对"调和"这个词，很多人应该比较熟悉，在生活、学习、工作中一般都会碰到与调和有关的概念与事物，例如调和油、调制酒水、调制配方、五味调和、五音调和、调和阴阳、调和脾胃、色彩调和、矛盾调和、调和平均数。可见，“调和思想”应用非常广泛，调和思想在数学中也有它的用处，例如复数(a+bi，a为实部，b为虚部)就是对实数的调和，通过增加虚部对实数进行调和；在不等式问题中运用配凑法求最值时，有时要对配凑代数式中的待定系数根据取等条件进行调和与求解，这些在本人简书和今日头条相关内容中都有应用，例如简书数学思想方法揭秘-29后记14中的例3~例7、一道最值题中的方法二。
调和，指的是事物的多个部分之间，相互配合得宜，调整得当，协调一致，有机和谐地地联系结合在一起。如调制酒水饮料一样，调和也是创造生成新事物、新结构的方法，数学中的调和平均数就是通过某种调和而产生的。
”待定模式”思想是假设、逻辑思维、合情合情设想、模式思想等综合而产生的一种数学思想。碰到问题时，开始只能确定大致的模式，大致的框架，也就是其完整的清晰的模式是有待后面进一步确定的。待定模式的层次要高于待定系数法，待定系数法是一种数学方法，在代数问题中运用待定模式思想时可能会用到待定系数法。
在数学中运用调和思想和调和法，往往与待定模式思想、待定系数法、假设法、合情设想、组合思想、调整法、配凑法、试探法、试验法、迭代法等结合在一起使用，它们是调和法的伴侣。因为对一些新问题，往往还不知道”调制配方”，不知道配方的组成（由哪些部分组成）和每个部分(成分)的比例或数量，所以往往要用到待定、假设、合情设想等先把配方的大致模式确定下来。接下来逐步从模糊到清晰，使用合情设想、调整法、试探法、试验法等确定待定的一些数学对象，例如确定待定系数的值、确定变量的值、确定关系和结构。
这里讲解下调和思想在解方程中的应用。
调和思想在解方程中的应用
求方程
没学过一元三次方程的求根公式，这个方程也没有特殊解，因式分解也困难。怎么解这个方程，非常规的解法是什么？
从解题思维的角度，每种思想方法都是启发引导我们的思维念头，帮助我们探索解题方法的一个工具，我们的大脑中应该有一个装有多种思想方法和思维方法的数学思维工具箱。
对这道题，可以从工具箱中拿出调和思想，利用调和的思想意识和调和的眼光，把看作鸡尾酒，如何运用调和思想把
调制勾兑创造出来？
首先确定大致的调制配方&调制模型：合情设想加待定模式，假设x的待定模式为
。代入方程中可得：
1）
m、n是待定的变量(未知数)，目前还不知道它们的具体数值，也不知道它们之间除了1)之外的其他关系，显然单靠1)是无法求出确定m、n的，还缺少关系(方程式)。
怎么增添新关系&构造新关系&衍生繁衍关系？
还是合情设想，令，则
。
，
。
由韦达定理，可想到构造两个根分别为。解这个方程最终求得
上面令，可以这样理解：先放后收，开始的时候m+n=
，显然在（m，n）空间中,有无穷个（m,n）对满足m+n=
,但后面我们用调整法、加强条件（添加约束限制条件进行收紧处理）：把m、n调整&调节&收紧为满足
的那些（m，n），从而”一生二”，从1）式的一个关系生出两个关系：
，构造一元二次方程求出了合适的调和变量m、n。
推广到一般，对方程，用调和思想可得到该方程的解。
题外
思维比知识重要，思维是本是灵魂是渔，是知识之母，知识是末是鱼是子，这是共识。不知母，焉知子？所以要多研究思维学，多研究学科思维方法论，多研究思想方法。
我们的初高中数学教育几十年来一直存在致命的问题，就是一直喊着锻炼学生数学思维能力的口号，实际上却心有余而力不足，打左灯向右转，一直以数学知识为中心，而不是真正以数学思维为中心，舍本逐末，买椟还珠，挂羊头卖狗肉。其他学科也类似，都是以学科知识为主，缺少真正到位的学科思维锻炼，学科思维锻炼落地效果是不理想的，连差强人意都算不上。
本人在IT软件开发领域，从业余人士的视角谈谈上述问题的根源：
第一，人的问题，数学教育界缺少真正的数学思维明师。做老师的，智商和学习成绩应该都一般，肯定算不上拔尖，初高中数学老师也不例外，我们的大学数学教授研究水平也普遍一般，不是数学研究强国，虽然有些人不爱听，但这是实话和真相，所以广大吃瓜群众不要过度迷信初高中数学老师与数学教授。当然，他们经过多年的浸淫，刷题多，见识多，看书多，掌握丰富数学知识，具有较丰富的解题经验，所谓的数学名师多，但“无它，唯手熟尔”，刷题刷出了感觉而已，有术无道，数学名师非数学思维明师。在数学思维领域，可以说几乎没有思维明师。数学思维方法论领域还有较多发展创新空间，数学教育界在数学思维方面缺乏真正的创新开拓，思想僵化，固步自封，我们连个像样些的数学思维方法论体系框架都没有，遑论足够通透系统的数学思维方法论，数学书籍中关于数学思维和数学思想的内容都存在不通透，不系统(零碎)的问题。这也是本人在简书和头条上写数学思维系列文章的原因，阐述足够通透系统的数学思维方法论。
这个系列文章，简书文章前言标题为”自从一读本系列，始觉从前错用心”，就是说我们几十年来接受的都是错误的数学教育，主要是灌输数学知识，学生没有得到真正到位的数学思维熏陶训练，我们的数学教育一直在误人子弟。
第二，还是人的问题，广大吃瓜家长和学生不明上面的真相，不知道数学教育皇帝新装，目光短浅，饮鸩止渴追求短期利益：能升学，能考上理想的大学，能竞赛获奖能保送。在没有到位的思维熏陶训练的情况下，学校和培训机构采取的补救补拙的措施就是：严格的时间管理，抓紧时间，对学生进行海量刷题、大量培训大量训练和大量看书学习，事倍功半，从而获得家长学生需要的短期利益，学校、老师、培训机构也名利双收。在一定程度上，这其实是忽悠不明白数学教育没有思维真相的吃瓜家长和学生。对数学竞赛，还要花费不菲的家庭财力去进行校内校外培训，牺牲综合学科，但即便获奖，长远看有多大效果？这种缺乏到位的思维方法思想方法熏陶的教育，靠海量刷题看书，靠拼命灌输知识进行快餐式喂养，有术无道，掌握的大多是数学解题的雕虫小技，缺乏对数学思维大道的训练和领悟，这样培养出来的学生，思想底蕴不足，思维固化，在创新研究方面一般注定是后继乏力，昙花一现，走不远的。
数学家陈省身：”我们每个人一生都花了很多时间学数学，但我们其实只是学会了计算，而不是数学” 。这与我们的数学教育拼命灌输数学知识，缺乏到位的数学思维熏陶锻炼有极大关系。掌握丰富数学知识，而思维能力一般的学生很多，这就属于“只是学会了计算，而不是数学”。
对数学考试数学竞赛与数学研究，吃瓜群众还有一些误解。其实数学研究创新和数学考试&竞赛在思维和内容方面均有区别，不是一回事。我们几十年拼命灌输数学知识培养出来的学生，即便在数学考试或竞赛中取得好成绩，并不意味着数学研究创新能力就强，我们是数学竞赛强国但不是数学研究强国，这难道不是佐证？而数学竞赛成绩不好，也并不意味着不适合做数学研究，知名数学家、数学教授不会做初高中数学竞赛题甚至是普通初高中数学题，这种情况多的很，不奇怪，也并不是他们不熟悉初高中数学知识。而这些题，特别是偏怪题，有些初高中数学老师会做，“无它，唯手熟尔”，他们在这些初等数学问题上投入的时间多，钻研的深，掌握的经验技巧多，但有术无道。国内还没有如西方国家那样的数学天才，但有数学天赋的人不少。把过多时间精力花在初等数学这种低层级的上面不划算，特别是普遍没有到位的数学思维熏陶锻炼的时候，如果有到位的思维熏陶训练，倒不反对通过学习研究初等数学问题来锻炼数学思维，但现实是几乎没有到位的思维熏陶训练。我们学习初等数学的目的主要是为了锻炼数学思维能力，不是单纯为了学习初等数学知识，初等数学知识不难学，不难自学，难在如何思维。
第三，还是人的问题，这部分人就不谈了。
三年前，有感于我们数学教育存在的上述问题，期望能为数学思维领域的研究注入新的观点与活力，在简书和今日头条上利用业余时间创作了多篇关于数学思维领域的内容，主要结合自己初高中自学数学的感悟，融汇了其他学科核心思想之后的所思所想，没有参考其他书籍和资料。
如本人先前在今日头条文章中所讲：当有一些学生念念不忘的是各种思维方法(例如联想、类比)和各种思想方法，而不只是勾股定理、力的分解与合成等知识的时候；当教材中白纸黑字包含学科思维内容。我们的数学教育和其他学科教育大概才算有些起色，学科知识教育与学科思维教育协调发展才是正道。
由于是数学业余人士，大学阶段及工作后多年也没玩数学，本人所写的这些内容，自我感觉还有很多不如意的地方，目前也只是把它们作为一版草稿，待以后有空再修订补充完善，力求构建足够通透系统的数学思维方法论，为数学思维方法论的开拓发展作点贡献，尽点绵薄之力。
道悦(王国波) 2022.9.15于广州
