各位老师，上午好：

        这次课标有一个比较大的变化就是增加了一个关键词或者是叫一个表现，这个叫量感。其实，我对数学教育他们那些词不是特别懂，所以上一次提到了四基，又提到了数学的基本思想，后来又提到了抽象。我总觉得抽象、逻辑推理，这个从数学角度思考是非常重要的，但是当时也不知道用什么词表示很合适？所以就说了一个核心词，在解释课标的时候，又称这个叫做核心概念，现在他们又说这个叫核心素养，所以我现在稍微明白一点了，我到时候给你们讲一讲这是怎么回事情。所以我今天要讲的题目是：为什么要强调量感。主要是讲三个事情：量感和数感有什么区别；还有一个度量的发展，量感来自于度量，现在的度量和过去的度量有很大的变化，我稍微讲一下变化在什么地方；还有一个，基于量感的教学，课标是怎样设计这样的教学的。

        第一个讲量感与数感。数学主要研究两件事情：一件事情研究数量和数量关系，一件事情研究图形和图形关系，主要是研究这么两件关系，但是最后，研究对象都变成了数。传统意义上是通过长度把那个图形跟数结合起来了，因此在初中的时候就讲了数轴，数轴本质上是讲长度，这个长度跟实数就结合起来了。这样的话，实现了数形结合。后来人们把一些生活中的看起来没有数的东西把它用数字进行表达，也变成了数学研究的对象，比如，当年那个，他们评酒，评酒的时候，过去评酒只是说，你认为哪个酒最好。后来我说你这么品评不太讲理。那么就这么评了，拿了5个酒，包括你们这儿品茶叶大概也得这么评，光说这个茶叶巨好不行，五个茶叶你排个队：1、2、3、4、5，排了队之后，根据大家排队的情况，再这么一加上就能够进行数学分析了，要不然过去那个只是说哪个好，这样的话可能会有些评得不太公平。因为有人肯定特别喜欢喝茅台，还有人就特别不喜欢喝茅台，那有的人比较喜欢五粮液，但也不那么烦五粮液，这样的话，五粮液可能就比茅台评得更好，这样的研究叫做定性数据的定量化，现在教材里面慢慢出现这个定性数据的定量化。这次把统计的分类问题变成数据分类也有这个意思。现在社会在本质上叫大数据，大数据其实是数字化，把网络的那些信息，把图像，把音响都变成数字了，就是这样的话，数学研究的领域就会越来越广泛了，数学的应用也就越来越广泛了，因此在本质上研究的是能够用数字表达的信息，在本质上变成这样一个东西了，那么，在原始，最开始来说，数是什么呢？数是对数量的抽象，这个是很重要的一个事情，数量是什么呢？数量是度量的结果，在本质上，或者说有两种度量，或者说有三种度量，一种度量是对个数的度量和对顺序的度量，就是我们说的自然数，还有一种是长度的度量，长度的度量，我刚才说了后来数形结合都变成了数学的研究对象，他们两个合在一起，用现在的词呢，叫做集合，离散集合是个数，连续的呢就是长度，这样子。还有一类量就是：重量、容积、时间、信息，这样的一种度量，这样的一种度量和刚才上面我用红字表示的度量他们有时候不同，这次在课标里把他们区分开来，因此，数是对度量结果的表达，是一种符号表达，数学的本质在于度量，度量的本质在于数的表达，这个是非常重要的，下面我逐渐来谈这个事情。

        为什么要讲这个量感呢？在看国外的课程标准的时候，你会发现很多国家非常重视这个度量，咱们国家现在这个领域还是数与代数、图形几何，统计与概率，综合与实践四个领域，这个里头再加上一个度量的领域呀，是挺困难的一件事情，而且老师并不一定接受，加上一个新的领域，但是我们度量这一块呢还重视得不是很够，所以这一次在修改课标的时候就商量了一下，把核心素养的表现这儿，在传统的核8个或者说10个核心词这里再加上一个量感，所以这个词就是为了强调度量这件事情。

趁这个机会，我稍微讲一下这个核心素养，核心素养这个词大家都很熟悉了，没想到这么快大家都很熟悉了这个词，这是高中课标的时候谈到过核心素养，核心素养，我逐渐开始明白这个词是什么意思了，这个词是思维品质、关键能力、情感态度价值观的一个综合体现，这个是与人的行为有关，与人的什么行为呢？两个行为：一个是思维的行为，一个是实践，主要是思维和实践，与终极目标有关，是学生参与其中的。比如今天上课学生能思考，能讨论，学生参与其中的，这样的教学活动中逐渐形成和发展起来的，这个是上次高中课标的时候就明白的事情，这一次修改义教课标的时候又明白了一件事情。就是核心素养，数学的核心素养，应该从小学到大学，甚至到研究生培养，因此就强调了核心素养具有一致性，但是在每个学段的表现是不一样的，因此具有了发展性，这样的话，现在就把核心素养基本定了，就是三会，就是能够用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，就是变成这么三句话，这三句话，老师应该清楚这个，明白它是啥，你看到核心素养，在本质上跟知识本身没有太大关系，但是它又是你整个教学的一个灵魂，什么意思呢，老师在教每一堂数学课的时候，你几乎都要思考，你是在教学生用数学的眼光看呢，还是用数学的思维想，还是用数学的语言说呢，这是很重要的一件事情，这件事情呢，跟你们传统数学里的三维目标又联系在一起，你们现在写教案，是不是罗老师（罗鸣亮）还要求你们写三维目标啊，这个写结果性目标，一个知识技能目标，一个是过程性目标，一个是情感态度价值目标，过去写过程性目标，其实不清楚，你们都特别不愿意跟他们提意见，我当时在修改，06年修改课标的时候，我一看到那些目标，我一下就愣了，他说经历、体验、探索是不是，我当时看到这个的时候非常吃惊，我就把原来买个写课标的马云鹏叫到我办公室来，我说你真是吃饱了饭没事儿干，你领着孩子经历、体验、探索干啥，他说有什么问题嘛？我说经历、体验、探索呀，只能作为课堂目标，不能作为课程目标，你教了小学六年级，一直领着孩子经历、体验、探索嘛？教完初中你还这样吗？教完高中还是这样吗？不是，你教完了，最起码一年，我认为你就得有点收获了是不是，经历、体验、探索，描述的是过程，我们的目标是要有所获得，那你经历、体验、探索，你要得到些什么东西呢？后来马云鹏问我，得到什么东西？我说，得到经验。就是通过孩子们参与其中的活动，孩子们就能得到什么东西了呢？就两件事情，一个是会想问题，一个是会做事情，这是你的培养目标，这才能作为目标，经历、体验、探索只是过程的描述，我希望老师们能够注意。所以现在有把这个能够进一步，目标就是核心素养。

下面，我进一步谈核心素养在小学阶段它的表现应该是什么。这样的话，核心素养，你看一下，它的情感态度价值观就这么几个词，几个词呢？学习的兴趣和学习的习惯，写入课程目标里，这个应用意识和创新意识，上次就有，作为核心素养的表现写进去了，还有一个科学精神、社会责任感，在素养的解释里写进去了，主要是这么6个词，然后，数学的眼光主要是抽象，数学思维主要指逻辑推理，数学的语言主要指数学模型，这个在上次高中课标的时候就反复解释了，我现在不用更多的时间解释这件事情，现在想解释一件新的事情，这件事情是在这次写义教课标的时候才考虑到的，既然核心素养是有阶段性，它阶段性的表现应该是什么样呢，我们初步想，你们认为不合理，还有什么意见，你们跟罗老师说，现在改课标还赶趟，大概到6、7月份最后审定，在过6、7月份写，完了再改，就来不及了，现在你们要有意见你们改，我现在是这么说，后来我们小组都这么想，就是小学低年级阶段哪，核心素养更具体一些，更侧重于意识，到高年级，到初中，到高中就更涉及到能力，更涉及一般。这样的话，如果这个想法成立的话，核心素养就是，意识是指什么东西呢，意识是指一种感觉，数感，这是一种感觉，这种感觉不一定建立在定义的基础上，因为在小学，在本质上没有确切定义，没有非常确切的定义，在这次课标对小学不要求很确切，而观念是什么呢？观念是基于概念基础上，因此在初中才谈概念，这样的话呢，就是不要有一些定义了，因此比如抽象这个事情，因为抽象得到一定年龄程度了，我要有时间的话，我稍微谈一下，孩子的抽象能力大概在什么时候能够建立起来？所以初中叫抽象意识，在小学就更具体了，叫数感、量感这些，我待会谈。这个推理，小学叫推理意识，到初中叫推理能力，模型思想都是这样，这样的话，就是核心素养是什么呢？就是数学的眼光，数学的思维，数学的语言，那么它的表现呢，在各个学段是不一样的，在高中的时候有六个词，就是抽象，直观想象，在初中有七个词，在小学有九个词来表现，跟数学眼光有关的，小学就是符号意识、数感，这跟上回是一样的，解释有点不同了，量感、空间观念、几何直观。关于数学思维有关的是，小学是推理意识，小学只谈到了一个能力，就是运算能力，这个跟中学是一样的，跟初中一样。小学的模型叫模型意识，数据也是数据意识，就是感觉到用数据能够提供一些信息，能够提供你判断的意识，所以这会百分数这个放到统计里了，这是大数据时代的要求了，就是对于一些随机现象，通过百分数能够进行判断，能够提供你一个决策的信息，这个感觉，这就是意识，这个模型这个，能用数量的关系来解决一些实际问题就有这种意识就可以了，就不谈到这个观念，也不谈到这个能力。

因此，量感这个词，就写到核心素养的表现里了，因为我们不可能，也不打算在小学数学里加测量这个领域，这是这么一个事情。那么量感和数感有什么区别呢？我这是为了你们这个报告我写的，没有经过非常仔细的思考，大概说一下供你们参考，我说的不一定都是对的。数感和量感最本质的都是数的表达，都要数，都要数的表达，这一点他们两个是一致的，我们的数感可以把后缀的名词去掉，就把单位的名称基本都可以去掉，比如：一匹马、两头牛、三件衣服，这个表达数感的这个，数感那个数主要是指表达个数，个数后面的后缀名词都可以去掉，我已经讲过几次了，把后缀的名词去掉，这是一个抽象的过程，在形式上是把后缀的名词去掉，在本质上，数学研究的问题要脱离现实背景，你要有一件衣服，两匹马，它具有现实背景，后缀名词脱掉就让它脱离了现实背景，这是个抽象的过程，抽象的本质就是去掉现实背景，只有数与数量关系，图形与图形关系，没有背景。量感，给我的感觉就是后缀名词，包括今天讲的那个平方厘米不能去掉，一直保留着这个，所以一种运算是保留单位的，一种运算是不保留单位的。所以有次吴正宪老问我，为什么乘法模型非得说两个，一个叫路程等于速度乘时间，还有一个总价等于单价乘个数，他们两不一样。感觉到他们两不一样在什么地方没？总价等于单价乘个数，那个单价是一样的，对不对，距离等于时间乘速度，是单位还要乘，这是不一样的事情，是个数表达的数，还是量感表达的数。这是两个不一样的。

度量的发展。这个传统的度量就是几何了，几何这个事情那，叫庞加莱，庞加莱是很著名的数学家，他曾经提过一个猜想，所以上个世纪很重要的一个工作是解决了庞加莱的猜想。他说几何的本质在于度量，度量的本质在于两点间的距离，这个老师，你在讲几何课的时候，你慢慢悟到几何的本质在于两点间的距离。面积也是通过两点间的距离，体积也是通过两点间的距离，角度，你要比较角的大小，除了用量角器之外，你要比较角的大小，张口，也要涉及单位圆的弦长，也是两点间的距离，因此几何学的本质在于两点间的距离，这个是传统的一种认识。然后发展到计量单位了，计量单位包括容积、质量和时间。我这一块稍微说两句，我到现在为止，张丹可以考虑考虑你们写教材看看怎么弄，就是在课边里很明确地谈到计量单位这个词，过去没谈计量单位，我查了一下字典，字典上说，计数单位就是数字计量单位，后来我总觉得小学数学让学教材的人写麻烦了，小学数学简单得多，写麻烦了，就是后来我强调两个，一个是整体性，一个叫一致性，运算是一致的，认识数整体是不变的，关键是抓两件事情，一个是个数，一个是计量单位。数的计量单位就是计数单位，所以，引进这么个词，这个词很多教材上写了，课标里没有，这次课标明确说计数单位，因此，这个单位是很重要的，这个数的量感是数感是很重要的，这个我讲过好几次，有的听过，就是，现在北师版改过来了，过去教材说认识数、读数很费事，后面有一个0怎么办，后面有两个0怎么办，中间有一个0怎么办，中间有两个0怎么办，我老说嘛，讲完这堂课，我说以后讲课不能这样，上课前，孩子生龙活虎的，精精有神，讲完这堂课，这个孩子就两眼迷茫，我说你终于把孩子讲糊涂了，我说讲课不能这样。我就问他，问这个老师，我说读数最关键的是什么？这个老师说不知道，我说写教材的有毛病，我说教材写得不好，这样才能让他们把教材改好。就知道两件事儿，所有的读数就知道两件事儿，一个是十进制，得知道数字，0～9。然后知道数位，也就是计数单位，那怎么读呢？用这个数字加这个计数单位就完了，也就是两千0百0十2个。你就读嘛，不嫌麻烦就这么读，嫌麻烦你就读2千零2，讲完了，五分钟讲完了嘛，你为什么要讲一节课呢，后来，附小就说，教材也这么讲，我说你别听教材的，五分钟就讲明白了，为什么一定要这么讲，不就把孩子讲糊涂了嘛。因此，一定要记住哈，数就是两件事儿，这一块我拿不准，我把分数叫分数单位了，三分之二叫两个三分之一，四分之三是三个四分之一，在之后你只要知道两件事儿，所以事情都解决了，在同样的数位上才能比较大小，在个位的2和十位的2，没有一个老师拿个位的2和十位的2比，都是拿个位的数和个位的数比，十位数跟十位数比，这个老师从来不犯错，但分数呢就出现问题了，你二分之一和三分之一比，分子一样大，分母哪个大，哪个分数就小，为啥呀？我说天下理儿是一样的理儿，在同样的单位下才能比较大小，怎么办呢？把二分之一的那个两份也变成六份，把三分之一那个三份也变成六份，都变成六份的时候才能比较大小，在同样的单位下才能比较大小，二分之一变成六分之三，三分之一变成六份之二，所以六份中的三份比六份中的两份多，所以二分之一比三分之一大。所以如果北师版教材写到这儿你就按它讲，没有写到这儿，你就按我的讲，一定抓住在同样的单位下才能比较大小，他们讲那些理儿都别听，他们那些理儿都是歪理儿，在同样单位下才能比较大小，在同样单位下才能进行运算，小数、整数、分数，都是一样的。还有，跟今天讲课有关，乘法的时候是单位乘单位，我跟人教版说一句话，跟北师版我也说这句话，你们在教材里有这句话，10个十就是100，对不对？10个百是千，我说你再加这句话：十分之一的十分之一是百分之一，十分之一的百分之一是千分之一，数位往上有，往下就得有，把这个都一致起来，运算也跟数位有关，你会发现0.1乘0.1是十分之一乘十分之一等于0.01呀，所以乘法的小数单位是相加，除法是相减，让罗老师领着你们悟一悟，小数除以小数等于小数点的位数相减，想不开你就想整数。无论如何，这个计量单位的时候，都经历了这么一个过程，由粗到细的过程，由多元的到统一的过程。这个事儿老师作为一个常识一定要记住。

数学的所有概念都产生于数学是很困难的一件事情，因此最好有一些外来的单位，哪个外来单位呢？长度，长度是很难定义的一件事情，现在怎么定义长度呢？只有时间定义长度，所以我说这个公式是非常重要的：路程等于时间乘速度，首先要定义时间，时间一秒是多长呢？大家知道，在正常范围内，原子的周期是一定的，不变的，多少万个周期，几十万个周期，几百万个周期算一秒，然后光在几亿分之一秒走过的距离叫做一米，你们应该知道这件事情，世界上除了个数那些单位之外，再一个重要的单位是长度，长度是通过时间定义的。通过时间和光速定义出来的，具体数目记不住，但是你要知道有这么个事情，这个是很重要的。在现代社会，要对信息进行度量，这个作为一个老师知道一下有个好处，现在要对信息进行度量，怎么度量呢？两个里决定一个事情，这个叫做1个比特，这个提供的信息叫一个比特，64个数里，我要决定一个数，这个是几个比特呢？这个信息。你可以这么提问，64里，你分成一半，它是在这一半呢还是在这一半呢？他说在这一半，好，这一半再分成一半，是哪半呢？分，分，分，一直分，在两个里选一个，用几次能分完？用6次能分完，这个就叫6个比特。这个信息量就是，64里提供的6个信息量叫做6个比特。这个比特跟现在那个钱那个比特，都是这个比特：bit。好，我现在稍微讲一下这个，作为老师，作为一个常识，稍微知道一下，好，现在要开始信息传输了。信息传输都是0、1了，比如有就算0，没有就算1，比如是传1001，1是白颜色，0是红颜色，就是白红红白，传递这个信息，这个信息经常会失真，你的手机接受，它有光的影响，楼房的反射，失真了就判断不了，判断不清楚了，怎么办呢？人们想出一个办法来，每一个数据连续出了三次，就不容易失真了，1110000*0111都出现三次，这会有一个失真了，通过周边的两个能够判断有一个失真了，这就不容易失真，对不对？这就是手机那个图像怎么来不失真。现在4G就比3G好多了，在原则上连续十个发布的话，失真更少了，但是它带来的问题是什么呢？能量太大，所以现在有4G、5G这个来转换这个码，失真能力小一点，但是它需要的能量太大，所以现在这个5G不太好用，是什么毛病呢？现在就是基站太多，是不是，到处都是那个塔，那个塔太多，那个塔在城市里建还行，在山里，在荒漠里建成本太大，所以最好最好的当然是通过5G，能量又小，失真又小是最好的了，我是搞统计学的，我们就研究这个东西。

还有一个，在2011版的课标里，我编了一个例子，结果每个教材都没用，用了吗？北师版挺好，我是想告诉孩子们那，一些图像也好，现在的电视就是传播的，电视那，现在网上图像就这么传播的，一个例子是一个图，格了四个小方块，完了之后让这个图平移、旋转一下，不信你试试，在课堂上讲这节课，学生特别高兴，把一个图变成四份，一、二，三，四，然后把一挪到三的位置，把二挪到这个位置来，你们给一个总符号表达，完了让它旋转一下，这个也给个符号表达，这个小组把这个变化完的图和过程告诉第二个小组，这个小组还原，根据变化过程还原成原来的图，这个就是编码和解码，计算机、电视就是这样，把整个图像都变成数字化，数字化之后再一个解码器再一解码就是电视，就是这个原理，这个原理最起码在几十年内变不了，因为直接输入图像，现在没有这个，因为需要的能量太大，必须把它数字化才能输入，所以这个是个大问题，这个估计现在孩子学了，等他以后这个基本思路改不了，所以现在学还是可以。

下面讲一下量感的教学。我说一个话，在座的老师年纪都不大，年纪不大，你们教学生之外，还得教孩子，自己的孩子，我给你讲一个故事，我做一些研究从来没有什么目的性，目的性不强。

我有好几个研究生是女学生，博士生，后来她问我一个问题，她说：老师，是做学问重要呢？还是生小孩儿重要？后来我回答：生小孩儿重要。学问慢慢做，生小孩，正当时机，你该生就生，不要紧就延长嘛。有的学生生完了小孩两年再接着念，我说行，不要紧。结果又来了问题了，这个小孩长大了，她就问我：老师啊，应该教孩子点什么东西？我说：这个问题我还真没有研究过，我说我开始研究这个问题。结果我用了半年的时间研究这个问题。我认为我研究清楚了，我那几个学生按我的方法来教那几个孩子，这会都表现特别好，上大学。教什么东西呢？我有一个基本原则，前两天我给我们学院的博士生讲，我说你的教育提出任何学说都行，比如你们这个教书，我认为教无定法，怎么教都行，但是得有一个基本原则，我原来是人大代表，我提出的要修改义务教育法，修改义务教育法其实就干了一件事儿，他们过去说人民教育人民办，是不是？让大伙交钱，我后来说不对，应该是人民教育政府办，应该政府拿钱，就提这个，后来修改义务教育法之后，人大那帮人问我，你对教学立法，你认为应该立什么法？所以别的教学方法都是没有法律支撑的，就一个教学法有法律支撑，叫启发式教学。所以，你不管怎么教都行，你要能够引发孩子思考，能引发孩子做事情，基本两个能力，一个是会想事情，一个是会做事情，这个是有法的，其他的没法，你是先讲概念后举例，还是先举例后讲概念，根据内容要求，根据学生接受情况，怎么变都行，那不是本质的，最本质的是启发学生思考。但是，罗老师说得对，你要启发学生思考，你就要给他思考的时间，你说是不是，或者还得给他思考的空间，启发式教学，这个是立法的。我跟我们教育学院的博士说，你们研究了半天教育有没有一个基本出发点？你认为必须是怎么的？原则是什么？他们说没有，我说我告诉你们原则。这个原则我思考，我的学生应该再教他的孩子思考，一个原则，我认为学校的教育应该充分地彰显人和动物的最大区别。人和动物的区别就是我们要教育的东西，为什么呢？人和动物没有区别的那是本能，本能不上学都能学，不上学都能教，你要教那些通过本能得不到的东西，人和动物最大的区别，后来我就开始研究，我看劳动，也不是劳动，以为是思维，也不是思维，后来发现，人有两个最基本的特征，跟动物的区别，一个是人的大脑，人的大脑是1350毫升，其他动物，像人体格最大的动物，大脑很少能超过300毫升的，原始人最早最早是800毫升，后来又不断的进化，不断的进化，现在逐渐发现就是，人没有那么长时间，就是新人类，大概只多10万年，以前那些都没有，包括北京猿人那些都不算现代人，他的大脑容量都没有像1350毫升，这是一个区别吧，有了这个区别之后，人会干什么呢？会制造工具，会使用工具的动物有的是，不会制造工具，人会制造工具。会制造工具培养什么能力？会制造工具培养的是想象力，所以人要培养的第一个能力是想象力，你记住，小学老师一定记住，所以小学老师，其实你们应该感谢我，为什么呢？我98年当校长的时候，在东北师范大学提出了小教本科，所以小教本科那个专业是东北师大提出来的，后来教育部看东北师大提了不好反驳，就批了，批了之后全国一下出那么多小教本科，那是我领他们做的，课程计划什么也是我领他们做的。这个小学老师非常重要，两句话使得你非常重要：一个是江山易改，秉性难移，这个秉性大部分在小学阶段培养，这是第一个。第二个，小学老师一定要记住这件事情，刚生下来的孩子，所有的人那，都是早产儿，为什么呢？人的大脑是1350毫升，生下来才有400毫升，所有的动物生下来都是成年的一半以上，人不行，如果生下来要700、800毫升，那人要两米以上，要不然生不下来，因此都是早产儿，所以小孩儿生下来呀，它不长肌肉不长骨骼，专长脑袋，所以所有小孩儿他的脖子支撑不了太大，所以你抱小孩儿得拖着他的脑袋，为什么呢？他才300多、400毫升那，长大了1350毫升，差老大了，它就长，拼命长，等你上小学的时候才长到百分之九十，没长成，所以没长成啊，又要拼命得使用他的大脑，你给用坏了呢？所以你记住，你小学阶段的那点知识没啥了不起的，你用这个知识讲解要开发它的大脑，而不是使用它的大脑，这大脑什么时候养成了呢？十四岁，所以我们在初中啊，才提抽象意识，一定孩子到什么时候教什么东西，这是最关键的，他要不认真研究的那帮人，你别听他的，孩子到什么时候，他脑袋没长成嘛，别折腾他，挺好的孩子你折腾不好了。这不行，没长成。人和动物还有个巨大的区别，就是人会说话，人为什么会说话呢？是因为劳动使人会说话吗？那些动物也劳动，为什么他不说话呢？人会说话是因为喉头在下，喉头在下使得发音的器官非常充足。所以能发出各种各样的声音来，因此人会说话。小孩刚生下来喉头在上。跟动物一样，所以小孩能一边吃奶，一边哭，大了就不行。喉头在下，大人，你没有看到谁一边吃饭，一边唱歌的吧，那肯定呛到。什么时候长成呢？14岁。所以我把14岁之前叫做早期教育。所以小学教育属于早期教育。很重要的一点。会说话的时候培养的能力是什么能力呢？会说话的时候培养的能力是抽象能力，他们说语文不培养抽象能力，我说根本没有道理，语文培养抽象能力，说的话都不是实物，我说的苹果你怎么知道是苹果呢？我说它好吃，没准儿你还馋了呢。没有实物啊，说的都是抽象的东西。所以我认为要培养两个能力，一个是抽象能力，一个是想象能力。这是我认为人之所以成为人的最重要的两个能力。动物肯定抽象不出来，所以我倒是建议小学一二年级数学少教的。孩子不懂，主要是语文不懂。所以该教啥教啥，数学不着急。我们课标这次申请设置一、二年级数学是三节，三、四年级讲四节，五六年级讲五节。平均也是四节，我估计最后不会这么执行的，其实一二年级少讲一点不要紧，大了就会了。主要是他话不懂。

还有，数学从哪里开始教起呢？我又研究这个，数学开始从哪儿教呢？研究了十年，研究了十年我终于想明白了。 小孩学数学有两个本能，这个本能不用教。这是教育的出发点。你回去如果有自己的小孩，你悟自己的小孩。你自己没有孩子看别人的孩子，或者你教的孩子。孩子对数量多少的感悟是本能，不用教。这个盘子比这个盘子多，你不用教。你就把这个多变成数，抽象成数是你要教的事儿。把多少变成大小是挺难的一件事儿。你不信你去教教，你要研究的话就认真研究一下，把孩子们。4个苹果比3个苹果多，变成4比3大，这件事儿可不容易啊，不信你试一下。还有一件事，不用教，就是对距离远近的感知不用教。这个东西能过渡到哪儿呢？能过渡到对线段长短的感知，不用教。这个比这个长你不用教。大不了度量一下它比它长多少。一个是代数的基础，一个是几何的基础，就更构成了数学，这两个是两个基本出发点。现在，这个课标修改有一个基本的想法，这个主要是对初中说的，对小学大概也有一些，一个是增加几何直观，一个是增加点代数推理，过去几何直观讲得不够，没有活动起来。所以这回几何直观加上了什么东西呢？你们拆盒子吧，这个三、四年级拆盒子挺重要。我们附中的那些老师都说为什么孩子的立体感建立不起来呢？我说这里面是不是没有咱们附小的孩子，他们说是的，我说那没错，看来这个拆盒子是好的。三年级把一个盒子拆完之后看看平面，培养想象力。因为想象力小时候不培养，长大培养不出来了。小学阶段，你们福建省，小学数学抓一件事儿。怎么培养孩子的想象力？你们都培养出那么多有名的数学家了，这绝对重要。这个想象力就是通过一些操作可以培养起来。但是还是不够，所以这一次就加上了几何作图。张丹老师他们已经在开始做试验了，就是这个三年级呀是不是能够画相同长的线段。用尺规作图画。怎么想到这儿的呢？我有一次听课，我忘了在哪儿了。吴正宪讲三角形的周长。她用什么讲呢？你们是不是也这么讲。拿橡皮泥在那儿捏捏捏的，我说吴老师呀，咋给你憋成这样呢？这样吧，我在小学里加上尺规作图，什么叫三角形的周长呢？把三角形的边长用尺规挪到一条线上。首尾相接得到的这个长度就是三角形的周长，我说有点儿尺规作图吧。小学就想做两件事情，就是给个线段作一个相同长的线段。但是呢，给个线段作一个等边三角形更好，这个我不管那么多，那是他们编教材的事儿。我只提出一个要求能够作一个相同长度的线段。过去你们都是拿尺量了。尺量是个案，一般的都不用尺量，就用圆规一量，跟长度无关。还有一个三角形的周长，尺规作图就要求有这个。多余的，都是他们教材写的，我支持他们教材多写一点。然后感悟这个几何说理。前天在那个小学讨论。那个小学老师谈三角形的内角和180度。我说，你们老师学会两件事儿。这两件事，我对他们未来教材的编写已经提出了具体要求。第一个，不会做的问题，你想尽办法变成会做的问题。这个思想方法很重要。比如三位数乘两位数不会做，那么是不是能够变成两个三位数乘一位数的和，变成已经学过的。还有一个，从特殊的情况出发。我告诉这个数学老师我说不行了，你就从特例出发。我说三角形的内角和等于180度，你讲不清楚怎么办呢？这个矩形的内角和是360度，我们都知道，矩形的一个角是90度的角，那么四个角是360度。你这么画一条线一连，他们两边就是对称的。因此三角形的内角和是180度，对吧？360度的一半嘛，就是180度。这个事情对所有的直角三角形都成立。所有直角三角形的内角和都是180度。有些事情举例说明是可以的，就是从特殊出发讲。你要实在讲不清楚的话，从特殊出发是可以的。这是认识问题的一种办法。还有一个，这块我没想明白。你们可以试一下，这个例子，我认为是一个非常好的例子。给两个线段的长，给出两个线段，作等腰三角形。让孩子悟，这个三角形他两条边不一定哪条边成底。也不一定哪个边都能成高对不对？那哪个边能成底，哪个边能成高，这两个边得满足什么关系？这样的话小学生能够悟出两边之和大于第三边，就好了，我的理想。我的理想有三个结论。让孩子自己得到，别都是老师教的。比如三位数乘两位数的计算方法，尝试着让学生自己得到。两位数乘一位数你讲了，两位数乘两位数你讲了，三位数乘一位数你也讲了。根据过去讲的这些方法，三位数乘两位数孩子自己能不能悟出来呢？就是把它进行分解，两位数乘两位数，就是把它分成两个两位数乘一位数的和。进一步启发孩子思考就有些可以得到结论。最难最难的就是张丹他们实验的，让孩子自己提出问题来。咱们不往那儿走。让孩子能够自己得到一些结论，我认为也是非常好的，这个挺难。你要是觉得挺难就当我没说这个，试一试。我给你们讲个故事，我老给你们讲故事。我是一名奥运火炬手，挺厉害吧，长春市照顾我们学校。有小学生，中学生，大学生，在我跟前的，是我们附小的学生，是奥运火炬手。我说孩子你愿意学什么。他说我愿意学数学，我说太好了。我说我问你个题呀。我说半圆的周长等于多少呢？这孩子挺聪明，他说不就是这个加直径吗？我说你能写出来吗？他说老师没有纸啊。我说不用纸，就这样想，到时间他还是想出来了。就把公式说出来了，了不得呀。孩子这件事儿吧，他自己得到的结论增加了他的信心，他自己受用一辈子。所以呀，你不一定赶上哪个学生，多多少少让孩子们得到一个结论。那个结论没有什么了不起的，半圆的周长有啥了不起的。但是他得到了一个公式，公式了不起吧。半圆加上直径那个，为啥不可以是公式啊，也可以是公式啊！所以让孩子们得到一些结论就是我认为这样的教育，培养孩子们想问题是很重要的。还有一个，这回为了区别量感这些东西，把量感有关的东西都变成综合与实践了，这是马云鹏干的事儿。我看变得挺好的，变成这样。他是以主题的形式出现了，这回你们下点功夫琢磨一下子。比如认识人民币，他整个购物活动。他认识时分秒，整了个主题活动：时间在哪。认识前后左右，他整了个：我的教室。凡是那个课标里面写故事的，都是跟传统文化有关的。度量衡的故事，曹冲称象的故事，认识负数这些都在这里写。我在这里稍微说一句话，我希望未来呢，我们数学上所讲的数学文化，不是社会上所说的那些故事。而是要用数学的眼光或者用数学的思维，或者用数学的语言，来表达他们说的那些故事，这是我跟马云鹏说的。比如曹冲称象，我们都把它写成曹冲称象的故事。为什么呢？通过这个故事不仅仅是认识重量单位。不是这个。你说曹冲称象能感悟几个数学，我说感悟两个。第一个，等量的等量相等。大象把船压到哪儿，同样，石头也压到这儿，他们两个量一样。等量的等量相等。还有一个，总量等于分量和。大象太大了，你不能把它杀了。把它变成石头，石头挨个的重量，等于分量和。因此，在曹冲称象这个故事里，除了讲曹冲的智慧，也就是这个社会上所讲的故事之外。我们要知道他的数学的内涵是什么。这个是跟过去有一点不一样的。比如这个圆周率，我读书比较认真。我读这个圆周率，我就去找这个数学史来看，这个祖冲之可是了不得呀，我就一直不知道中国的小数是怎么表示的？我对这个事儿一直表示不太懂。因为国外到17世纪才表示小数，微积分发明了一百年以后才有小数的，你现在教给小孩听没啥了不起的。小数可了不起了，祖冲之是怎么表示的呢？往上叫丈，往下叫什么？尺、寸、分、厘、毫、秒、忽。你看个、十、百、千、万往上有单位，对不对？往下也有单位，这个十进制，中国古代这个非常清楚。中国小数就这么表示的，很重要。所以这些都是讲给孩子们听一下，这是关于传统的故事。还有，一个所有的单位，讲课的时候一定要让孩子们知道，除了个，就是个数的个以外，所有的单位都是来自于生活的，尺，布指知寸，布手知尺。升，中国古代一捧叫升，生活上的，重量，最小的重量叫铢，黍是黄米，一百粒黄米的重量叫一铢，然后有了两，然后有了斤。后来我就想，你们讲课，有时候也可以两点笑话去，估计古代人最好吃的东西就是黄米。黄米做的肯定是好吃。都用它来量金子，叫铢，所有的度量，量感这个东西除了个之外都是身边的东西，然后再统一起来的，精度变得越来越高了，要求越来越高了，过去不高，过去用升量米，用斗量米，然后就是有物体的质量，质量和重量的不同在哪儿？重量是在地球上，把地球的引力算进去，差不了多少，质量是只跟东西的密度有关。