作者：王国波

接着后记2继续讲述。

当学到三角形两边之和大于第三边和两边之差小于第三边时，我们可以发散一下，考虑三角形一个角度为特殊值0度或180度时(不是传统意义上的严格的三角形，此处是广义)，也就是在三点共线的特殊情况下，会有什么结论，把这些结论综合归纳起来会有什么统一的全面的认识。

学习解析几何中的直线、椭圆和双曲线、抛物线时，一般只局限于研究点在直线或曲线上的情况。我们要发散思维，变化一下，看看当点不在直线或曲线上时会有什么变化和结论。

1）对解析几何中的直线(代数式)，不能只限于点在直线上的情况，要发散思维，考虑当点不在直线上，也就是在直线左侧区域或右侧区域时，对应的代数式有什么变化或有什么结论。

2）教材上一般只讲点在椭圆上的情况，局限了我们的思维。我们可主动发散思维变一变，考虑当点在椭圆内或椭圆外时，点到两焦点的距离之和有什么变化，有什么结论、对应的代数和1之间的关系是怎样的。例如我们可以得出如下结论：当点在椭圆外部时，点到两焦点的距离之和大于2a(长轴长度)，。当点在椭圆内部时，点到两焦点的距离小于2a(长轴长度)，。反过来，逆定理：当点到某椭圆两焦点的距离之和大于2a(长轴长度)时或，我们可得出点在椭圆外部。类似这样发散思维，我们就能得到对椭圆更全面完整的认识。

另外学到椭圆，要敏锐感觉或意识到它和圆应该存在某些联系，对它们的联系进行研究，先前讲到过，要有关系思想，要注重新旧知识之间的联系和区别。显然圆是特殊的椭圆，所以椭圆的结论大多也适合圆。此外发现在物理上圆和椭圆可通过拉伸挤压变形进行相互转化，这种物理变形，数学上的概念就是伸缩变换(仿射变换)。椭圆可以通过这种变换转化为圆，通常研究圆比椭圆要容易，有些涉及到椭圆的问题，通过这种变换把椭圆转化为圆进行研究，得出在圆情况下的结论，再根据对应关系，把结论反演回椭圆，得出椭圆情况下的结论。

3）当点在双曲线内（凹槽内）或外时，点到两焦点的距离之差(绝对值)有什么变化，有什么结论、代数式和1的关系是怎样的。

椭圆和双曲线

注意：虽然这里介绍的例子是按位置关系的维度来进行分类讨论，但发散思维不限于采用分类讨论，也不限维度，可从多个维度来发散思维，可从多维多来进行分解重组&组合变化，比如服装，可以从性别维度、颜色维度和尺码维度来进行组合变化，变出：男士红色M码，男士红色L码、女士白色M码、女士白色L码等。

这样发散思维和联想，就把我们的知识相互串起来，结成一张联系紧密的知识网络知识体系。

初高中对数学学有余力且有兴趣的要自学数学，看数学悟道人士的书籍和文章，在自学和解题实践中悟道自学之道和数学思维之道。

数学实验与探索法

实验方法、探索法与变化、数学思想、解题策略、发散思维、直觉思维、灵感思维、辩证法。

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。

物理、化学、生物有实验课，数学被很多人单纯认为是演绎科学，形式化是数学的基本特征，强调形式化的逻辑推导和形式化的结果，没有数学实验。认为数学就是逻辑，不必做什么实验的，这是对数学研究、数学教学和数学解题的误解。数学不是只有符号化形式化的逻辑思维和逻辑推理，它也需要非形式化的一些内容：丰富的想象力、感性认识，需要观察、联想、类比、估算、比较、选择、归纳、猜测、优化、分析、推理、判断、验证、构造、反思、调整，需要非逻辑的直觉思维、灵感思维、形象思维和数学实验。法国数学家庞加莱认为：”逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具”。很多数学定理的发现和数学创新的产生主要靠直觉、灵感、实验，而不是逻辑，数学的发展历史已清楚地表明，形式化和非形式化是辩证的对立统一关系，数学的无限发展正是在形式化与非形式化的辩证运动中得以实现的，形式化和非形式化是并存的，是相互促进的，相互转化的。

数学教学不能过度形式化抽象化，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明全盘形式化是不可能的。

数学教学就是要把数学形式化的学术形态适当转化为学生易于接受的教育形态。数学的高度抽象性与形式化的特点，决定了学生在学习数学的过程中要真正地理解数学、掌握数学、进而领悟数学中的精神和方法，必须要经历一个“再创造”的过程，要由学生自己把要学的东西发现出来。

数学不仅需要实验，而且数学的创新教育，更需要数学试验，数学实验是进行创新能力培养的有效途径。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、类比、归纳、计算、推理、验证等活动过程。

再来学习几位数学大师关于数学探索和实验的几段话。

波利亚在《怎样解题》中指出“探索就是一再地去试,多次变换方法,使我们不致错过那少许的宝贵的可能性.”。

“数学有两个侧面，一方面是欧几里德式的严谨科学，从这方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但是另一方面，在创造过程中的数学更像是一门实验性的归纳科学”。

欧拉曾说过：“数学这门科学，需要观察，还需要实验。

高斯也曾提到过，他的许多定理都是靠实验，归纳法发现的，证明只是补充的手续。

数学实验方法和探索方法(扩大化，包括本系列所讲的数学思想方法论)是沟通具体到抽象，感性到理性的一座桥梁，它们好比建筑工程中使用的脚手架，虽然我们的目的是大厦本身，但在建设大厦的过程中脚手架不可或缺，在数学思维过程中也是这样。数学实验不仅需要动手，更需要动脑，更多的是思维实验。

数学实验方法

对一些数学难题, 往往不知如何下手去解,找不到解题突破口，类比物理、化学实验, 我们通过观察题目, 从特殊入手、从简单入手、从具体入手、从整体入手、从主要或关键对象入手，结合分析推理、归纳等来做一些思维实验, 这种探索解题途径的思想方法称为实验法。从特殊入手、从简单入手、从熟悉入手等也属于解题策略或解题策略指导下的思维变化。

数学有实验性的归纳和类比思维，有形象思维和直觉思维，数学创造需要数学实验。

前面系列文章所讲的观察、比较、分析&推理、计算、归纳&猜想、估值估算、枚举、局部调整、特殊化&特例、简单化、具体化、寻找周期等实际上都是数学实验法，这些方法在系列文章中几乎都有讲解。

数学实验主要是在大脑中进行的思维实验，要求的工具和器材不多，初高中阶段，有纸有笔加上灵活的思维足够了，几乎不需要尺规、计算器、电脑和辅助软件。

这里再举几个例子。

多项式因式分解试根法就属于数学实验方法。

18.1题 因式分解：

多项式中常数项和最高次项的系数的约数相除的正负值，都可能是这个多项式=0的根。

这里常数项为-2，它的约数为1、2，系数为1，约数为1，因此根可能为.将

带入多项式，发现当=2是多项式的根，故是多项式的因式，后面的变形就有的放矢，按照进行有目的地拆补变形。

=

自己思考用试根法进行因式分解：

18.2题 已知,求该方程的解。

解：显然这4个数是对称的，不妨设。

，又,故。

1）当a=4时，,由,又,故b=4，可得,又，故，，。

2）当a=5时，，。

          当b=2时，，,当时，易知此时d无解。当,无解。

          当b=3时，。

                  当c=1时， ；当，无解。

          当b,无解。

综上所述，a=4,b=3,c=1,d=-2是方程的一组解，把这组解的值互换，也就是进行排列组合，可知有24组解，这些解就不写出了。

18.3 题

这题通过用几个具体的简单的n值进行归纳实验，猜想出个位数为9，再用数学归纳法进行严格证明。

可见对这道题，我们通过归纳实验得出了规律，猜想出了结论。如果在教学中只讲解下半部分的证明而不讲上半部分的归纳实验过程，会让人感觉结论很突然，知其然而不知其所以然。对教学而言，这道题的上半部分比下半部分更重要。

实验法也属于探索法。

探索法与变化

数学解题过程关键在于探索解题方法。重温下数学思想方法揭秘-1(原创)中提到过的”数学解题思维的本质和最高准则就是变化(变换)",辩证法中所讲的运动变化，唯一不变的是变化。解题的每一步都是在进行变化，一步步变出结论和答案，逐步向结论和答案靠近。从最初不知道问题答案(结论或证明)到最后知道答案，这就是变化，从未知变成已知。在解题过程中，大脑在不停地运转，不仅大脑中的思维模式和思维内容要变化(虚：无形的思想意识、精神上的、思维活动的运动变化)，例如进行由此及彼的联想、从具体到抽象的切换、转化或化归，变换问题的形式和目标。大脑思维从此跳到彼就是变化；而且在解题中还要善于对题目中的数学对象进行各种变化(实：实体的有形的数学对象的运动变化)，例如几何图形添加辅助线，对几何图形进行旋转平移等变换。对代数式进行各种变形(例如换元或等号左右两边移项)、对多个数学对象进行组合变换，例如两个方程式相减、相加、相乘。数学思想方法、解题策略、辩证法以及我们总结的辩证思维词汇表都是为了更好地指引我们探索合理的有章法的灵活的变化，它们是指导如何变化的道、法、术，整个数学思想方法揭秘系列文章其实都是在讲如何变化怎么变化。

解题探索离不开变化。波利亚："如果不变化问题，我们几乎不能有什么进展"。在《怎样解题》中，波利亚也给出了变更问题的一些手段，如回到定义去(回到概念定义，联想到概念定义的内涵和外延，例如题目中有垂直，我们就想到垂直的定义和涵义)、引入辅助元( 加辅助线、辅助变量和未知数、辅助问题、证明辅助的引理)、分解与重新组合、特殊化、一般化(普通化)等“。

穷则思变，没有出路或碰壁时，我们不能坐以待毙，要想办法，要变化(改变)，更要会变化。虽然知道要变，但很多人没有掌握变化的方法论和技巧，大脑中不知道有哪些帮助我们探索变化的方法，不知道有哪些变化的方向和对象。对难题，变化须臾不可离，不会变化，我们在解题过程中几乎寸步难行。

解题过程中如何变化，如何探索解题方法？

前面的系列文章也提到过变化，提到过辩证法、辩证法就是变化法、提到过各种思维方法(辩证思维、发散思维、批判思维等)、数学思想方法和解题策略略以及辩证思维词汇表都是用来帮助我们在解题思维过程中思考问题：引导启发我们的思维和思路，调整我们的思维和思路，帮助我们找到变化的维度和方向，进一步找到进行变化的具体操作，从而探索出解题方法。

数学解题的本质就是不断地变化，不断地变更问题的形式，不断地变更思维方式和思想方法，其变化既有变化的技术也有变化的艺术。本系列从更高的高度，从辩证法辩证思维、数学思想方法和解题策略的高度给出了如何变化的方法论。

探索法就是不断探索解题方法之路的过程，主要特点就是不断地变更问题，不断地进行调整的过程：不断地反思和否定和否定之否定，不断地变化我们的思维方式和思想方法，变化我们看问题的维度，变化问题的表象形式，不断地变化我们的解题操作，不断地结合反思和解题策略进行思维上的变化和改变。变化就是运动，在运动中凸显问题的破绽和突破口，在变更过程中寻找题目中的破绽和突破口，寻找灵感,寻找解决问题的手段、机会。

我们要学习孙悟空，会灵活地辩证地千变万化，思维要会变通，手段要会变通。

做(do)什么，怎么做就包括了所有具体的行动，例如想什么、怎么想、变什么、怎么变。本系列文章就是为了阐释如何用数学思想方法论来指导数学研究和数学解题过程中做什么、怎么做的问题。例如在几何题中运用关系思想，那就要根据关系思想的指导，去找几何题中的关系，就是关系思想教导的找关系发现关系识别，所以我们想到什么？想到要找关系！接下来，找哪些关系？怎么找关系？审题和观察，根据题目已知条件和图形特征，联想类比学过的数学知识、数学定理、做过的题目题型和先前的经验，大脑中可能会闪现找全等关系、相似关系、比例关系、各种相等关系(角相等、线段相等)、数形关系、或其他关系中的一种或几种。如果觉得没有找到好用的关系，那就按照关系思想教导的，主动想办法去构造关系，去改造关系，去改善关系，所以就想法加辅助线或进行几何变换，如平移变换，旋转变换。这些都是在数学思想方法论中的关系思想的指导下解决想什么和怎么想的问题，运用其他数学思想也是如此这般，比如解题碰壁，想到本系列文章中提到的”反思”，调整思路，想到打破思维定势，接下来才是思考如何反思，再比如观察，在本系列文章中提到要观察，那你在解题时就要想到”观察”，接下来才是观察什么，怎么观察。

再用几道例题来讲述下如何变化(变更问题)。

18.4题

此题有两种方法，多看看第一种方法，体会如何运用数学解题思维的终极原则。

第一种方法如下图。

   在此题中，换元就是一种变化，一种变更问题的方法，它改变了题目的表象形式。刚开始换元之后，没找到突破口，问题没有实质的改善，还是觉得前路茫茫，不知道下一步如何走，此时就要继续变化和反思：是否不应该用换元法、是否继续变化，如何继续变化。对这道题，我们选择继续变化，观察换元后的式子，发现它们具有幂指数的形式，共性。所以就联想到指数的逆运算对数，故我们下一步的变化就是取对数，这个取对数就是解题操作解题行动。

  在数学思想方法揭秘-13讲述数学解题思维的最高宗旨就是变化(变换)时提到："讲述在解题懵圈卡壳时，一个重要的技能就是在反思的基础上发散思维，自己和自己对话，多问问自己下一步还能变怎么，还能变哪里，还能怎么变。这也适用于一题多解或问题推广。”。关注来龙去脉，从哪里来到哪里去，是怎么来的，怎么去的，在数学思想方法揭秘-17后记2(原创)中讲溯源思维的最后也提到过。

   还能变哪里？还能怎么变？可得到第二种方法，如下图，和第一种相反，第一种是取对数，第二种是用指数幂。

   观察比较方程等号左右两边的结构形式，差异较大，左边是多级指数幂，而右边是普通数值。合理设想：改变它们的形式，缩小差异或对齐两者的结构形式，也就是我们的行动方向是缩小这种差异，最好能一致(对齐)。

这题中也运用了前面系列文章中讲过的基于特征的思维（观察发现特征【包括题目条件中的特征和解题过程中发现的特征】、识别特征、基于特征来展开思维活动，例如辩证思维、联想类比、数形结合、抽象、转化等来利用特征，利用好特征），324是平方数，幂指数形式等就是我们发现的特征，在这道题中都利用上了。取对数进行变形是基于幂指数特征进行思维活动得出的一种变更问题的手段。

这道题首先要有变化的意识，要想到变化。

18.5题

已知a、b、c均为正数，证明：。

观察要证明的结论，发现左边是三个分式相加，且三个分母都是两个变量相加的形式，分母的这种形式增加了问题复杂性，另一种理解是基于我们小学学习分式时总结出的常识经验：宁可分子复杂，不可分母复杂。这样推理判断，就能做出选择、抉择、决策、择优：要改变分母的形式，要把它变简单简洁。解决了做什么(目标对象和行动目标)的问题，接下来考虑怎么做，也就是在具体的操作层面如何对分母的形式进行简化，有哪些数学方法和手段。换元法是一种对代数问题进行简化进行变换的常用方法,所以我们首先联想到整体换元法。

证明方法之一，如下：

对分母进行换元，令b+c=m1、a+c=m2、a+b=m3。

这题中运用的整体换元、整理、分组都是对代数式进行变换变形的手段。这题可以推广到多元，例如4元或n元，推广也是一种变化，变出新的题。

18.6题

已知x、y为正数，且满足3x+4y-xy=0，求x+2y的最小值。

提供两种方法。

第一种方法是消元降维，再用整体换元(换为t)，结合使用一元二次方程判别式法。

第二种方法。

“数学解题的本质就是不断地变化，不断地变更问题的形式，不断变化我们的思维”。这句话是数学解题思维的终极原则和总的指导思想，是数学思维活动在哲学辩证法意义上的本质概括，也是辩证法运动发展观在数学解题中的具体化的变现，变化问题形式和变化人的思维都是辩证法中的运动形式，辩证法就是变化法，我们要学习孙悟空灵活自由的变化。变更问题就是变化客体，题目和问题是客体，题目解不出来就变题目，变换一下题目的形式或先换个有联系的简单些的题目来练手得到经验启发或做铺垫；不断地变化我们的思维是变化主体，人以及人的思维活动是主体，解数学题特别是数学考试显然不能找人帮忙替考，只能是改变调整人的思维，一计不成再生一计。数学解题中，变化客体(题目)显然首先要改变主体(人) ,也就是思考者要主动改变自己的思想观念和思维方式，否则不可能改变客体，这也是”我思故我在”的一种场景。

具体如何变化，就是多维度地发散思维，系统化地寻找各种变化的途径和方法，多反问自己还能如何变化，还有哪些变化的维度。

在这个终极原则的启发下，思考除了消元还能有哪些变化？

显然此时不会对x+2y进行变化，只能考虑对已知条件3x+4y-xy=0进行变化，我们选取变化的对象时抛弃x+2y而选择3x+4y-xy=0，这个扬弃本身也是运动变化。那对3x+4y-xy=0具体怎么变？加减乘除运算最容易想到(大脑思维从选择变化的对象，变到思考怎么变，这个也是变化)，逐一判断排除，选择用除法进行变形。怎么除？除以xy。可见整个解题过程，不仅看似无形的思维在运动变化，写在纸上的有形的解题操作也是一步步在运动变化，从开头第一步第一行逐渐变化出后续的多步解题过程，纸上的每一步自身也是运动变化，例如移项、相除，联想到柯西不等式后相乘、展开。

  不限于数学解题，对任何类型的问题，如果先前熟知的思想、方法、策略、知识、经验、技巧等都失效，类似马斯克的第一性原理，一种惯用策略就是回到解题的本质，回到本源，回到定义，因为解题的本质就是变化，所以思想上就要回归本质：思考如何对问题进行变化，问问自己有哪些对象哪些维度哪些因素可以变化，还能怎么变，有哪些变化的手段，变化的方案和步骤是怎样的。结合反思，问问自己还有哪些思想、方法、策略、知识、经验、技巧没有使用，使用过的有什么特点，有什么不足，如何改进或跳出旧框框。反思也属于思维的运动变化形式之一。

18.7题

。

显然这题直接将两个4次方展开是不可取的，简单粗暴的直接展开对此题是下下策。那不直接展开的情况下如何变化变形？

观察方程，发现这个方程具有一些特征：

1) 幂为4次，偶数次方，且最高次的系数均为1。

2) 两个4次方中的底数为代数式，且均为一次且一次系数相同(均为1)。

基于这些特征进行联想与合情合理的设想，有时还要想象力。小目标要有，美好的猜想和理想是要有的，万一实现了呢：如果能变化为的形式，展开后就能消除一些多项式同类项(奇数次)，简化方程，复杂变为简单。

理想回到现实现状，怎样才能变为设想的形式或接近设想？对现实(原方程的结构形式)和设想进行比较对比，进一步联想到均值换元法，这两个底数

令

原方程可变形为：

展开整理可得：

二次换元令或直接求出,其余过程省略。

这几道题用到了整体换元法和均值换元法，其实换元的形式还有多种，这里顺带提一下常用的其他几种类型的换元法：三角换元法（高中用的很多）、对称换元法、和差换元法、比例换元、万能换元法，鉴于换元法的重要性，后续会写一篇文章简单介绍下。

18.8题

这题虽然不难，但用来举例讲解如何变更问题形式，如何以退为进简化问题还是不错的，达到启迪学习者思维的效果。

思维过程：这题中有三个变量a、b、c，且存在轮换对称性。如果看不透问题迷雾，找不到解题突破口，使用诸多思想方法之后仍没有思路，此时就要改变我们的思维，也就是想到数学解题思维的终极原则，不断地变更问题形式和思维。

变化的方向一般是在辩证思维指导下的变化，例如复杂变简单(简化)和熟悉，抽象变具体，具体变抽象，闭合封闭变开放等等，参照先前讲过的辩证思维词汇表和解题策略去找变化方向和变化的维度。专门的变化维度分析可以在草稿纸上画个类似脑图的结构化的分析模型，系统化地梳理下问题的结构，按图索骥可视化直观地寻找变化的维度，不过解数学题应该还没必要用脑图，太重型隆重了。即便是梳理初高中数学知识体系，一些人也不使用脑图，因为就那点内容，在学习新知识时，已经关注新知识和旧知识的区别与联系，在学习过程中就及时把它们纳入到脑中的知识体系中了，需要时能很快地从脑中无遗漏地完整提取再现。

这道题，可以从变量个数这个维度来变更问题，变更的方向：降维减少变量个数，简化问题，这个就是以退为进，从解决简单问题中得到经验和启发，这些经验启发也是原问题和变更后的问题之间的联系形式之一。

显然只能从3个变量降为两个变量，如果减为一个变量的问题，量变产生质变，它和原问题存在本质的不同，该问题的解决方法对解决原问题无借鉴和启发的价值。这个也是解题思维活动中的分析、判断、推理、权衡决策，取舍选择的过程，否定一个变量的情况，而选择两个变量的形式。

两个变量的问题形式是什么？

敏锐的人可以瞬间得出，即便不能瞬间得出也可较快经过一番调整，经过几次实验探索出问题形式，如下图。

两变量的问题形式

显然这个两变量问题很容易证明，用基本不等式、柯西不等式或权方和不等式都可以证明，如下。

这道题从3变量变到两变量形式，我们证明(解决)了两变量问题后，发现可以直接利用两变量问题的结论(成果)来证明3变量问题，也就是两变量的问题结论是3变量问题的引理或者说铺垫。回味一下，也有些化整为零，分解(拆分)大问题为小问题的策略在内。

这题可推广到n个变量的形式，证明n个变量的解题思维过程与3个变量类似。

通性通法

通性通法: 从若干相似问题的解决过程中，总结归纳出这类问题的共性思路及规律性和普遍性的解决方法，并将其迁移到其他类似问题中。

通性：共性和共同的特征，指的是通过观察发现数学问题共有的基本特征、基本性质。

通法：解决上述问题过程中所涉及的常规数学思想方法。

先识别出通性，再运用通法来解决。

上题中的换元法和基于特征的思维就是一种通法，基于特征的思维在多个题目中都运用过。对通法，要系统地全面地掌握和理解，例如对换元法，通常又可细分为多种：整体换元、三角换元、对称换元、均值换元、和差换元、比例换元、万能换元等。显然除了理解换元法的思想本质和作用和使用方法之外，对这些换元法，还要了解每种换元法各自的适用场景。

总结一下如何探索数学解题方法的通性通法和套路。

1.运用数学思想方法来引导和调整我们的思维：例如观察题目的特征，运用联想、类比、归纳、转化、抽象、比较、数形结合、分类、构造思想、关系思想、运动思想、整体思想、逆向思维和反思、穷举等思想方法。

2.运用解题策略来引导和调整我们的解题方向和思考问题的方向：例如各种辩证策略：抽象化与具体化策略(具体不行就抽象、抽象不行就具体)、简化策略(就是转化，复杂到简单、简单到更简单、未知到已知、陌生到熟悉)、一般化策略与特殊化策略(一般不行就特殊，特殊不行就具体)、整体化与局部化策略、主要与次要策略。基于特征的解题策略、基于关系的解题策略、基于合理设想的解题策略、基于直觉和感觉的解题策略，基于数学美感的解题策略等。

3.在解题操作解题行动层面，可以采用的各种变更问题形式的操作，例如换元法、配方法、消元法、加辅助元法、待定系数法、构造法、(一元二次方程)判别式法、韦达定理法、数形结合法、坐标法、铅锤法、旋转变换、对称变换、平移变换、位似变换、反演变换、反证法等。

4.有备无患，事先掌握每种题型的一些通性通法，例如数列求和的通法：错位相减法、裂项法等、圆锥曲线中常用的通法：坐标法、消元法、判别式法、韦达定理法等。要知道通法，还要理解通法的妙处和由来。

通性通法是普遍性规律性的解法，一旦找到通性通法，就意味着它是常规方法，是普遍适用的方法，在学习中还需要注意与常规相对立的特殊性的技巧性的创新性方法，有时特殊方法更简便，更有欣赏的价值。

在学习和解题实践中应注意概括总结和反思，提炼和领悟各种通性通法：数学思想、解题策略和数学方法。