作者：王国波
这篇是对数学思想方法揭秘-4(原创)后半部分的重新修订，补充了对一些咨询的回复内容，信手写来，整个文章虽然有些话语重复凌乱，需要后续重新整理，目前阅读不需要计较这方面的问题。
数学学习和解题一定要有一套学习研究、解题思维方面的方法论，基本上领悟了数学思维之道，特别是数学思想方法论，学习其他理工科课程就相对容易多了，如果在如何学习理工科课程方面还和常人一样，在大学本科还依赖老师不会自学，那就说明还没悟道数学学习之道和数学思维之道。这些方法论才是数学思维中的道，才是数学思维的灵魂，以道御术，悟了这些道才能更熟练理解和运用低层次的数学方法和知识点，才能有灵活严谨辩证的数学思维，才能在思想层次上有飞跃，会当凌绝顶，一览众山小，对低层次的法术就很容易理解和运用了，知其然更知其所以然了，why和what互通了。
如何学些领悟数学思维中的数学思想方法
鉴于思想方法的重要性，在这方面有兴趣且学有余力的应该多关注，但数学思想方法似乎很多，如何学习领悟？
首先：提纲挈领，要注意从总体上全盘理解这些数学思想方法，理解它们之间的层次结构、相互联系相互关系。
波利亚认为，解题的过程就是不断变更问题，不断诱发灵感的过程。数学解题思维的最高宗旨就是变化(变换)，不仅要灵活变更问题的形式，而且要灵活变更解题者的思维。变化就是运动，可见辩证法中的运动观也是统领解题思维的，万事万物都在运动变化，唯一不变的就是变化，要会灵活的变化。要变化，首先思想上要开悟，思想上始终要有变化的意识，先要有意识。要自觉而不是自发地变，有目的地变有意图地变(变什么、变哪里、何时变，在哪一步变，时机)，而不是瞎猫碰到死老鼠或守株待兔，要偶然变自然变必然。要有意图有目的地变，一般是在解题过程中观察，发现问题特征和模式(面向特征和模式驱动的解题策略)、通过矛盾分析法、常规的分析综合法、辩证思维、合理猜想等方法识别出变化的意图和目的，也就是知道要变怎么，变哪里、变化的时机。接下来，变更的意图和目的要通过技术手段和方法来实现。变更问题有多种方式手段，例如转化问题、几何题添加辅助线、进行几何变换(旋转、平移、对称、伸缩、位似、反演、射影)，构造模型、代数式的恒等变形或换元，一些基础的数学方法例如配方法、消元法、数学运算例如加减乘数&平方开方运算、分解与重组，从问题的特殊形式到一般形式，从原始问题抽象出本质问题，这些都是在变更问题;对应地，在解题过程中，我们的思维活动和思维模式也在不断地变化调整，例如由此及彼地联想，从A事物想到(变到)B事物，从正向思维变到逆向思维。
在解题懵圈卡壳时，一个重要的技能就是在反思的基础上多维度发散思维，自己和自己对话，多问问有哪些数学方法，有哪些思想方法和思维模式，它们之中还有哪些没有使用？还能变怎么(变更问题形式、变更解题使用的数学方法、变更思想方法和思维模式)，还能变哪里，还能怎么变，还有哪些已知条件没有使用或没有用好。这也适用于一题多解或问题推广。
运用辩证法中矛盾对立统一相互转化的辩证思维和第一篇文章中的辩证思维词汇表都是为了指引我们变化。要灵活地变化就要会辩证思维，理解辩证思维的本质，反者道之动，弱者道之用。反者道之动：思维之道在于辩证，在于循环往复的灵活变化，善于运用矛盾对立双方的相生&相互转化，本系列的数学思想方法、解题策略以及前面整理的辩证思维词汇表都是启发我们的辩证思维。弱者道之用：思维的运用之道，要注意领悟其微妙，思维要有柔韧性，要灵活变通，脑子要会转弯，不能刚性思维，机械固执，不能拘泥于固有(已有)的问题形式或固有的思维方式与思想方法，要根据实际情况善于变化问题、思维方式和思想方法，同时也是因为没有那种数学思想方法可作为银蛋用来解决所有问题，思维没有固定的模式。
数学思想方法也是有层次结构的，要对它的们的层次结构有个总体的精炼的总结性的认识：
在高层就是辩证法，特别是辩证法中的联系观（万物的普遍联系）和灵活辩证看问题（辩证思维）。联系观和辩证看问题在数学思想方法上就是关系思想和辩证思维下的解题策略，解题策略中主要应用辩证思维，例如正难则反的策略、抽象与具体相互转化的策略（碰到抽象问题，如果难以解决就先去研究它对应的具体问题；碰到具体问题，如果难以解决就转而先研究它对应的抽象问题。一句话就是抽象不行就具体，具体不行就抽象）、特殊与一般(特殊不行就一般，一般不行就特殊)、直接与间接、复杂与简单&简化相互转化的策略等，但并不是所有的解题策略都运用了辩证思维，例如基于特征的思维这种策略。
关系思想和解题策略位于数学思想方法最高层次，他们对低层次的数学思想方法有指导和驱动作用，低层次的数学思想方法体现和实现对关系的各种处理和解题策略：例如，方程思想和函数思想就是体现关系思想的低层次的形而下的思想；解题中观察题目发现特征，进而发现识别特征中的关系，解题思维过程中运用的其他数学思想方法，如联想、类比、转化、抽象、归纳、数形结合、构造法（构造出新关系或结构）、逆向思维（包括低层次的反证法)等等都是为了帮助找关系&识别关系&建立联系、拉关系、构造关系、变换关系、利用各种解题策略&解题原则灵活地变化、转变、调整解题思路、解题突破口、解题目标等。
数学自身：它就是研究数量关系和空间结构的（结构中也有关系），数学自身也是讲辩证的，例如很多理论和定理也是先研究具体的特殊的情况，再归纳出抽象的、一般的情况；研究抽象情况时，有时先研究具体的简单的情况。
学数学：讲点学习之道，学习也要有联系观和辩证观。把知识从点到线，从线到面、体，组织成一张相互联系的知识网络，有层次的知识体系，就像城市中的四通八达的道路交通网，把新知识融入到这个网络中，不要孤立地去学习新知识，学新知识时除了掌握它的基本概念和各种性质之外，还要总结反思，要注意考察它和已有知识（已学的旧知识和题目等）的区别与联系，它在知识体系中的位置；学习中要多质疑挑战自己，发散思维，看看在各种特殊情况、综合情况、变化情况下如何运用这些知识。
学习上要有对知识、方法、思想认识上的疑点，如何消除疑点？
每门课程例如数学、物理、英语都要有好的参考书，如何识别好的参考书？能解决自己对知识点认识上的疑惑，这些书籍一般有总结和点拨的内容，有对知识点疑点的透彻解释、本质深入的讲解，要对思维思想层面、知识或方法层面的理解认识有提高，而不只是单纯教知识，课本就是单纯教知识和低级方法。有对解题方法的分析点评和思维过程。每门课程，要有基础知识层面和方法层面、思想层面的内容要学习，这些都要靠好的参考书来指点迷津，能指点基础知识、方法、思想上的疑点。也就是要有两类书籍，一类主要是讲基础知识和具体数学方法的书籍；第二类是讲思维方法的数学思想书籍和思维书籍，另外学知识要注意掌握其概念，掌握它和其他知识点的区别和联系，把知识点串起来，关联起来，进一步成为知识体系，不要孤立地去学。例如一元二次方程，就要知晓和它相关联的知识点：配方法，一元二次求根公式、判别式和判别式大于0或小于0等意义、韦达定理、十字相乘乃至因式分解、一元二次函数（从一元二次函数又想到抛物线，想到顶点，极值点，数形结合，递减，开口方向）、一元二次不等式、均值不等式等。
知识网络就是知识点之间有线或逻辑联系把它们串在一起，这样之后，碰到一元二次方程，就会容易联想，就容易顺藤摸瓜，联想到韦达定理，配方法、不等式（有时解方程要用不等式，灵活辩证，顺着方程和不等式之间的连线从方程想到不等式）、函数（类似，从方程想到函数，从函数想到方程或不等式）。
思维要灵活变通转换，要辩证思维，要有解决问题的策略（解题策略）。但如果只靠灵活的解题策略来切换思路和解题突破口，在底层没有支撑它的基础，灵活性就是空中楼阁，一句空话。思维能够灵活变通的基础是脑子中有四通八达的知识网络和思想方法网络（这两个网是互通的一张大网），此路不通，就从网络中的一个节点顺着连线（联系关系）跑到另一个点，或跳到另一个点，或从一种形式变成另一只种形式（两种形式之间有关联，一种形式可变出另一种形式），例如代数式的变形，这都是变，灵活就要会变通会变化，思维变化，就是转化转换。有时，A和B没有联系或关系，我们还要主动构造出联系。
这个就是在知识体系的关系网络中漫游，发散，整个知识思想融汇贯通，游刃有余，思维就灵活了。
要注意各种知识点、概念之间的联系与区别以及相互之间的关系、包括如何相互转化，还要整理数学知识体系。例如加法与乘法的关系、乘法与加法或减法（一个具体的运用例子就是裂项求和，把乘法形式转化成减法形式，1/2*3=1/2-1/3、1/3*4=1/3-1/4）的关系，分子与分母、函数与方程、函数与图像、数与形的关系、直接与间接、充分关系、充要关系、必要关系、抽象与具体、分与和、正与反等等。
磨刀不误砍柴功，熟知这些关系和辩证思维之后，在数学题中就很可能会排上用场。平时不去维护整理和关注这些关系，没有关系意识，不注意辩证思维的实践锻炼，到解题时就没有关系可用或没有关系意识和辩证思考的意识，关系和辩证灵活就是可能的变通之路，黔驴技穷山重水复疑无路之时的转机之路和灵光一闪，没有这些意识习惯，没有关系没有灵机一动也就是没有路可以走，何谈解题思路的酝酿形成和贯通。
物理化学乃至大学理工科学习要和数学联系起来学，要融入数学方面的知识和数学思想方法。数学知识和数学思想都可运用在物理、化学学习中。初中物理，应该不难，好像有电路串并联，这个解题时注意运用串并联的性质来解题，例如串连时电流相等，相等就可列等式方程，欧姆定理也可用来列方程，也可进行变形。有的高中物理题运用运动变化的思想，想象下让静止物体动起来，或想象它有向某个方向运动的趋势或意图，或让力的大小从小到大变化，在变化中分析问题。
解数学题：就是披荆斩棘，打通一条从起点（已知条件）到终点（结论和答案）的解题通路或桥梁。日常生活工作中喜欢拉关系、走关系（如利用熟人关系）和头脑灵活变通办事一样，在形成数学题解题通路的思维过程中，从高层次看还是离不开联系观（在解题中体现为关系思想关系意识，也就是找关系、识别关系、表达关系、看透关系&从关系的表面形式知晓关系背后的内在本质和神、构造关系&拉关系、变换关系、改善调节关系、利用关系等）和矛盾辩证观（辩证思维在解题中体现为灵活的解题策略，就像开车，前面直行没有路了，肯定要会灵活拐弯或倒车。各种解题策略，先前文章的介绍过：如直接求解不行就间接求解&直接与间接、抽象不行就具体&具体不行就抽象&对抽象与具体的双向利用相互转化、复杂与简单&如果觉得复杂就想办法简化问题、一般与特殊、主要与次要、利用方程与函数的关系、数与形、正与反包括逆向思维反证法、基于特征的思维、分与和等）的两者综合运用，辩证观辩证思维辩证意识是随机应变调整变化解题思路和方向。联系观和辩证矛盾观，在数学中的的对应：关系思想和解题策略，这两者就好比太极的阴阳鱼，一阴一阳之谓道！数学中的关系思想是本人首创提出的数学思想方法中的高层次思想，数学中有关系的概念，它本身就是研究数量关系的，但还未看到有前人明确把‘’关系思想‘’作为一种数学思想方法。
辩证法中的联系观讲万物的普遍联系，体现在数学领域，就是数学中处处是关系，处处存在关系，就看你是否能发现关系、就看了你是否能洞察关系、表达关系、构造关系、平衡好关系、改造关系、转化关系、利用好关系。关系思想强调从关系入手，抓住关系不放，注重对数学对象关系的各种处理，例如找关系、表达关系，对关系的处理和对关系思想的认识就直接反应一个人的数学思维艺术和数学功底。
辩证思维就是碰壁时或系统地考虑问题时，灵活地改变与转化，思维要灵活变化。而如何保证能灵活变化、系统地考虑，要结合关系思想，没有关系和联系，就难以灵活变化，就难以找到变化的方向和出路。就像平时不去积极主动维护人际关系，有事时临时抱佛脚就比较困难。这个在前面‘学数学’中就提到要注意领悟与积累数学中的的各种关系。
解题中运用关系思想:首先要找关系、识别出关系（包括关系的强弱、分类、层次)，要观察题目中的各种特征和关系（有些特征就是关系，有些特征不是关系。对特征要运用基于特征的思维这个解题策略，前面文章中提到特征的分类，如数值特征、性质特征、规律特征、图形特征等，也讲过基于特征的思维，还有具体例子，前面文章中有道题中有15度角，这个15就是就属于数值特征，要联想到它的两倍就是30度【这里也离不开关系，15和30的2倍关系】，30度在直角三角形中具有特殊性，所以基于这个特征进行思维，这个就是问题突破口），找出已知条件和特征中的各种关系信息，特别是隐藏的关系，识别出各种关系，例如条件与结论的内在联系和关系，包括解题过程中推理出的关系，洞察看透看穿数学对象之间存在的关系。表达关系（把题目中的关系翻译成数学语言，例如翻译成几何图形、图像、等式、方程式、不等式、函数、数列、向量、集合，这些都是关系的表现表达形式）、看透关系本质(入木三分地看穿关系表示形式背后的本质内涵)、构造关系、拉关系、变换关系（例如变形或换元，改变复杂的不便于处理的关系或结构的表现形式或产生一种新关系或结构）、组合关系（就像化学反应，多个方程式想加减或相乘除就是一例）、改善关系、深化关系、利用关系。
再重复一下：会当凌绝顶，一览众山小，从总体上入手，抓住联系观系统观(数学中体现为关系思想)和辩证思维(体现为解题策略)这两点来领悟整个数学思想方法，提纲挈领就容易入门。
第二：解题实践中体会和总结、反思。体会和总结每道数学题思维过程和解题方法中运用的数学思想方法，有时解题思维过程和解题方法中没有提到运用了哪些思想方法、解题策略、方法精髓、知识点的功用，特别是我们没做出来的题，就更要从中总结。这个是从下而上来领会各个数学思想方法、解题策略、方法精髓、知识点的功用。而前面的提纲挈领总体理解，是从上而下。这样两个方向结合就能融汇贯通整个数学思想方法。
解题实践中的总结和反思，举个例子来说明联想、类比、总结、反思。
例如有这样一道不等式的题。
三个正数满足:
.
这题的一种解法如下：
1)
同理可得：
2)
3)
1)+2)+3)可得：
.
不管你是否能按如上方法做出来，我们都能从这个解题方法中体会解题思维过程中运用数学思想方法的精妙之处，都能总结反思，体会发散思维的精妙，体会到一些知识点功用上的精妙之处。
自己先体会总结反思一下。
--------------总结中-----------------
--------------总结中----------------
--------------总结中-----------------
在我的今日头条号上有一些数学题，今日头条上搜索‘数学之道’用户，可以结合这些题的思维过程来学习领悟数学思维之道。
思维过程：
看到这题，首先要观察，发现题目中的特征特点，进行矛盾分析和比较。观察发现：已知条件是2次，结论中是3次，次数不同不好利用已知条件，要想法升次或降次，这样次数对齐或缩小差距之后就好办了，已知(条件)和未知(结论)就比较接近了。
升次的方法：最明显的升次方法不外乎对已知条件平方或或从已知条件联想到
这种关系，这样
(
)和结论中的
在形式和结构上已经接近了，相似度提高了，继续缩小差距进行逼近，可以考虑对平方和乘以
,除以3进行逼近(为何要除以3，自己思考下)，同时也联想到
这种关系，得出
。所以我们合理设想,只需证明:
.
上式中要证明右边的不等式(大于3)，根据前面的信息是易知的。现在只要证明上式左边的不等式。
如果熟知排序不等式，运用排序不等式，上式左边的不等式也是很好证明的，这里省略，回到原题的证明方法，使用降次。
如何降次，也就是3次如何降到已知条件中的2次(这样就能用上已知条件)。如果没有思路，按前面的文章中提到的讲解内容：以退为进的归纳和简化。3次似乎是个具体的情况，虽然不是抽象的n次，但它还是复杂，就要继续简化问题，退到考虑2次情况下如何降次。题目是不等式，根据这个蛛丝马迹的特征，要联想到不等式的知识点，大脑中遍历搜索和不等式相关的知识点，联想到二次均值不等式：，这个左右两边都是2次，达不到降次效果。在思想意识上要有功用思想，平时善于总结积累，就知道均值不等式要有降次的功用或者说有降次的效果(效应)，需要有常数或具体的数来参与，也就是类似如下的2次均值不等式：
( 其中a是常数，例如1、
、2等具体的数)，左边2次，右边1次，降次效果有了。
在日常生活中，我们会碰到各种效应，如热效应、化学效应、温室效应、蝴蝶效应、破窗效应、马太效应，各种效应自身一般没有正面和负面的标签，根据其是否适用于问题解决来加以选择利用。数学中讲功用思想或者说效应思想，就是说要多在学习实践中体会总结各种数学知识的功用效果，例如换元法能起到什么作用，效应是什么，目的是什么；几何中的各种变换(旋转、对称、平移等)的效应是什么；高等数学中的各种变换，如傅立叶变换，其作用和目的是什么。有备无患，事先在思想层面理解了这些知识的功用，事先总结积累&建立了知识和效应之间的对应关系，在解题时就能根据解题中需要实现的意图和效果，想到对应的知识，一定程度上可以说是按图索骥。
从这个简单些的2次情况得到启发和经验之后，也就是使用均值不等式的降次功用(这个功用需要常数的参与)，看透本质之后，再回到3次情况，3次均值不等式如下：
类比2次情况，这个均值不等式要用于降次，需要左边有常数，显然如果有两个常数，那已知条件就不好运用上。所以确定只有一个常数，也就是a对应x，b对应y，c对应1，如下：
这就是前面的1)式。
题目中的一个特征：具有轮换对称性，考虑均衡周全性，有了1），也不能缺少y与z、x和z，所以举一反三，类似的2)、3）就同理可得。
这就是这题的思维过程。
如果用两个常数参与降次，也是可以的，但没有用一个常数来参与降次来的直接。
3式相加，再利用前面提到的也可证明。
反思与总结，如果这题自己没有做出来，看到解题方法后，就要反思下自己的思维过程，为何没想到这种方法，思维为什么卡住，是知识点没掌握好，还是不会运用、不知道这个功用效果、还是思想方法和解题策略上有问题。此外还要总结这道题中的精妙之处，发现均值不等式可用于降次，虽然这个降次的功用没有老师和书籍告诉过你，但通过解题之后的反思总结，自己就能得出这个功用，要能得出升华认识后的一些精髓才算总结。这样即使你没做出来，但这样反思总结，每解一题都能在思维过程、思想方法、知识点的妙用和经验上有所提高进步，为学日益，吃一堑长一智，不断这样进步，解题思维就能游刃有余，知识也能融会贯通。解题后的总结反思还要有发散思维，要能推广到其它情况一般情况、抽象情况，从一题变出多题，例如推广到4次、5次，甚至n次，例如证明 (n为正整数)，或根据维度思想，对题目进行多维度变化：一个维度：把变量变成m个(
)，第二个维度：次数变成n次，第三个维度：把已知条件等号右边的3换成其他数值或者是大于0的变量k。
解题方法上至少有四种：一种方法是这里提到的降次、第二种是用排序不等式、第三种是数学归纳法、第四种转化成求函数极值，联想到拉格朗日乘数法。这样多维度发散推广变化，一题多解，一题变多题，就从点到线到面、体，在解题过程中把知识点串起来，思维也能得到锻炼。
总结过程中，另一种发散是结合逆向思维，这道题中从降次可顺便想到升次，就知道升次的一种手法了，如何从x升到平方。例如这样的一道题。
如果熟悉升次就是送分题。
根据二次均值不等式可得：
（左边是根号，右边是1次，升次了）
4项相加得：
结合已知条件中的方程，可得出上述4个不等式中的等号都必须成立，所以x-1=1，得出x=2，经验证，此时其他3个不等式中的等号也成立，故x=2。
这题也运用了比较和矛盾分析法，比较方程两边的次数，左边是根号，一边1次，根号是个解题障碍。由于是多个根号相加，两边平方会导致问题复杂化，故否定排除了平方法。继续变换思路，想到对左边单独进行升次，对左边整体升次没有可行方案，整体不行，根据整体与部分的辩证关系，所以思维要灵活变通，要马上转到对左边按4个部分(4个根号)分别进行升次。经过这样的取舍和思维变换，制定了设想方案：对左边4个部分分别进行升次。方案要有可行性，要能结合数学知识进行方案的落地。具体的可行性要有联想，要有辩证思维的参与：利用等式与不等式的辩证统一，相互转化，等式和不等式有联系，=和有联系，他们是一伙的的堂兄弟，这些联系也可用脑图的形式来表达。这题是由等式想到不等式，思维从等式转到不等式。有的题目中，可以将不等式转化成等式来加以利用，例如已知条件a>b,就可以变成等式a=b+m,m>0。
这题从另一个维度，也可用配方法,两边乘以2可得：
。
.
再比如，几何中的旋转变换，你就要总结旋转变换或几何变换的作用是什么，从思想认识上提高对旋转变换、几何变换的理解，而不只是机械的学习各种几何变换。提示一下，除了能总结出旋转变换的性质(例如全等，对应线段相等、对应线段的相交夹角为旋转角度、对应角度相等)，这是很机械死板的低层次的认识，还要能从思想认识上体会到旋转变换的功用效果：将分散的、结构上不协调的、联系上不紧密的几何对象(一般是几何线段和角度或包含它们的局部的图形结构，例如三角形、4边形等)和它们之间的关系(例如已知条件中的关系)通过旋转变换，组合在一个新的图形结构中，也就是通过这个新结构，拉关系&构造出一些新的关系，打通、加强、改善这些对象之间的联系和关系，消除、改善、转化几何图形中的阻碍解题的梗阻，这样就便于解题。还要能总结出通常使用旋转变换的一些条件和经验：存在相等的线段，这些线段有一端交于一点(此点就是旋转中心)，旋转角度一般是90度(构成等腰直角三角形)或60度(构成等边三角形)，有时根据具体题目也可能是其他角度。
对每个数学知识点和低层次的数学方法(如配方法、换元法)，不能有孤岛，要把它纳入到整体的思想方法论体系和知识体系中来掌握。对每个知识点，除了要掌握它是什么what，还要知晓它的本质、它和其它知识点的区别和联系&关系，它的适用条件和不适用的条件是什么，它有哪些功用，可用于哪些场合情况(case/context上下文)下的手段、目标意图中(例如均值不等式可用于降次，假设我们想降次，那降次就是意图)。 就这样用联系的观点用系统的观点来掌握它，运用它，低层次(what,偏机械的形而下的)和较高层次(本质、intent意图、方法、手段、how、why)的理解认识相结合，这样整个知识体系就能系统完整且融汇贯通，这样思维才可能灵活且可落地执行实施。
对每种数学思想方法，例如观察、联想、类比、转化、数形结合、构造等也要类似这样，掌握它和其他思想方法的区别与联系，和其他低层次数学方法的联系，也要体会总结它们的运用之道，例如解题中观察和审题，如何观察，从哪些方面观察，注意事项等，这里面都有道，都有学问：有如何进行观察的一套方法和经验，需要不断学习和在实践中总结。
总结：这题解题思维过程中运用的思想方法和策略：联想、比较、矛盾分析综合、矛盾的解决例如逼近、以退为进的解题策略(从3次到2次)、类比。也体会不等式证明常用的放缩法。
数学解题的本质：关系思想和辩证的解题策略
辩证法中讲矛盾的相互转化，万事万物都存在联系，有联系就有关系。整个宇宙可建模为各种对象/事物(对象包含各种属性信息，属性一般用数据来度量)，以及对象之间的联系和关系，数学是研究数量之间的关系和空间形式的，数学对象也是这样，它们之间也存在各种关系。
在日常生活中，很多人喜欢走关系、找关系、利用关系来办事，在数学中也是这样，需要发现关系、创建关系、利用关系、改善关系、转化关系。
数学对象的关系举例：相等关系、大于、小于等大小关系例如a小于b、倒数关系、相反数关系、平方关系、垂直关系、平行关系、相交关系、三角形面积与底边&高之间的关系、直角三角形三条边之间的各种关系(主要体现为勾股定理，或用勾股定理来表达，还有三角函数正弦余弦正切等)，方程 a+b = 12表达刻画了一种关系，函数是对自变量和因变量之间对应/映射关系的刻画表达。定理、公式、方程、函数、集合、等式、不等式、二次函数曲线图像、向量运算、微积分等都是对关系的刻画和表达，同时它们也是数学研究的数学对象。
更进一步，甚至连关系都是对象，也就是把关系自身也作为对象。
关系之间也可能存在各种联系/关系，例如等价关系、包含关系、一般与特殊、因果关系、充要条件、必要条件、充分条件通常是对象之间或关系之间的关系联系的逻辑表达。
关系之间有层次和包含关系，例如除了A对象和B对象之间的关系，对A对象，进入到其内部，它内部的子对象之间存在关系，A对象和它内部的子对象之间也存在关系，也就是整体和局部之间存在各种关系。一个复杂的关系可能包含多个相对简单的关系。
数学思想方法中，方程有方程思想，函数有函数思想，但对‘关系’却没有对应的思想， 而关系是数学研究的主题之一，是数学领域的第一类对象，但奇怪的是几乎没有哪本数学书籍包括数学思想的书籍明确提到”关系思想“，都只是提到“关系”，网上也只有百度百科上有一处提到关系思想，如下图，但内容其实是关于函数的，函数也只是关系的其中一种，网址https://baike.baidu.com/item/%E5%85%B3%E7%B3%BB%E6%80%9D%E6%83%B3/19147669
数学期刊上也只查到有两篇文章[1][2]提到关系思想，见文章尾部附录，其内容仍局限于对’关系‘概念上的定义、关系的性质和外延的描述，例如用集合的方式来定义关系，等价关系的性质：自反性、对称性、传递性。函数和方程都是对关系的刻画和表达，但关系还有很多其他的表达形式，最重要的是：关系和关系思想虽然有联系，但它们是两码事，就比如熟悉方程并不意味着就具有方程思想一样，方程和方程思想是两码事，这些刊物上的文章其实未涉及到关系思想的核心内容，虽然文章中提到‘关系思想’，而实际还是对关系的描述而不是关系思想，没有涉及关系思想，更谈不上揭示关系思想的核心本质内涵。
本人认为应该名正言顺地把关系思想这个概念明确提出来，定义出来，关系思想不只是适用于数学领域，它是普遍适用的一种非常重要的思想。正因为如此，应该把它作为一种重要的数学思想方法加入到数学思想方法体系中，它在数学思想方法体系中应有非常重要的位置，属于高层次的思想。关系和关系思想是两个不同的概念，虽然它们之间有联系，就像方程和方程思想一样，是不同的两码事两个概念，熟悉方程并不意味着具有方程思想。
对关系思想，本人定义如下：关系思想是辩证法中的普遍联系观点在思想方法中的变现和具体反应，当我们遇到任何事情或解决任何问题时，一定不要忘了运用联系(关系)分析的方法，例如发现挖掘关系、识别关系、表达关系、评估关系、繁衍关系、变换关系、看透关系、构造关系、利用关系。根据普遍联系的观点，众多对象（万事万物）之间的关系形成一个整体的关系网络，就像我们四通八达的城市道路交通网一样。
在数学领域的关系思想，本人认为包含如下核心内容，这些内容在其他书籍和刊物中还未见到：
关系思想的本质涵义：数学是研究数量关系和空间形式以及模式结构的，从这个本质出发，结合辩证法中的普遍联系观，我们可以进一步得到关系思想的本质内涵：从关系入手，始终把关系作为重点关注对象，牢牢抓住关系不放，围绕关系做文章，要善于研究关系和处理关系：善于发现关系&找关系&识别出关系，看穿看透关系，善于表达关系(用数学语言例如方程、函数、图像、等式、不等式等把关系表示出来，描述刻画出来)、善于改善关系，善于主动创造(新)关系&建立关系&主动发生关系、善于强化关系&弱化关系(解耦)、善于繁衍关系、善于变换关系&转化关系、善于组合关系、善于利用关系。没有领悟关系思想是学不好数学的。
发现关系、识别关系：关系有显(明显直接的、显式的)有隐(隐藏的、间接的、微小不起眼的、隐式的)，所以我们要通过观察、分析、联想、类比、抽象等手段来发现来挖掘出对象/事物之间、关系之间的各种关系，特别是本质的联系/关系，这就是关系的发现和识别。
繁衍关系：数学对象或数学对象之间或关系之间，可以通过推理产生出/创造出新的关系/联系,例如我们通过逻辑推理除了产生新的结论，一般也可能伴随得出新的关系。解方程有时将两个方程式相加或相减或其他运算产生一个新的方程式，可以理解成对关系的组合。解题方法中的综合法就是对关系的繁衍，通过已知条件进行推理得出新的结论。
变换关系：根据需要，我们可以对关系进行变形和改造，特别是不熟悉的关系、不好处理的棘手的关系。代数中的各种运算和变形，几何中的加辅助线和变换，如平移、旋转、反射，这些通常是对关系进行变换、改造、繁衍。
表达关系：把关系翻译成数学语言，例如等式、不等式、函数、方程、几何图形、图像、集合、向量。这些都是关系的表现形式。
看透关系：洞察数学对象之间存在的关系，另一种是入门三分地对已有的关系，看透关系的表现形式背后的本质内涵。
构造关系：拉关系，创造关系。
利用关系：最终就是要利用关系来达成我们的目的，来解决问题。
数学是研究数量关系和空间形式，注意其中的数量关系，空间形式和结构也主要是各种关系。数学对象如数、量、方程、函数、集合、几何图形、点、线、面、面积、导数等等。数学对象数学对象之间的关系是数学研究的重点，数学题中存在各种数学对象，所以我们解数学题要时刻碰到关系，要时刻运用到关系，要时刻处理好关系。
已知条件除了是数据信息(例如边长是5)之外，很多已知条件描述的是数学对象之间的关系。代数和几何结构、规则、算法、定理都蕴含有关系都刻画表达了数学对象之间的关系或约束了数学对象之间的关系，例如算法表示的是输入和输出的某种关系，勾股定理刻画表达的是直角三角形三条边之间的某种关系，可以把规则、算法、定理理解成关系的化身，或把它们当关系来使用。我们使用逻辑推理主要也是依靠关系。我们在生活中习惯利用社会关系来"走关系"，有关系就好办事。
对每道数学题，从起点(题设、已知条件)到目标终点(结论、答案)的解题过程中的每一步几乎都是使用关系来不断地转化问题，不熟悉转化成熟悉，未知转化成已知，不好处理转化成好处理，和目标较远转化成越来越接近，从一种形式转化成另一种形式，从而一步步向终点靠近。不断地转化问题，也就是不断地变化，从起点一步步变化，最终到终点。
在漫谈3的第1题中，我们通过联想类比，在第1题和将军饮马和壁虎爬墙之间建立了联系和关系，从而类推出要试着用两点之间直线最短的定理和思路来解决问题，朝这个方向努力，就自然联想到熟悉的长方体的展开；第7题，我们观察图形的特点，利用该几何图形闭合和拆分的辩证关系以及对应关系。第9题是解方程，这个方程自身就是一种关系，但这个关系中还隐藏有其他关系。我们观察该方程的特点，发现了隐藏的倒数关系。有些题利用了数与形的辩证关系来转化问题，有些题利用了抽象和具体的辩证关系。
众多关系组成关系网，有关系就要利用，灵活利用好就能左右逢源，就能顺利实现目标，不能坐以待毙不去利用。
善于发现/洞察关系、善于建构(创造)/繁衍关系、善于变换/改造关系、善于表达刻画关系、善于利用关系、善于处理关系(关系增强和关系弱化解耦)来解题应该成为一种思想：关系思想。关系思想，其实就是辩证法中万物普遍联系的思想观点。数学学习和解题一定要有关系思想意识，因为关系在解题过程中是实现转化变化的桥梁。解题思路一般要有一定的凭据(why)，为何思路是这样，为何这样做这样变化。要有一定的理由和根据(逻辑)，不是想当然，除了直觉和灵感，很多不是凭运气或随意思考，不是全凭经验或类似题目的解题方法的简单模仿，而解题思路的产生源泉和凭据就是数学思想方法包括关系思想和解题策略，也就是数学思想和解题策略对探索解题思路起到指导启发作用。
在解数学难题时，找关系最简单的是直接把题目中的已知条件转化翻译成数学对象，例如方程、函数、等式、不等式、集合、几何图形、图表等，这些数学对象就是对关系的刻画表达。除了这些已知条件中明显蕴含的关系，我们还要通过观察和审题发现题目中隐藏的特征、特点、规律，分析识别出题目中的矛盾、难点，这很大程度上也是为了寻找关系，因为特征、特点、规律一般都蕴含有某些关系，这个寻找隐藏关系的过程通常要运用联想、类比、比较等数学思想方法。接下来来我们运用前面介绍的数学思想方法利用好题目中的关系来帮助我们解题，包括创造关系，改造关系，加上对题目中矛盾(此处的矛盾是指辩证法中的矛盾，不是逻辑矛盾)和难点的改造和转化、消除(对矛盾与难点的识别、转化、改造、消除可以体会第三篇中的矛盾分析法)。这样就实现了对难题的成功解题。
通过关系思想来解题，来转化问题转化矛盾，要注意两点：第一点首先是要找出关系，不管是浅显的直接的关系还是隐藏的关系，甚至是主动创造新的关系，想办法让对象之间发生关系来产生新对象和新关系，想法让关系之间发生关系来产生新的关系。如何找关系和创造关系，主要是依靠数学思想方法和观察以及审题。另一点是在找关系利用关系时要灵活调整思维的视角和方向，要讲策略讲辩证，例如正向解决问题比较困难，那我们就逆向来解决，也就是正难则反的辩证策略；具体问题不好解决就上升到抽象层次来就解决，也就是抽象化策略。这两点在数学思想方法揭秘-3的解题思维过程中已经有讲述和体现。
在数学思想方法的最上层就是观察、关系、特征、转化、辩证、反思。
下一篇：数学思想方法揭秘-14(原创)。
王国波 2019.10.13于广州
附录：
1.菏 泽 师 专 学 报 1993年第4期 《试论初等数学中的关系思想》 作者：龙灿
2.山西大学师范学院学报 1990年 第三.四期（总第5.6期）《略 论 中 学 数 学 中 的 关 系 思 想》 作者：韩 龙 淑
