同济高等数学第七版1.6习题精讲

1.计算下列极限。

(1) $\lim_{x\to 0}{\frac{sin\omega x}{x}}$

(2) $\lim_{x\to 0}{\frac{tan3x}{x}}$

(3) $\lim_{x\to 0}{\frac{sin2x}{sin5x}}$

(4) $\lim_{x\to 0}xcotx$

(5) $\lim_{x\to 0}{\frac{1-cos2x}{xsinx}}$

(6) $\lim_{n\to \infty}2^nsin{\frac{x}{2^n}}$

解：(1)如果 $\omega\neq0$

$\lim_{x\to 0}{\frac{sin\omega x}{x}}=\lim_{x\to 0}{\frac{sin\omega x}{\omega x}}\omega=\omega$

如果 $\omega=0$ ，原式=0.

(2) $\lim_{x\to 0}{\frac{tan3x}{x}}=\lim_{x\to 0}{\frac{sin3x}{(cos3x)3x}}3=3$

(3) $\lim_{x\to 0}\frac{\frac{sin2x}{2x}}{\frac{sin5x}{5x}}\frac{2x}{5x}=\frac{2}{5}$

(4) $\lim_{x\to 0}xcotx=\lim_{x\to 0}\frac{x}{tanx}=1$

(5) $\lim_{x\to 0}{\frac{1-cos2x}{xsinx}}=\lim_{x\to 0}{\frac{2sin^2x}{xsinx}}=\lim_{x\to 0}{\frac{2sinx}{x}}=2$

(6) $\lim_{n\to \infty}2^nsin{\frac{x}{2^n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{sin{\frac{x}{2^n}}}{\frac{x}{2^n}}x=x$

2.计算下列极限。

(1) $\lim_{x\to 0}{(1-x)}^{\frac{1}{x}}$

(2) $\lim_{x\to 0}{(1+2x)}^{\frac{1}{x}}$

(3) $\lim_{x\to \infty}{(\frac{1+x}{x}})^{2x}$

(4) $\lim_{x\to \infty}{[1-(\frac{1}{x}})]^{kx}$

解：(1) $\lim_{x\to 0}{(1-x)}^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}{(1-x)}^{(-\frac{1}{x})(-1)}=e^{-1}=\frac{1}{e}$

(2) $\lim_{x\to 0}{(1+2x)}^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}{(1+2x)}^{\frac{1}{2x}2}=e^2$

(3) $\lim_{x\to \infty}{(\frac{1+x}{x}})^{2x}=\lim_{x\to \infty}{(1+\frac{1}{x}})^{(x)(2)}=e^2$

(4) $\lim_{x\to \infty}{[1-(\frac{1}{x}})]^{kx}=\lim_{x\to \infty}{[1-(\frac{1}{x}})]^{(-x)(-k)}=e^{-k}$

3.根据函数极限的定义，证明极限存在的准则 $I'$ 。

如果(1) $g(x)\leq f(x)\leq h(x),x\in U(x_0,r)$ ;

(2) $lim_{x\to x_0}g(x)=A,lim_{x\to x_0}h(x)=A$ ;

那么 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在，且等于A。

证明：因为 $lim_{x\to x_0}g(x)=A$ ;则对于任意小的 $\epsilon>0$ ，总存在 $\delta_1>0$ ,当 $0<|x-x_0|<\delta_1$ 时， $|g(x)-A|<\epsilon$ 恒成立。

又因为 $lim_{x\to x_0}h(x)=A$ ;则对于任意小的 $\epsilon>0$ （可以认为与上面的 $\epsilon$ 一样，总存在 $\delta_2>0$ ,当 $0<|x-x_0|<\delta_2$ 时， $|h(x)-A|<\epsilon$ 恒成立。

所以，取 $\delta=min\{\delta_1,\delta_2,r\}$ 时，也会有当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有三明治定理，也叫夹挤定理可得 $|f(x)-A|<\epsilon$ 恒成立。

4.利用极限存在准则证明：

(1) $\lim_{n\to \infty}{\sqrt {1+\frac{1}{n}}}=1$ ;
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^{2}+\pi}+\frac{1}{n^{2}+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n \pi}\right)=1$
(3)数列 $\sqrt{2}, \sqrt{2+\sqrt{2}}, \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \cdots$ 的极限存在
(4) $\lim _{x \rightarrow 0}\sqrt[n]{1+x}=1$
(5) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x\left[\frac{1}{x}\right]=1$

证明：(1)因为 $1<{\sqrt {1+\frac{1}{n}}}<1+\frac{1}{n}$ ，所以同时取极限后极限等于1.

(2) $\frac{n^2}{n^2+n\pi}<n\left(\frac{1}{n^{2}+\pi}+\frac{1}{n^{2}+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n \pi}\right)<\frac{n^2}{n^2+pi}$

所以同时取极限后极限等于1.

(3)利用单调有界数列来证明。

使用数学归纳法， $a_1=\sqrt2<2$ 显然成立，假设 $n=k，a_k<2$ 也成立，那么当 $n=k+1$ 时， $\sqrt{2+a_k}<2$ 成立，所以可证得该数列为有界数列。

同时 $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}>a_{n}$ ,(原因很简单，你看它多2呀)。所以该数列单调递增。

终上所述，该数列存在极限。通过观察可以获得该数列有规律 $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ 假设极限答案为常数 $A$ ，对上式取极限，根据极限唯一性可得 $A=\sqrt{2+A}$ ,所以 $A=2$ ,而舍去 $A=-1$ 。

(4) $1<\sqrt[n]{1+x}<1+x$ ，所以同时取极限后极限等于1.

(5) 因为当 $x>0$ 时，有 $1-x<x[\frac{1}{x}]<1+x$ ，所以同时取极限后极限等于1.

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 200,961评论 5赞 473
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 84,444评论 2赞 377
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 148,009评论 0赞 333
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 54,082评论 1赞 272
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 63,101评论 5赞 363
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 48,271评论 1赞 278
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 37,738评论 3赞 393
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 36,395评论 0赞 255
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 40,539评论 1赞 294
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 35,434评论 2赞 317
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 37,481评论 1赞 329
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 33,160评论 3赞 317
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 38,749评论 3赞 303
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 29,816评论 0赞 19
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 31,038评论 1赞 256
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 42,548评论 2赞 346
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 42,140评论 2赞 341

同济高等数学第七版1.6习题精讲

推荐阅读更多精彩内容