世界上有一些真正“无穷大”的数字,无论你花多少时间都写不完。
比如说,“所有数字的数量”显然无穷大,同样的还有“一条线上所有几何点的数量”。除了“无穷大”以外,你还能用什么办法来描述这样的数字?或者说,我们能不能比较两个不同的“无穷数”,看看它们谁“更大”?
要比较“无穷数”的大小,我们首先会遇到一个问题:这些数字,我们既无法描述,也无法数清。
这就像一位霍屯督人打算清点自己的财产,看看是玻璃珠更多还是铜币更多。但是,你应该记得,霍屯督人最多只能数到3。那么他是不是应该放弃比较玻璃珠和铜币的数量,因为这两个数他都数不清?不一定。
如果这位土著足够聪明,他应该能想到,可以把玻璃珠子和铜币拿出来一对一地比较。他可以在一枚铜币旁边放一颗玻璃珠,然后在第二枚铜币旁放下第二颗玻璃珠,以此类推,周而复始……
如果玻璃珠用光了,但铜币还有剩余,那么他就会知道,铜币比玻璃珠多;要是铜币没了,玻璃珠还没用完,那就是玻璃珠更多;如果二者正好相等,那么玻璃珠和铜币一样多。
这就是康托尔提出的比较两个“无穷数”的方法:我们可以对两组无穷数进行配对,每个集合里的一个元素分别对应另一个集合里的一个元素,如果最后它们正好一一对应,任何一个集合都没有多余的元素,那么这两个数的大小相等;
但是,如果两组无穷数无法一一对应,某个集合中存在无法配对的剩余元素,那么我们可以说,这个集合的无穷数更大,或者更强。
这显然是最合理的办法。事实上,要比较无穷大的数字,我们也只有这个办法;但是,如果你真的打算采用这种办法,那你得做好大吃一惊的准备。
比如说,奇数的数量和偶数的数量都是无穷大,我们先来比较一下这两个无穷数。当然,出于直觉,你肯定认为这两个数相等,它们也完全符合我们刚才描述的规律,奇数和偶数可以列成一对一的组合:
在这张表格中,每个偶数都有一个对应的奇数,反之亦然;因此,奇数的数量和偶数的数量是两个相等的无穷数。看起来真的非常简单自然!
不过,请稍等一下。下面两个数你觉得哪个更大:所有数字(包括奇数和偶数)的数量和偶数的数量?你当然会说,肯定是所有数字的数量更大,因为除了偶数以外,它还包含了奇数。
不过这只是你的直觉,要找到准确答案,你得严格按照我们上面描述的方法来比较这两个无穷数。这样一来,你会惊讶地发现,你的直觉错了。事实上,所有数字的集合和只有偶数的集合也能做成一张一一对应的表格:
根据无穷数的比较规则,我们只能说,偶数的数量和所有数的数量是两个相等的无穷数。这听起来当然很矛盾,因为偶数只是所有数字的一部分,但我们必须记住,这里讨论的是无穷数,所以我们只能做好准备,直面它们的古怪特性。
来源:乔治·伽莫夫《从一到无穷大》第一章