$ ,要使得 $|x_n-A|=\frac{\sqrt{n^2+a^2}-n}{n}<\epsilon$ 成立，只需 $\frac{\sqrt{n^2+a^2}-n}{n}=\frac{a^2}{n(\sqrt{n^2+a^2}+n)}<\frac{a^2}{2n^2}<\epsilon$ 即可，即 $n>\sqrt{\frac{a^2}{2\epsilon}}$ 。故取 $N=[\frac{1}{4\epsilon}-\frac{1}{2}]$ 。于是对于任意小的正数 $\epsilon>0$ ,总存在 $N=[\sqrt{\frac{a^2}{2\epsilon}}]$ 。当 $n>N$ 时使得 $|x_n-A|<\epsilon$ 成立。问题得证。

(4)对于任意小的正数 $\epsilon>0$ ,要使得 $|x_n-A|=\frac{1}{10^n}<\epsilon$ 成立，只需 $10^n>\frac{1}{\epsilon}$ 即可，即 $n>lg\frac{1}{\epsilon}$ 。故取 $N=[lg\frac{1}{\epsilon}]$ 。于是对于任意小的正数 $\epsilon>0$ ,总存在 $N=[lg\frac{1}{\epsilon}]$ 。当 $n>N$ 时使得 $|x_n-A|=\frac{1}{10^n} <\epsilon$ 成立。问题得证。

6.若 $\lim_{n\to \infty}u_n=a$ ，证明 $\lim_{n\to \infty}|u_n|=|a|$ 。并举例说明：如果数列 $\{|x_n|\}$ 有极限，但数列 $\{x_n\}$ 未必有极限。

证明：此题需要绝对值性质： $||u_n|-|a||\leq |u_n|-|a|\leq|u_n-a|$

证明 $\lim_{n\to \infty}|u_n|=|a|$ ，就相当于对于任意小的正数 $\epsilon>0$ ,要使得 $||u_n|-|a||\leq |u_n|-|a|\leq|u_n-a|<\epsilon$ 成立，因为 $\lim_{n\to \infty}u_n=a$ ，所以前一个式子成立，故问题得证。

例子依然是 $(-1)^n$ 。加绝对值就有极限，不加绝对值就没有极限。

7.设数列 ${x_n}$ 有界，又 $\lim_{n\to \infty} y_n=0$ ；证明： $\lim_{n\to \infty} x_n y_n=0$

证明：数列 ${x_n}$ 有界，即存在 $M>0$ ，使得 $|x_n|\leq M$ 。又 $lim_{n\to \infty} y_n=0$ ，即说明对于任意小的正数 $\epsilon>0$ ,总存在 $N\in N^+$ 。当 $n>N$ 时使得 $|y_n|=<\epsilon_1$ 成立。

要证明 $\lim_{n\to \infty} x_n y_n=0$ ，即对于任意小的正数 $\epsilon>0$ ，需要使得 $|x_ny_n-0|<\epsilon$ 成立。而 $|x_ny_n|\leq M \epsilon_1$ 成立，不妨令 $\epsilon_1=\frac{\epsilon}{M}$ （反正都是任意小）。于是乎 $|x_ny_n|\leq M \epsilon_1<\epsilon$ 成立。所以极限成立。

8.对于数列 ${x_n}$ ，若 $x_{2k-1}\to a(k\to \infty)$ , $x_{2k}\to a(k\to \infty)$ ，证明 $x_{n}\to a(n\to \infty)$

证明：若 $x_{2k-1}\to a(k\to \infty)$ ，则说明对于任意小的正数 $\epsilon>0$ ,总存在 $N_1\in N^+$ 。当 $n>N_1$ 时使得 $|x_{2k-1}-a|<\epsilon$ 成立。

$x_{2k}\to a(k\to \infty)$ ，则说明对于上面的的正数 $\epsilon>0$ ,总存在 $N_2\in N^+$ 。当 $n>N_2$ 时使得 $|x_{2k}-a|<\epsilon$ 成立。

无论单双，都成立就会有结论。所以不妨令 $N=max\{N_1.N_2\}$ 。于是对于上面的正数 $\epsilon>0$ ,总存在 $N\in N^+$ 。当 $n>N$ 时使得 $|x_n-a|<\epsilon$ 成立。于是 $x_{n}\to a(n\to \infty)$ 结论成立。

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