回前言。
作者：王国波
本系列先前在iteye网站上，现搬迁到简书。
本系列适合有志于在数学上悟大道的人士，作为数学思维和数学思想方法论的启蒙。
本系列为原创,有感于社会上非常多的家长和学生误以为数学和物理难学,不知道数学思想方法和思维方法的重要性。问题的主要原因是社会上、网络上和学校数学教育绝大多数都是误人子弟,偏重于教具体知识,缺少思想方法、思维方法、思维过程的教学。
首先我们要知晓能力和知识的区别，每门功课都有学科知识和学科思维，思维能力培养和知识传授是教学的两个方面。虽然教育界一直在喊锻炼思维能力提高思维素养的口号，但实际情况是心有余而力不足：我们的小初高和大学本科的教育一直是偏重知识的传授，几乎每门功课在培养孩子们的学科思维方面都做的不到位，大打折扣，是跛腿式的教育，只有一条腿在走路，弱化学生思维方法的教育就导致知识也难以学好，即使掌握了很多知识也不会灵活运用，因为没有思想方法论和思维方法做指导，没有在思想上领悟开窍，即使掌握再多的知识仍是没有灵性的书呆子。没有思想作指导的思维是呆板的片面的胡思乱想，碰到难题往往就束手无策，无所适从，难以产生思路，因为不知道如何想，不知道想什么，这就是思维障碍。具有思维障碍，掌握再多的知识也难以转化成能力。思维能力和思想方法是灵魂，锻炼出有思想方法做后盾的深度思考能力，有灵魂，知识才能如鱼得水，源头要有活水。
数学思维方法和数学思想方法是数学的灵魂,是数学领域的世界观和方法论，思想比形而下的知识和方法重要。不注重用正确的数学思想方法论来给学生洗脑，没有用正确的思想武装头脑，或根本就没思想，没有思想高度，这样的教学导致学生不同程度存在数学思维障碍。假传万卷书，另一个是数学思维与思想方法书籍和文章不通透，在深度和广度不够，有的讲的不全面,有的不接地气太理论化,有的空泛如隔靴搔痒不透彻,高(形而上)不成低不就(形而下),所以根据自身自学数学的经验，创作了该系列。
思维能力的7个指标和数学思维能力构成
如何才能称得上具有良好的高品质数学思维，其衡量标准主要有7点。
1.数学思维的灵活性
数学思维必须具有灵活性，善于变通，拒绝呆板。对数学问题，能从多维度多视角去看问题思考问题，思路受阻时能迅速敏捷地调整解题思路/解题策略，反思分析总结先前的方法中存在的问题，否定先前的方法，打破先前的思维定势做出调整或彻底改变，一计不成再生一计，迅速找到新的解题方向和解题方法。数学的灵活性要求必须真懂辩证法，多维度地变化思维，而不只是在哲学中学过但不会在解题实践中运用，要在数学解题实践中运用辩证法来指导思维过程。
2.数学思维的批判性
注意批判性不是贬义的那种批判或批评，它是指要有辨别力、洞察力、判断力，要有审慎思辨的态度，要讲理性讲逻辑。对已有的解题方法和理论不盲从，不迷信权威，能独立思考，有质疑并验证的习惯。例如在解题过程中根据题目的已知条件检查自己的解题思路，不断地对自己提问来验证自己的思路进而调整纠正取舍；学会对结果进行验算；多总结反思反省自己解题方法中的问题和不足，加以改进提高。
3.数学思维的严谨性
思考问题符合逻辑无矛盾、准确。
4.数学思维的系统性
考虑问题系统全面，缜密无遗漏。
5.数学思维的广阔性
思维开阔发散开放，拓展思维空间，从多维度多方面多角度考虑问题，灵活调整变化，例如一题多解。
6.数学思维的深刻性
7.数学思维的创新性
这7个指标是从多维度多层次多角度相互补充的。严谨性体现在逻辑思维上，体现在数学公式数学定理上，体现在塑造实事求是求真务实的态度上；灵活性，在思考问题时不能死板、不能循规蹈矩思维定势、僵化固化和机械教条，要有辩证思维，灵活变通，鲜活开放，系统全面，在数学学习中要深刻理解和运用辩证法和数学解题策略。讲辩证，这是一直被强调和提倡的，而形而上学机械教条，在书本上是经常被批驳的，但如果没有领悟到如何在具体实践中运用辩证法，辩证法很容易变成口头文字上的诡辩，高来高去，空对空不接地气。在本系列中，将主要从实践层面讲述如何把辩证法灵活应用到数学学习和解题思维过程中，让它落地变现，真正能指导实践。
数学思维能力是如上所述的思维品质在解决问题等实践活动中的具体化和体现，是表象与内在的关系，虚与实的关系。如果思维能力不强，即使再有思维再有灵活性、批判性，面对问题也是束手无策，一筹莫展，抓不住问题的本质和关键，找不出解题方向和突破口&起点&切入点，找不出规律和特征。
在7个思维能力指标上要有长进，必须要用正确的数学思想方法和解题策略来武装头脑，用它们来引导和驱动自己的思维，展现思维的严谨缜密、逻辑理性而又不失系统全面、灵活辩证、批判性，也就是指导我们如何思考：在研究、学习或解题的思维过程中怎么想和想什么，做什么和怎么做。
数学思维能力构成
观察力、洞察力 、理解力、领悟力、预见力、判断力、决策力、选择力、想象力、推理力、联结力、直觉力、鉴赏力 、运算力、质疑力、分析力、抽象力、创造力、审美力、把控力、记忆力。
数学思维体系与数学思想方法
数学思维有多种思维形式，例如联想、类比等，数学思维体系中的思维形式是思维学中的子集。
思维活动有两大要素，这两大要素是形式与内容的关系，外在与内在的关系。第一要素是”怎么想”，也就是思维的外在形式，我们要熟悉多种思维形式。第二个要素是”想什么”，也就是思维的内容，内在。主要靠多种思想方法来指导我们看问题思考问题时的观点(指导我们可用哪些观点来看问题)、引导我们高效找到”想的内容”(启发我们的思维内容,引导我们该想些什么)，指导我们对数学问题采取各种行动，例如数学对象的进行各种操作：变形、配方、平方等。例如数形结合思想指导我们对代数题可以考虑代数式的几何意义，想到对应的几何图形，借助图形的直观特征来解题。
思维的形式与思维的内容是辩证统一的，思维形式和思想方法一起决定思维的起点或突破口、思维的方向和视角。没有思想或思想贫瘠肤浅，那我们的思维活动就很空洞，大脑一片空白。
碰到问题要先有方案和计划，要先搞清楚问题，先知道做什么，然后才是怎么做。对数学题，特别是难题，我们学的数学知识点通常是被动的，是工具，它没有驱动力和生命力或多少智慧，要靠思维方法论来驱动它们，指挥它们，利用它们，来把它们串起来组织起来，而解题方法是怎么想出来的怎么探索出来的？怎么解决”妙法难思”的问题？
数学思维方法论(思维方法、数学思想方法、解题(思维)策略)的作用与意义
为何很多掌握了数学知识的学生存在数学思维障碍？也就是不知道”怎么想(思维形式)“，不知道”想什么(思维内容)“、想不到、思维不严谨不全面不高效不辩证、胡思乱想。
为何要掌握数学思维，要领悟思想方法和思维策略？肯定是它们对我们有作用和意义，值得我们去研究它们。
不谈数学思维方法和数学思想方法在其他方面的作用和价值，在解题思维层面(这里的题不一定是数学题，也可以是其他领域的问题，问题也可以有大有小)，它们最直接最主要的作用就是具有思维功能：启发&引导&提醒我们“怎么想(思维形式)”、“想些什么(思维内容)”，“怎么看(看问题的思维眼光&视角&方向)”、"要做什么(意图)“、"怎么做"、"(思维)起点是什么"，诱导激发我们产生思维念头、对策、灵光闪现。也就是在思维形式、思维内容、思维主客体三方面起到引领作用，拓展思维空间，帮助我们消除思维障碍，高效地探索发现，高效地找到问题突破口和解题思路。每一种思维方法都会指导我们“怎么想”，例如联想思维指导我们要由此及彼地思考，类比思维指导我们根据从相同或相似的其他事物类推另一事物的特征&规律或借鉴解决方案。每一种数学思想都会启发我们的思维内容(想些什么)或思维方向或思维视角，例如方程思想指导我们要找等量关系列方程，“找等量关系列方程”就是在方程思想指导下出现的思维内容或念头，而特殊思想指导我们要考虑特殊情况。你对各种思想方法和思维方法掌握的越多领悟的越深刻，或者说你领悟了通透系统的思维方法论或思维框架&模型，当你碰到问题，就容易想到。反过来，就容易出现思维障碍：不知道怎么想，不知道想些什么、不知道要做些什么、不知道变通改变思维视角和方向。
思维方法论给思维功能赋能：大家都知道大脑具有思维功能，可以理解为思维功能的硬件是大脑，要有良好的思维能力，还需要给大脑配备好的思维软件，即好的思维操作系统：通透系统的思维方法论(思维方法+思想方法+元认知)。计算机中只有硬件和操作系统还不行，还要安装应用软件和工具库，而各种学科知识(陈述型知识)就好比计算机中的各种应用软件(工具软件)和工具库。思维操作系统管理&调度&激活这些应用软件。大脑中没有安装好的思维操作系统，思维能力低下是必然的。思维锻炼和熏陶就是不断地升级思维操作系统，让它越来越好。
数学思维方法论、数学思想方法、解题策略在思考数学问题时，让我们的思维能高效正确地运转，看透问题本质，它们可以在思维的外在形式和思维的内容两个维度指引和启发我们怎么想、想什么、做什么、怎么做(操作)、用什么样的数学眼光和观点去看问题，指引和调节思维方向和思维视角。
到这里，建议先回到<<数学思想方法揭秘-前言>>一文，重新阅读其中的“思维形式和思维内容”部分。思维方法主要决定思维形式，它启发引导我们”怎么想“，例如联想思维指引我们或提醒启发我们要联想，类比思维指引启发提醒我们要类比。如果不知道数学思维工具箱中有哪些思维方法，碰到问题时，就不容易想到要采用这些思维方法。而各种数学思想方法启发引导我们”想什么“，让我们的思维有内容，大脑不至于一片空白。例如方程思想启发提醒我们关注问题中隐藏的方程模式，要我们想到方程，要找出问题中的等量关系列方程。思维方法和思想方法的区别在<<前言>>中已经讲解过，在实际运用时或讲解思维方法时，思想方法和思想方法通常是合在一起使用的，水乳交融的，例如“相似联想”这种联想思维方法，其实是相似性思想加联想思维。知识是僵死的，在有灵性的思维方法和思想方法的启发引导下，我们就容易激活&调动&组织&编排&利用大脑中沉睡的僵死知识，让这些知识派上用场，发挥作用，把这些知识转化为解题能力，否则这些僵死的知识是不会主动解决问题的。为何很多学生掌握了数学知识，但碰到有些难度的问题，所学的数学知识利用不上，一看答案所用的数学知识都学过，但自己当时就是想不到，所学的知识不能变现转化为能力？原因就在于我们的学校数学教育和培训班普遍在学生思维训练方面一直是心有余而力不足，主要是灌输数学知识，缺乏到位的思维训练，即便是头部的(悟性好、有些学习天赋)很多学生也没有得到通透系统的思维训练，容易出现思维障碍。巧妇难为无米之炊，有时候是由于我们数学知识掌握不好导致问题没有解决，这都不是啥问题，去学知识就行，初高中知识很容易学，很多可以自学，相比较而言，无形的思维难以掌控，难以领悟思维之道，这也是写这个系列的原因，力图传授通透系统的数学思维之道思维方法论。
思想是行动的指南，在思想观点的引领下指引启发我们看问题的视角和方向，有什么样的思想就有什么样的行动，在数学解题思维过程中，有什么样的思想就有什么样的解题操作，例如对代数题，如果运用数形结合思想，我们就会思考代数式的几何意义，构造对应的几何图形。数学思想就是数学的基本观点，是对数学概念和数学方法的本质认识。学的知识多并不意味就有智慧，并不意味会灵活运用。数学考试成绩好，甚至能在数学竞赛中获奖也并不表示数学真正好，真正好是要有智慧，也就是要能领悟到数学思维之道，而数学思想就是数学中的智慧和道，没有悟道，即使小初高阶段能获奖但没有悟道数学思维，也很可能后继乏力。
大海航行靠舵手，数学思想方法是解决数学难题的金手指、敲门砖、思维的火花塞、金刚钻、桥梁纽带、鱼饵、药引子、催化剂、导火索，是黑暗中的指路明灯。很多数学难题和奥数题的解题方法是怎么想出来的？难题开头难或中间卡壳时，如何探索出解题方向解题思路和解题方法，其实这个也是有章可循的，真不需要有天才的头脑，就是靠一套数学思想方法(包括解题策略)来做指导，运用它们来推导探索出具体问题的解题突破口、解题方法和或看清问题本质，来做已知和未知(包括解题中间环节和答案结论)的沟通桥梁，来穿针引线建立几个对象之间的联系，来穿针引线形成解题思路和解题方法，最终把知识点串起来组织起来解决问题。星星之火可以燎原，对数学难题，没有数学思想方法这个火花，后面的熊熊大火也就是解题思路和解题方法难以产生，数学思想方法也类似小鸡破壳而出前关键的一啄，没有这一步，很难找到题目中隐藏的解题突破口和解题方向。
训练良好的数学思维能力，主要是在教学中启发引导学生的思路，在教学中渗透数学思想方法，例如联想、类比、归纳、转化、抽象等思想方法，输贯数学思想方法，引导学生在分析问题解决问题过程中运用数学思想方法来探索出题目的解题方法。只有知识没有思想，在解题时对知识的运用是被动的，自发的，盲目的，局限的，而有了思想觉悟，解题就是主动的、自觉的、有意识的、辩证灵动的、高屋建瓴的、批判的、高观点指导下的。掌握了知识不一定掌握思想，例如掌握了方程知识，不一定具有方程思想，就看你是自发还是自觉使用方程来解题，如果在半迷糊蒙昧状态下使用，或还需要题目文字中用'方程'两个字来明确提示你才意识到，那就是自发，还没有这种思想意识，方程思想还没入心入脑。
知识点是死的，对难题，像迷雾一样看不清前进的道路和方向，很多时候只能模糊猜测到要用哪些知识点，有的根本想不到要用哪些知识点或用上熟悉的知识点也解决不了问题，无法形成和展开自己的解题思路和解题方法，此时就需要有数学思想方法来拨云见日，做开路先锋探路者，来做问题域到解决方案域的桥梁和药引子，运用它们来探索出解题方法和解题过程，使解题思路和解题方法自然呈现出来，由隐到显，从模糊到清晰。在探索过程中随着解题方法的逐渐清晰和成形，此时感觉难题已经不太难了，思路脉络和解题方法已经变得清晰明朗可见了，像简单熟悉的题一样，此时自然而然就知道要运用哪些知识点，所以说知识点需要数学思想方法来盘活、来激活调动它们，否则它们就在你脑中沉睡。
数学思维方法论、数学思想方法、思维策略&解题策略是数学领域形而上的大道，是数学思维活动本质和思想规律观点的总结概括。
常用的数学思维方式和数学思想方法具体有哪些，总结如下：
思维方式：思维的分类维度比较多，例如逻辑思维与非逻辑思维、创新思维与常规思维，求同思维与求异思维、理性思维与感性思维、横向思维与纵向思维、建构思维与求解思维、经验思维与科学思维。从思维的形式来分，有：联想、类比 、归纳、演绎、抽象逻辑思维、逆向思维、形象思维&具象思维、观察与试验思维、相似性思维、直觉思维、灵感思维、发散思维、组合(聚合)思维、决策思维、辩证思维、系统思维、结构化思维、溯源思维、多视角思维&立体思维、属性(性质)思维、层次思维、棋局思维(谋局&做局、识局、破局、控局、算局、定局)、(情景&context)场景思维、柔性思维。
思想方法：分类思想&分组与整合&归并&配对思想、枚举(穷举)&遍历思想、关系思想&网络化思想、转化思想&化归&转译&转移、数学变换思想、代换思想&置换思想、等价(等效)思想、本质思想、数形结合、分析思想、要素思想、互逆思想、主线思想&主题思想、确定性思想、简约(简缩)思想、分离思想、赋义思想、有无思想、母体思想、筛选、隐含条件思想、符号化思想、集合思想&集束&族系思想、对应思想、方程思想、函数思想、假设思想、均衡&中道思想、平均思想、特殊化思想&极端性思想(考虑特殊情况或极端情况：特殊值、特殊对象、特殊情况、最大值、最小值、最优值、最差值、最理想&最糟糕情况、边界&临界值、端点值) 、无穷递降思想、极限思想、估值思想、试验思想、对称思想和对偶思想、补美思想与完形思想、算两次思想、周期思想、运动思想、阶段思想(过程&流程思想)&中途点思想、递推和递归思想、整体思想/整体观/系统思想、模型思想、模式思想、结构思想、基底思想/基本量思想/最小维度思想、变基思想、模糊思想、秩序/有序化思想、顺序思想、比较思想、规约化&归一化思想&单位1思想、放缩思想、多样性思想、比例思想、局部调整思想、逼近(渐进)思想、遍历思想、迭代思想、优化思想、优先级思想&权重思想、微积分思想、分层(层次)思想、构造思想、组合(集成/重组/重构)思想、配凑思想、迁移/转移思想、算法思想、计算思想(通过计算运算来解题。数形结合中的数就意味着它包含有计算思想。另外有些关系、规律、特征在解题开始阶段看不出来，要经过计算之后才能凸显出来)、分而治之思想、概率思想&随机思想、采样思想、统计思想、编码思想&标识(编号)思想、离散思想、工具思想/功能思想/功用(效应)思想、角色思想、合理合理推理&猜想&设想&想象、传递性思想、核心(中心)思想、对象化&概念化思想、移植与杂交思想、原子与元化思想、维度思想&最小维度思想&公理化思想、媒介(中介)思想、参数化思想、守恒思想(变中有不变思想)、常变思想、调节(调整)与调和思想、兼容(兼容并蓄)扩展思想、相对性思想、拟合思想&模拟思想、虚拟化&虚构思想、变格思想(升格/降格/缩格/更格/分格)、统一性思想、标准化思想、最小作用量思想、齐次思想、齐物&平等思想、动态生成&构建思想、增殖效应思想&繁衍&推演思想、数学美(审美/美感)思想、参照系思想、理想化思想、外推思想、族系思想。
思想方法按词性可分为两种：名词(概念)型思想与动词型思想。
名词型思想，比如方程思想、函数思想、关系思想。
动词型思想，比如组合思想、运动思想、数形结合思想、分类思想、构造思想。
在小学阶段就应该开始进行数学思维形式和思想方法启蒙，在高中阶段就应该领悟掌握这里面的绝大多数。
思维策略和解题策略：学习思维策略，最好先了解下元认知。元认知就是对认知的认知。是个人对自己的认知加工过程的自我觉察、自我评价和自我调节。解题策略就是解题时遵循的总体方法和原则，一般是灵活的，变通的，柔性的。俗话说当局者迷，旁观者清，这些策略好像一位旁观者或监工者，对思维起点、思维方向、思维视角起到指导、调节、变通、反思、优化、监控的作用，在解题中对解题思路和方向进行调整，防止思维出轨或即便偏离正确轨道也能及时调整到正确轨道，防止思维呆板僵化或陷入思维定势或即便陷入呆板状态也能及时反省意识到，从而摆脱。
解题思维策略主要有：
1）基于辩证法和辩证思维对立面进退互化的转化策略。具体的进退互化策略非常多，至少几百种，常见的一些有：
抽象-具体策略&抽象到具体-具体到抽象/抽象化策略&具体化策略，碰到抽象问题，如果难以解决就想法具体化；碰到具体问题，如果难以解决就抽象化，一句话抽象不行就具体，具体不行就抽象，要灵活辩证地利用抽象和具体的辩证关系来进行转化变通。
直接-间接策略、复杂-简单简化/简化策略、一般-特殊/一般化策略&特殊化策略、主要-次要、主-从、已知-未知、陌生-熟悉、正向-逆向&正难则反、高次-低次、高维-低维、整体-局部、数字/常量-变量、相等-不等，还有很多，例如内-外，数-形、矛-盾，都是根据辩证法辩证思维中的一些对立统一的概念和矛盾关系或关联关系来采取灵活的变通策略。后面会有一套辩证思维词汇表配合该策略的实际运用。
对立面进退互化的策略，要结合矛盾分析法找出问题中存在的和谐的、不和谐的各种因素。
2）基于特征驱动的策略。
3）基于关系思想的策略。
4）基于模式识别的策略。
5）基于合理推理、合情设想&意图、合情猜想的策略。
6）基于监控反思调整的重认识策略。
在解题过程中思维受阻时，要运用监控反思调整策略摆脱思维困境。
7）避重就轻策略。从薄弱地方入手，绕过难以直接解决的因素，体会下庖丁解牛的故事就大体明白了。
在解题过程中，要关注和评估当前解题方法的复杂性和进展情况，例如觉得方法繁琐，运算量大、出现蛮力求解、求解困难时，此时要对该方法的好坏优劣、适用性、正确性有所警觉质疑，是否此路不通？回头是岸，要及时调整思路和方法或甚至放弃转向探求新思路和新方法。
对有难度的问题，在解题受阻时，要反问提醒自己，多维度地发散反思：是否陷入思维定势?问题中不和谐的因素(痛点)有哪些？当前方法和思路的特点和切入途径？如何利用好已知条件？是否还有一些条件没有充分利用？是否还有一些隐藏的条件或线索没有发现？遍历自己的数学知识库，还有哪些数学知识和数学方法没有使用？是否有些知识不熟悉？还有哪些思维方法和思想方法没有使用?解题操作还能怎么变一下？数学对象还能怎么变化一下？思维视角、思维方向还能怎么变一下切换一下？还有哪些对象和问题没有考虑到？还能发现哪些关系？还能建构哪些关联关系？是否还隐藏着一些模式&模型？是否能建构一种新的数学模式&模型把数学对象纳入到模式中?
这样不断地反问，诱导自己产生新的解题念头，从而有可能产生解题突破和转机。
解题完成后，也要反思总结自己的感悟、得失（心得体会）、经验，提炼思想方法，完善自己的思维方法体系。
思维原则
合情合理原则、熟悉化原则、数学美原则（和谐化、简单化、有序化、统一化、标准化）、充分利用条件原则/用好条件(用好用足原则)、直观化原则、具体化原则、开放性原则、条件集中原则、模式化原则、系统化思考原则(包含了辩证思考)等。
合情合理原则是思维也是数学思维需要遵循的的第一原则(首要原则)，包含合情与合理两部分，合情和或合理地分析思考，合情合理地设想&猜想&推理&想象，合情合理不排斥大胆想象。逻辑思维和非逻辑思维都要遵守该原则，此外不要把此处的”合理”狭义地理解为为百分之百的符合逻辑才算合理，非逻辑思维，例如直觉、想象、联想、类比等就不符合严格的（百分之百）逻辑，这些非逻辑思维应该理解为广义的合理。
锻炼逻辑思维能力不难，甚至可以说很容易，难在锻炼各种非逻辑思维能力。只偏重训练逻辑思维的数学教育是不及格的教育，是对数学思维错误的理解，数学思维高手的思维功底，更多地体现在非逻辑思维能力方面，非逻辑思维才是数学发现、发明创新的利器。
上述这些原则是通用的原则，每种思维方法和思想方法自身还有自己的一些原则，例如对数学思想方法中的分离思想而言，高内聚低耦合原则是运用分离思想通常需要遵循的原则，一般情况下不要逾越。
解题策略和数学思想是左右手的关系，好比太极图中的阴阳鱼，一刚一柔，相互配合，相互协作，相互协调，相互联系又相互调节制衡，达到一种动态的和谐平衡，一阴一阳之谓道。
这些数学思想方法和解题策略可以说每一种都提供了思考问题/看问题的不同的视角或观点，从总体上，它们之间也有一定的层次关系和结构，如下图1，有些思想之间是相互渗透交融，其中关系思想和解题策略是高层次的、形而上的数学思想方法，其他思想方法相对而言都是形而下的，都是从这两个具体化和派生出来的，例如方程思想、函数思想、数形结合思想，就是因为存在关系，例如数形结合思想就是因为存在数和形的关系。更进一步，可以说整个数学思想方法论体系包括解题策略思维策略都是为了指导我们的思维和行动，让思维和行动能灵活变化，数学思维的本质是变化，就是辩证法中所讲的运动变化。只有在运动发展过程中不断地去合道，不断地从多维度多层次灵活辩证理性地去探寻事物的本质规律。绝对的运动变化，对应相对的静止不变，在认识事物的过程中，有个不变的，就是思想方法论，成熟的方法论是相对不变的。
联想，思维由此及彼是运动变化;抽象，去粗取精，去伪存真，提炼本质，是运动变化;分析综合是运动变化；转化化归更是运行变化。这是在无形的思维和决策层面的运动变化，在行动操作层面更是运动变化，就拿数学解题过程举例，解题过程中的各种运算、变形、变换也是运动变化。
事物的发展规律包括思维规律思想方法论和解决问题的方法本来就客观存在，也就是道本来就存在，我们只不过是去合道，与道相合相应，发现它，体认它。
没有哪种数学思想方法是万能的，在解决具体数学问题时，一般是综合运用多种数学思想方法，有机结合起来使用。
数学思想方法和解题方法的区别和关系
数学思想方法和具体问题具体题目的解题方法的关系，就像渔和鱼，难题的解题方法是隐藏在浑水中的鱼，不能一眼看见它，洞见它，此时需要用渔把鱼钓出来，类似地，需要运用数学思想方法把解题方法找出来探索出来，数学思想方法是方法的方法。
数学思想方法和具体问题的解题方法的关系，也可用另一种方式来比喻，是母与子的关系。数学思想方法是母，具体的解题方法是子，由母产子，要有一套数学思想方法论来做指导。不知母，焉知子？不知母的结果就是难产或产出歪瓜裂枣，就是难以高效地想出解题方法或想出来的是较繁琐的方法。但在我们的多年的教育中，不管是数学还是其他学科，不管是先前的应试教育和现在所谓的素质教育都不注重思想方法的培养。对语文教育例如写作，有写作思想方法论教学生如何写出一篇好作文的教学吗？在数学教育中，有数学思想方法的教学内容吗？不管是学校的教材和教学，以及各种校外奥数培训机构，几乎都不注重训练数学思想方法，最多是挤牙膏似的所谓渗透点数学思想方法，蜻蜓点水轻轻带过。大多教的是知识点和低级低层次的数学方法，例如分数的裂项法、方程的消元法、换元法、配方法，或者让学生死记结论公式，记题型。但学生不知道这些低层次的数学方法体现的是什么数学思想方法，例如不知道消元法体现的是转化这种数学思想，把未知转化成已知(例如把二元一次方程转化成先前学过的已知的一元一次方程)、把不熟悉转化成熟悉、把不好处理转化成好处理。知其然不知其所以然，碰到新的题型，低层次的方法存在较大局限性，适用范围有限，学生就束手无策，傻眼没新思路了，再说学生总要走上社会要独立解决新问题的。不是说这些不重要，这些是低层次的形而下的，有较大局限性，只教这些是不够的，要有普适性指导性强的数学思想方法。
数学思想方法的三种层次：
思想理论指导实践。图1中低层次的数学方法在我们平常的教学中就有传授，它具有实践性，是包含有具体操作步骤的方法，适用面较窄(如待定系数法一般只在多项式分解中使用)，不具有方法论的意义，我们大多把它们称为数学方法而不是数学思想方法，较高层次的数学方法是属于逻辑学中的数学思维方法， 平常的教学中也有传授。而高层的数学思想方法具有理论指导性，适用面教广，层次高。低层和较高层的数学方法体现高层的数学思想，它们是数学思想方法在数学解题中落地实施的手段和工具。数学思想是数学方法的升华。
在该系列中，我们主要讲述较高层次和高层次的数学思想方法，特别是高层次的数学思想方法。这些思想方法还可进一步划分为更精细的层次和结构，其中转化(化归、变化)和构造法是两种基本的思想方法，构造法思想也一定程度上体现了转化思想，所以大体上可以认为其他的数学思想方法都可归结为转化思想的一种实现手段，转化思想是高层次的数学思想方法。
从整个数学思维体系来分，大致可分为三层：思维层、思想层、实践操作执行层。配方法、待定系数法、各种变形&变换&运算如几何中的平移变换等都位于实践操作执行层。
万般神通皆小术，唯有空空是大道，道和术，每个学科每个领域都有形而上的道和形而下的术，都有一套方法论，就看你是否能悟道能领悟它们。先哲说过：以道莅天下，其鬼不神。掌握了大道，牛鬼蛇神还能神奇？ 数学思想方法就是数学领域的大道，它不是阳春白雪，不是高高在上高不可攀，一般智力的学生静下心来通过正确思维训练和熏陶模仿，通过在解题中运用体会这些思想方法，大多数人是可以掌握的，即使在小学高年级也是可以学会大部分的，初中或高中理解掌握起来就更容易了，大学就太晚了。这一套数学思想方法论是一得永得，一悟永悟。领悟之后，在小初高或以后都能用，其他理工科学习也能借鉴，数学思想方法论是终身受用。
数学思想方法与数学知识的关系
不是说数学知识和低层次的数学方法不重要，它们是基础很重要，肯定要有丰富的知识储备，数学思想方法虽然重要但也不是万能的，在解题过程中思想和知识两者缺一不可。数学知识和数学思想方法的关系好比鱼和水的关系：只有鱼没有水，那鱼会死，只有数学知识，没有数学思想方法，数学知识是死的，不知怎么用到难题上，门都没有，解题思路都没有，皮之不存，毛将焉附。只有水没有鱼，那就是一滩清水，只有数学思想方法却没有掌握足够的数学知识和低层次的数学方法，那就是空谈清谈，巧妇难为无米之炊，有心无力，只有将没有兵。数学思想方法是金手指，指方向定战略找解题突破口，是高层次的，数学知识和低层次的数学方法是战术执行，高低搭配良好配合才能解决难题。
综上所述，真要有数学家的头脑或良好的数学思维能力，在数学思维过程中一定要有数学思想方法的教学和运用。那种阉割思维过程，不讲述思维过程，只注重具体题目的解题方法，不让学生明白和领悟解题方法是如何在思维过程中运用数学思想方法探索出来的教学方法，不给学生说明具体的数学方法(例如消元法)体现了什么数学思想方法，这些都是没有思想的教学方法，是教育的失败,是误人子弟。点石成金，有几个人不熟悉金子的，关键是金子怎么来的，是那个能点石成金的手指头，这样的手指头不容易拥有，这个是难点。对数学难题，如果给出了题目的解题方法和解题过程，相信大多数学生自己都能看懂，不需要老师花功夫讲解。但这个解题方法是怎么想出来的，把解题方法想出来的思维过程，这个才是关键才是难点，也是大多数老师和书籍讲不清楚或不愿意讲的，这样好比是直接给你鱼，不传授渔，给你金子而不训练你点石成金的手指头。如果要培养数学头脑数学思维，我们最需要的是点石成金的手指和渔，而不是金子和鱼，虽然金子和鱼也要，数学思想方法指导下的思维过程就是数学领域中的金手指和渔，但这个恰恰在教学过程中和学习实践中被忽视。没有思想的教育，造成培养出来的人自学能力和思维创新能力不足，缺少质疑和否定反思的习惯，绝大多数素质不高，很少有领军人物，这可能也是老校友钱学森提出世纪之问的一个原因。毕竟大多数人不可能自觉悟道数学思想方法，我们的教学方式，导致没有掌握数学思想方法的人很多，即使数学系的学生，还是其他专业的博士还是教授，无论是哪个学校，他们大多只是学的知识点多，就如同看的新闻多而已，缺少灵活运用的思维能力。
数学思想方法的重要性
本人在初中开始自学数学，自己领悟数学思想方法。在80年代的农村学校，没有现在随处可见的参考书籍资料，没有网络和电脑，想提高只有自学。高中数学和物理几乎不听老师讲课，也不做老师的作业，因为一看就会，就靠自学几本有些零星数学思想的数学参考书，边学边总结领悟，在高中对数学思想方法和数学思维有了较深入的领悟，也锻炼了自学能力。小初高数学一直非常好，喜欢研究总结解题规律和数学思想方法，对思维方法也感兴趣，玩数学思维必须要了解些思维学。本系列主体内容均来自初高中阶段对数学的领悟。
1990年高考填自愿时曾想报考国际数学大师陈省身所在的南开大学数学系，听老师建议上了西交大电气工程系电器专业，电气工程属于西交大的王牌，电器是王牌中的王牌。北大属于理科类大学，在工科类大学中，90年代以及之前，西交大实力只在清华之后。下图是1989年国家教委联合国家权威机构在报纸上公布的工科大学排名，不是现在社会机构的排名。老一辈有一些知道有这样一句话:'北有清华，南有交大'，指的是当时的上海交大，但50年代交大西迁，从上海搬到西安后，交大主体在西交，钱学森本科老师在西交。至于后来的衰落，主要是因为改革开放后经济发展、地理位置、资金投入等原因，孔雀东南飞是趋势。
从高中二年级上学期开始接触某个和学习无关的领域，课余看那方面的书籍，有时晚自习之后外出到河堤上练一会，几乎没有考大学的焦虑和压力，还真不担心自己能不能考上大学。在大学阶段，更是痴迷于那个领域，很少去上课也很少去图书馆，去图书馆也主要是看那领域的杂志，很少去上课，即使上课也是心不在焉和中途逃课，大学4年绝大多数时间就是看那领域的书籍、打扑克升级和睡觉，学习没放在心上，也不觉得有必要放心上。大学考试时不只是数学，其他理工科课程考前突击学习几天就能考出不错的成绩，别人还以为是天才，数学竞赛也能获奖。数学思维上了层次，其他理工科课程也能受益。这些就是靠上大学之前通过数学思想方法锻炼出来的数学思维能力和自学能力，靠先前锻炼出来的深厚的数学思维内功。
个人觉得真领悟了数学思想方法，真会自学，大学大多数理工科专业不难，至少本科，都是烂大街的知识，不需要老师教，自学就行，除非是很前沿的并且是没有书籍的才需要精通的老师传授和指点。另外真的把数学自学能力锻炼出来了，一般会识别书籍的质量好坏。理工科的书籍，看看目录，翻几页就知道书籍好不好，书籍作者的功底怎样，好的书籍有较完整的体系，对概念之间、知识点之间的区别与联系讲的比较清楚，对难点和重点讲的比较透彻，有一些方法论，有一定的思想深度，不能只有干巴巴的知识。学校给个课程表，有图书馆等资源，找好书自学比绝大多数老师教的效果好多了，并且还节约时间。
毕业后6年转行到IT行业，也没觉得软件编程有多难，看了几本核心的书籍，半年就熟悉了软件知识体系和核心技能，曾先后在华为(深圳)、阿里(杭州)、大疆创新从事软件开发，担任技术专家和软件架构师。虽然高中毕业后就没再钻研数学，几十年后，碰到小初高的难题和奥数题，虽然是没见过的题型，绝大多数题仍能运用数学思想方法探索出解题方法。即使是一些小学数学难题或奥数题，没有掌握扎实的数学思想方法和思维方法，博士教授也是束手无策无可奈何。真正数学好不只是难度大的考试分数高，这个只是必要不充分条件，充要条件是掌握数学思想方法，这个真掌握了，考试分数不在话下，考试成绩必然好。悟道了数学思想方法论，才能保证思维灵活上层次，才能反哺其他理工科课程的学习，要感觉学其他理工科课程也轻松，例如物理和其他理工科课程。理工科自学能力和多年后解决新题型数学难题的能力，以及是否能把数学思想方法与哲学思想融汇贯通，相互印证的能力，是验证自己是否真掌握数学思想方法，是否在数学领域真开窍真开悟以及悟道层次的一种有效方式。
现在的年代接受初等教育和高等教育是很容易的，现在的文盲不是不识字和没知识的人，而是不会自学，不知道思想方法重要性的人，没有系统掌握思维方法，没有正确思想方法论的人。
是否有必要学奥数
数学学习，我们除了要掌握数学知识点之外，学有余力且有兴趣在数学思维方面进一步提升自己的同学，在初高中阶段还要注重接受数学思想方法的熏陶和学习，这才是本，学奥数的主要目的也是为了领悟数学思想方法，通常奥数里面的数学思想方法的内容多一些，奥数题也比较适合用来阐释数学思想方法，当然并不一定只有奥数题才能起到这个作用，用一些简单的题或有些难度的题也适合用来阐释数学思想方法，所以学奥数是末，数学思想方法才是关键本质，不要本末倒置。
大多奥数培训和数学思维培训都是本末倒置和挂羊头卖狗肉，不注重数学思想方法的奥数培训班很多，这就是在忽悠学生和家长。缺少数学思想方法教育的奥数是走邪路，误人子弟。参加这样的培训班，虽然比不参加的要强，但因为没有思想方法，所以只是短期有效果，不能走远，难以独立解决新的难题。另外即使打着数学思维培训的幌子，真正有水平的数学思想的培训很少。另一方面是有关部门不作为，教学大纲中缺少数学思想方法的教学，只提及从牙缝里渗透一点数学思想方法，至今没有初高中阶段的数学思想方法课本，只有纯教数学知识点的课本。对老师的数学思想方法的水平也没有作考核和要求。
哲学层面的理解
数学思想方法是数学思维中的道，但还不是最高的道，它还只是具体学科中的道。哲学研究世界观和方法论，也就是形而上的道，这个就比数学中的道层次要高一些。科学的科学是哲学，任何具体科学或任何学问，没有上升到形而上的哲学层面（道），总是处于形而下（具体学科中的道和术），那通常说明这种科学和学问还没完全成熟，还不完美，境界还不够高，类似地，如果个体/个人没有悟道形而上的道，那就说明他的思维层次还不够高。这里我们来高大上一下，和哲学套下近乎，这些数学思想再升华到哲学上，就是辩证法辩证思维：矛盾观，矛盾对立统一，相互转化；联系观，万物普遍联系/关系，联系的多样性、普遍性、客观性等，联系是桥梁是纽带。以及运动发展观，整体观、质变量变、否定之否定。这些哲学思想必须要能指导具体科学，指导思考过程、帮助人们理解思维规律。
联想、类比、归纳、抽象等等这些数学思想归根揭底是万物包括数学对象之间存在各种类型的联系和对立统一，才衍生出这些数学思想方法来反应联系的多样性和普遍性。
即使是知识点和各种概念，也应该要融汇贯通，知晓它们之间的联系关系和区别，要有这样的习惯和意识。简单的如加法和乘法的联系，可能学生们觉得这个联系太简单了，以致于不重视这种习惯。其实应该给他们多讲几个深刻些的例子来重视培养这种习惯。例如，我在教小孩用抽屉原理解题时，忽然联想类比到平均数，意识到抽屉原理和平均数之间的关系，抽屉原理就是离散情况下的平均数，又给他补充讲解离散/量子和连续的区别和关系，借助连续情况下的平均数让他理解抽屉原理中有时加1有时不加1是为什么，这样就把零散的知识点连成片，融汇贯通形成知识网络知识体系结构，借助对容易理解的平均数，加深了对抽屉原理的理解掌握。在教小孩将军饮马问题时，同时教他光反射定律，将军饮马走的最短路线就是光反射时走的路线，告诉他光真聪明，将军或马如果是光，就会自动走最短线路，就不需要你来解将军饮马问题了，让他明白大自然的神奇，也让他明白事物之间存在各种关联和联想类比，再让他总结光反射和将军饮马中都有对称。
数学中研究各种关系包括数量关系，要善于观察发现题目中隐藏的关系，利用好关系。
真能了解万物的普遍联系，建立了关系网络，融汇贯通，没有孤岛，又加上没有知识盲点，那就会游刃有余，左右逢源，随心所欲，思维岂能不灵活？
碰到问题时和解题碰壁时，要多方面多维度反思：反思先前的观察和审题的视角是否有问题，是否能从新的角度来观察和审题；反思是否用好和用足了已知条件和结论；反思先前的思想方法和解题行动。在反思基础上做出调整。
数学问题千变万化,对应地，我们的思维也要灵活地变化。要想既快又准的解题,总用一套固定的方案是行不通的,必须具有思维的发散性、灵活变通性：善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案，碰壁时能及时反思，调整变换思路，这就是解题策略或思维策略。思维要灵活地变化，但并不是天马行空，变中也有不变，一定程度上也是有章可循的，这就是升华总结出来的一套思想方法论(包括解题策略方法论)。
思维要灵活变通，很大程度上离不开发散思维、辩证思维，解题策略：如抽象化原则，利用抽象与具体的辩证关系来解题(抽象化原则：当觉得陷入具体化的泥潭中时，要对问题进行抽象，去粗取精去伪存真，过滤剥离一些非本质的噪声和干扰因素，得到本质的抽象的问题描述和本质的问题模型，在抽象的基础上进行研究，再把研究结果运用到原来的问题上；具体化原则：当对抽象的问题没有经验，缺少感性认识和理性认识时，以退为进，先研究具体的简单的简化的情况，得到感性认识、经验、启发、规律，有一些经验或理性认识之后再回到抽象问题上。总体上，灵活运用抽象和具体的关系进行变通就是一句话：抽象不行就具体，具体不行就抽象)，利用一般与特殊的辩证关系来解题。解题策略不全是辩证思维，一些解题策略如基于特征驱动的思维、合情推理、合情假设&合情设想&猜想&想象、基于意图的思维等就不属于辩证思维，但通常在解题中要结合辩证思维。
古代典籍例如道德经和易经中就处处体现辩证思维，例如道德经第②章中的'有无相生，难易相成，长短相较，高下相倾，音声相和，前后相随'。反者道之动，我们要善于运用辩证法中矛盾的对立统一相互联系相互转化来解题。在解题过程中包括反思过程中，辩证法的矛盾观，对立统一，以及普遍联系观等都对我们的解题思维有助益和指导，在解题中要灵活运用如下存在对立统一辩证关系的概念来帮助思考问题，这是一套辩证思维词汇表，指导我们思考过程中的解题策略，勇于用开放的心态有意识的打破思维定势和机械教条，走出思维死胡同和思维障碍，多维度多角度全面思考问题，数学课本中特有的逆运算和概念以及存在相互联系、相互转化的、相对的、相反的概念和知识点在辩证思维词汇表中就不列出了，例如加与减、加与乘、各种运算与逆运算(如平方与开方、对数与指数)、函数与反函数、定理与逆定理、数与形、奇数与偶数、代数与几何、方程与函数、方程&等式与不等式、最大值与最小值、点与线、线与面、平面与立体、抽屉原理与平均数。
辩证思维词汇表
词汇表内容：对立与统一、和谐与不和谐、互补&相容与互斥、具体与抽象、特殊与一般、直接与间接、思想与方法、形式与内容、感性认识与理性认识、直觉与理性、纯粹性和完备性、逻辑思维与非逻辑思维、逻辑与直觉、二值逻辑思维与多值思维&模糊思维&辩证思维、辩证逻辑与形式逻辑、个性与共性、求同与求异、重复与唯一、泛化与窄化、同构与异构、相同-相近(相似)-相异-相反、相关与无关、相似与接近、局部相同/相近与整体相同/相近、模式与同构、状态与过程、问题空间与解空间、融合与冲突(分歧)、内在与外在、现象(表象)与本质、形(象)与质(神)、形似与神似、目标(目的、意图)与手段&做什么与怎么做、机制与策略、过程与结果、原因与结果、条件与结论(题设、已知条件与目标结论/答案，证明题中的结论也相当于是已知条件)、充要条件与必要条件&充分条件、等价(等效)与不等价、归纳与演绎、合情推理与演绎推理、体与用、形而上与形而下、主要(关键、重点)与次要(辅助)、主与次(从、辅)&主与客、主角与配角、动与静、平等与等级(尊卑、歧视)、自由与约束(限制)、孤立&独立与联系(联合)、依赖与独立、部分&个体&局部与整体&群体&系统&集合、完整与残缺、元素与集合&个体与集体、点与线、线与面、平面与立体、平面与曲面、二维与三维&多维、符合(满足)与违背违反(反例）、不规则与规则、规范与不规范、形式化与非形式化、质变与量变、突变与渐变、结构-(属性)性质-功能(作用)、形式与功能、性质与特征、定量与定性、包容与排斥、少数与多数、常规与非常规、推理与想象&猜想&设想、否定与继承、决定性与辅助性、作用与反作用、相关(关联)与无关(独立)、任意与限定、限定与非限定、物理与逻辑、通用与专用、分裂&分类与统一、线性与非线性、灵活与呆板、破与立、进与退、升格与降格、历史与逻辑、解构与重构、趋同(同一化、统一化、标准化、规范化、模式化)与向异、保守与激进、理想与现实、粗略与细致、良性与恶性、肤浅与深刻、简单与复杂、难与易、已知与未知、确定与待定、确定性与不确定性、可控与不可控、构造性与非构造性、构成与生成、预设与生成、发扬(选择、继承)与抛弃、取与舍、熟悉与陌生、变量与常量、顺应与同化、改造(改进、变更)与创造、同化&归一化与异化、障碍(矛盾)与助益、（目标)意图与(功能)功用、变化与恒定(稳定)、严谨与猜想(想象设想)、严格与宽松、完备与欠缺、通用与专用、一元与多元/单一与多样&多元&多面、增与减&递增与递减、高与低、目标意图与功能实现、美与丑、平衡与失调(倾向)、平均与参差、拟合与逼近、公平(均衡、中庸调和)与偏向、深度与广度、和谐与冲突、规整(秩序)与杂乱、耦合与解耦、紧耦合与松耦合、折叠与展开、松散与紧密、分解与组合(聚和)&分与合、分解与重组(重构)、混乱与秩序(有序)、熵增与熵减、分析与综合、内(里)与外(表）、主观与客观、主动与被动、攻与守、主与从、自变量与因变量、绝对与相对、时间与空间、统一与分裂(分化)、偶然与必然、战略与战术、本(基础)与末、根源与末流、聚与散、先与后、头与尾、开始与结束、虚与实、实在与虚构/虚拟、自然物与人造物、存在与构造、存在与虚无、新与旧、有与无、递推与递归、前驱与后继、过去-现在-未来、先天与后天、无为与有为、平衡与失衡、来与往、凸与凹、直与曲、横向与纵向、真与假、是-否-未知、成与败、得与失、长与短、显与隐(潜)、有形与无形、刚与柔&刚性与柔性、明与暗、阴与阳、左与右、上与下、前与后、进与出、台前与幕后、顺与逆、升维与降维、高维与低维、升次与降次、高阶与低阶、弱化(退化&泛化)与强化、叠加与分离、折叠与展开、扭曲与还原、开放(开)与封闭(闭)、分(开)与合、分散(分布)与集中&聚与散、发散与收敛&定向、放与收、宽泛与严格、允许与禁止、连续与离散、连贯与跳跃、相同(统一)与不同 (差异)、区别与联系、有限与无限、极大与极小、精确与近似、模糊与清晰、有序与无序(混乱)、动(运动)与静(静止)/静态与动态、割(拆分)与补(拼凑)&裁剪与增补、解构与整合、忽略与保留、正面与反(侧)面、放与缩/放大与缩小/扩张推广&收缩内聚、正与反、正道与岐道、顺与逆、损与益、消与长、彼与此、优与劣、好与坏、快与慢、大与小、最大与最小、最大(小)与极大(小)、程式化模式化与个性化&灵活性、微与著、宏观与微观、强与弱、用弱(怀柔)与用强、多与少、远与近、利与弊、有界与无界、广义与狭义、决定与影响、直译与意译、先决条件(前置)与后置条件、优先与平等、矛盾与和谐、明示与暗示、巧与拙、硬与软、活性与惰性、对与错、肯定与否定、经验与创新、原型与模型、串联与并联、马甲与本真、转化-转移-转换(变换)、改造与构造、名词与动词、想与做、思维与思想、(数据)信息与方法、想什么与怎么想、P问题与NP问题、what与how(是什么、想什么、做什么与怎么想、怎么做)、and与or(与和或）、and与not等。
这套词汇表几乎囊括了在数学思维过程中需要关注的对立面，以及一些相关的、相近的发散维度，在"对立面进退互化"解题策略中会用到这些对立面。
我们熟知数学中一些常用的思维方法和策略：数形结合、正难则反、抽象到具体、一般到特殊/特殊化、直接到间接(迂回策略)、以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、倒顺相还、动静转换、分合相辅。其实基于上面的对立统一辩证思维词汇表衍生出来的“相互结合、相互转化”的数学思想和策略远远不只这10多种，至少可以上百种：例如除了我们熟知的“数与形”衍生出的“数形结合思想”，上面列出的一长串(至少200多种)存在辩证关系的每对概念(概念对)都可以衍生出对应的结合思想或进退互化解题策略，例如辩证思维词汇表中的”宏观与微观”可以衍生出”宏微结合思想”及”宏微相互转化策略”。再考虑多维度的组合，例如每个维度有N种策略，那两个维度就有种策略，它们都是在数学解题中(也不限于数学领域，在其他领域也是适用的，例如物理)可能用来帮助我们切换思维视角和思维方向，确定或重新定位思维起点和切入点(突破口)，进而指引我们探索解题途径的，启发我们灵活思维的，例如变更数学题的一些形式、变更思维的内容或变更解题操作。举个例子，辩证思维词汇表中的抽象与具体，当我们碰到抽象的数学题时，如果不好解决，那就变为具体问题，从解决具体问题中获得经验启发规律之后，再回到抽象问题，此时可能就有解决方法了，这就是抽象到具体的解题策略，也是辩证法的否定之否定的循环往复之道(抽象到具体，再到抽象)，反过来就是具体到抽象的策略。
辩证思维词汇表不可小看，在解题中要能想到这些，时刻提醒自己要辩证看问题，在数学知识学习过程中也会碰到很多这样存在对立统一或相对的、相互联系的或有相似性的一些概念和运算，例如乘法与除法、加与减、相反数、倒数、递增与递减、最大值与最小值、各种反函数和逆运算。每个学数学的都应该有类似如上的一套词汇表，当然也不限于这些，在实践中要不断地丰富它完善它，或根据具体问题、具体题目的已知条件、结论在数与形方面的各种特征来联想出&提取出存在辩证关系(存在相对的、相似的、相反的、相互联系的)概念对。辩证地看问题绝不是很多人理解的那样，认为是一句空话，是耍滑头的诡辩，在第三篇文章以及后续的文章中将看到我们实实在在地利用一些辩证关系在帮助解题，例如抽象与具体，一般与特殊，直接与间接、数形结合(数与形)、图形特征中的封闭与展开(数学思想方法揭秘3-3中第3题的具体与抽象、第7题中的封闭与展开等)。再比如常量/数字与变量(未知数)，它们的界限和划分不是一成不变的，在解题时有时要把常量/数字看成变量，看成变量的一个具体取值，把题目中的变量看成常量，变量和常量角色相互转化，这个常量与变量的辩证关系也有具体的解题例子来作示范。先前讲到的抽象和具体的灵活运用，正向思维和逆向思维，都是说明要灵活辩证的看问题，不要固化僵化自己的观点、视角、思维。这套词汇表和辩证思维是指导我们灵活变通思考问题的，辩证法就是灵活的变化法。在解题反思、解题策略制定、数学思想方法的运用上它们都能发挥战术战略上的指导作用。解题反思的核心是总结和识别解题过程中的经验和教训，肯定要有辩证思维。解题策略例如正难则反的逆向思维、基于特征驱动的思维(基于特征展开思维，进行联想类比等思维活动)，还有直接不行就间接，抽象不行就具体，具体不行就抽象，这些解题策略其实都是来源于这套词汇表，那一个不体现辩证思维？数学思想方法中的转化，将复杂转化成简单、不熟悉变成熟悉，这些也是来自这套词汇表，都体现了辩证思维。在比如数形结合思想，也是因为有数与形的辩证关系。
真体会到如何利用辩证法来解决数学问题，真在数学解题中有实证，就能体会到辩证法在数学思维过程中的巨大指导作用，它可帮助我们制定解题策略(广义上就是思维策略)。学以致用，理论要用于实践，学了辩证法却在具体的学科中例如数学中不会运用它，没有实际体会到它的作用的人，学的是死的辩证法，碰到难题，连纸上谈兵都不如，我们要活学活用灵活使用。数学思想方法体现了辩证法，数学思想方法结合辩证法在数学中的灵活运用见数学思想方法揭秘-3-1、数学思想方法揭秘-3-3等文章，将会看到如何利用辩证法中的一些观点来指导解题思维过程，例如矛盾观点来指导我们的解题策略，例如具体与抽象、特殊与一般、直接与间接。
从数学问题域到解决方案域，就是从起点(已知条件)到目标终点(答案)的状态空间的逐步迁移，在起点到目标终点(答案)之间，存在很多路径或者不知道有什么路径，特别是最开始的路径，此时我们要善于运用数学思想方法和解题策略来探索/发现解题路径解题思路，一步步接近终点。
有意识和无意识，自觉和自发，科学和艺术，从认识论的角度来讲一下。我思故我在，如果你平时没有掌握一些数学思想方法或完整的数学思想方法论，没有辩证思维意识习惯，没有掌握上面提到的的辩证思维词汇表，你碰到问题就很难有意识地自觉利用这些思想方法，就难以辩证思维，难以从辩证思维词汇表的多角度出发来灵活思考问题，你的思维层次难以达到应有的高度，不识庐山真面目，只缘身在此山中，思维灵活性一般也是受限的，你的认识是自发的，无意识的，此时主要靠你的偶然性因素和无意识的习惯和潜意识，例如可遇不可求的灵感，靠天才的思维艺术而不是科学思维。例如一些几何题，如果你心中有辩证思维词汇表中的不规则和规则、整体和局部、割与补的辩证关系概念对，大脑思绪在它们的引导下，那你就能自觉识别出或自觉认识到几何图形的不规则性，能较快地想到把不规则图形修补成规则图形来解题，相反，如果你没有掌握这些，那你可能运气好碰巧能认识到图形的不规则性或走了较多弯路，花费较长时间无意识自发地认识到图形的不规则性。
有意识思考和无意识思考存在辩证关系，是相互联系相互转化的。我们要提高思维能力，一般是先有意后无意，当然也不排斥先无意再有意，例如灵感直觉思维到逻辑思维。先有意后无意：先经过有意识的思考，逐步培养无意识的习惯，例如我们先有意识地运用本系列讲述的数学思想方法和策略、各种思维方法(逻辑思维、直觉思维、发散思维、辩证思维、批判思维）和辩证思维词汇表，大脑中就会逐渐潜移默化，融入到下意识，变成我们无意识的思考习惯，以后碰到问题就能比较自然地运用。
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