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原文摘录

我的批注

作者：乔治·伽莫夫

第一卷 数字游戏

第一章 大数字

（1）比较无穷数

① 比较例子

事实上，在无穷数的世界里，部分可能等于整体！

• 偶数的数量和所有数的数量是两个相等的无穷数。
• 一个平面上的所有点的数量等于一条线上的所有点的数量。
• 立方体内所有点的数量等于平面或线段内所有点的数量。

② 比较方法

这就是康托尔提出的比较两个“无穷数”的方法：我们可以对两组无穷数进行配对，每个集合里的一个元素分别对应另一个集合里的一个元素，如果最后它们正好一一对应，任何一个集合都没有多余的元素，那么这两个数的大小相等；

（2）表示无穷数

“无穷数学”的奠基者格奥尔格·康托尔提出，我们可以用希伯来字母 ℵ（ aleph）来描述无穷大的数字，字母右下方的角标代表该数字在无穷数列中的位置。

• ℵ ₀ 代表所有整数的数量，
• ℵ ₁ 代表所有几何点的数量，
• ℵ ₂ 代表曲线的所有种类，
• 截至目前，还没有任何人能找到可以记作 ℵ ₃ 的集合。

第二章 自然数字和人造数字

（1）数论

时至今日，理论数学几乎所有分支都已经成为科学家解释物理世界的工具，其中包括那些曾经被人们认为纯粹得没有任何实用价值的理论，例如群论、非交换代数和非欧几何。不过，哪怕是在今天，数学领域内仍有一套庞大的体系一直坚守着“无用”的高贵地位，它唯一的作用就是帮助人们锻炼智力，这样的超然绝对配得上“纯粹之王”的桂冠。这套体系就是所谓的“数论”（这里的“数”指的是整数），它是最古老、最复杂的理论数学思想之一。奇怪的是，尽管数论的确是最纯粹的数学，但从某个角度来说，它又是一门基于经验甚至实验的科学。

事实上，数论的绝大多数命题来自实践——人们尝试用数字去做各种事情，然后得到一些结果，由此形成理论。这样的过程和物理学别无二致，只不过物理学家尝试的对象是现实中的物体而非理论化的数字。数论和物理学还有一个相似之处：它们的某些命题得到了“数学上”的证明，但另一些命题仍停留在经验主义的阶段，等待着最杰出的数学家去证明。

（2）数论的例子

① 哥德巴赫猜想

所以我们直到现在都没能列出一个只能算出质数的通用公式。数论中还有一个既没被证明也没被证伪的有趣问题，人称“哥德巴赫猜想”（ Goldbach conjecture）。这个猜想是在 1742 年提出的，它宣称任何一个偶数都能表示为两个质数之和。[

② 质数平均分布定理

质数平均分布的定理是整个数学领域最重要的发现之一，它可以简单地表达为：在 1 到大于 1 的任意自然数 N 的区间内，质数所占的百分比约等于 N 的自然对数的倒数。 N 越大，这个式子得出的结果就越精确。

③ 费马大定理

费马在页边写了一条简短的笔记，他提出，方程 x2 + y2 = z2 有无穷多组整数解，但对于 xn + yn = zn 这样的方程[ 22]，如果 n 大于 2，那么该方程无解。

拉证明了方程 x3 + y3 = z3 和 x4 + y4 = z4 不可能有整数解；狄利克雷（ Dirichlet）又证明了 x5 + y5 = z5 没有整数解，再加上其他几位数学家的努力，目前我们已经确认，只要 n 小于 269，这个方程都没有整数解。

④ 虚数

• 以前：“负数没有平方根，因为任何数的平方都不会是负数。”
• 现在：虚数就是负数的平方根。

人们从卡尔达诺使用的修饰词中挑了一个来给这样的数命名，所以现在它被称为“虚数”（ imaginary numbers）。自从虚数诞生以后，数学家开始越来越频繁地使用这个概念。

对于这样的数，也许我们只能说，它们不是零，但并不比零大，也不比零小，所以它们完全是虚构出来的数，或者说不可能的数。

以此类推，每个实数都有一个对应的虚数。你还能将实数和虚数结合到一个式子里，写成（略）这样的形式。卡尔达诺发明的这种混合表达式通常被称为复数。

直到两位业余数学家赋予了它简单的几何意义，虚数才算得以正名。

“ i 的平方等于 − 1”这个说法就比“逆时针旋转两个 90 度等于转为反向”好理解多了。

我们习以为常的三维空间竟能和时间结合起来，形成一个符合四维几何学的统一坐标系。

不过这方面的发现，我们可以留到后面讨论阿尔伯特·爱因斯坦和相对论的章节再讲。

第二卷 空间、时间和爱因斯坦

第三章 宇宙的奇异特性

（1）拓扑学

略

（2）左、右手性

① 介绍

没有对称平面的物品可以归为两类——左手性的和右手性的。

其中一种蜗牛壳上的螺纹是顺时针的，另一种则是逆时针的。就连构成所有物质的基本微粒（即所谓的“分子”）也常常有左旋和右旋两种不同的形式，比如说，糖就有左旋和右旋两种，不管你信不信，以糖为食的细菌也分为两种，每种细菌都只能吃对应手性的糖。

杨振宁的宇称不守恒也是。

② 两者怎么转换

但是，如果你让一头驴离开平面，在空间中将它翻转 180 度，然后让它重新回到平面上，那么它会变得和另一头驴完全一样。以此类推，我们可以说，如果让右手套离开三维空间，在第四个维度中以某种合适的方式将它翻转，再让它重新回到我们的空间里，那么它也可以变成左手套。

而是所谓的“莫比乌斯面”。这种面的名字来自一百多年前首次研究它的一位德国数学家。制作莫比乌斯面非常简单：取一根长纸条，将它盘成一个环；再将纸条一端扭转 180 度，最后把两端粘起来。看看图 23，你就知道该怎么做了。莫比乌斯面有许多奇异的特性，其中一点很容易发现：取一把剪刀，沿着平行于莫比乌斯面边缘的方向完整地剪一圈（如图 23 箭头所示）。当然，按照你的预想，最终我们应该得到两个独立的环。但真正去做以后，你却会发现自己想错了：我们剪出来的不是两个环，而是一个大环，它的长度是原来那个环的两倍，但宽度只有原来的 1/2！

影子驴在莫比乌斯面上行走时会发生什么。这头驴子发现自己陷入了窘境，它不知为何变得四脚朝天了！当然，它可以翻个面，让自己重新站稳，但要是这样的话，它就变成了一头右侧驴。简而言之，我们的“左侧”驴在莫比乌斯面上走一圈以后就变成了“右侧”驴。

在一个扭曲的面上，右手性物体只需通过扭曲处就能转换成左手性物体，反之亦然。莫比乌斯环实际代表着另一个更具普遍性的面的一部分，即克莱因瓶。

第四章 四维世界

（1）介绍

但只要再想想，你会发现第四维其实并不神秘。事实上，有一个词我们大部分人每天都会用到，它可以被视为，或者说实际上就是物理世界中的第四个维度，这个词就是“时间”。

用四维时空几何学的术语来说，代表每个独立的物质粒子的生命史的线被称为“世界线”。同样地，组成复合物体的一束世界线被称为“世界带”。

（2）如何表示

因此，如果能找到一种公认的标准速度，我们就能用长度单位来描述时间跨度。

通过“光年”这个术语，我们将时间化作了一个实用的维度，时间单位也因此成为一个可用于度量空间的单位。反过来说，我们也可以创造另一个术语“光英里”，用它来描述光行经 1 英里的距离所需的时间。利用上面介绍的光速值，我们可以算出 1 光英里等于 0. 0000054 秒。

我们只需推广一下毕达哥拉斯定理，就能算出四维距离；要研究事件之间的物理关系，四维距离是一个比独立的空间间隔和时间间隔更基本的值。

空间和时间之间的差异就被彻底抹除了，这也意味着我们承认了空间可以转化为时间，反之亦然。

我们可以将第四个坐标定义为一个纯虚数。

既然我们认为空间距离永远是实数，而时间距离永远是纯虚数，那么或许可以说，实数的四维距离与普通空间距离的关系更为密切，而虚数四维距离与时间间隔的联系更紧密。用闵可夫斯基的术语来说，第一种四维距离叫作“类空距离”（ spatial），第二种则是“类时距离”（ temporal）。

类空距离可以转化为普通的空间距离，而类时距离可以转化为普通的时间间隔。但是，这两种距离一个是实数，一个是虚数，二者之间有一道不可逾越的藩篱，所以它们无法互相转化，正是出于这个原因，我们不能将尺子变成时钟，反过来也不行。

第五章 空间和时间的相对性

略

第三卷 微观世界

第六章 下降的阶梯

（1）原子 vs 太阳系

相同：

• 结构相似
• 原子核的质量相当于原子总质量的 99. 97%，而太阳系 99. 87% 的质量都集中在太阳里；
• 围绕原子核运行的电子之间的距离相当于电子直径的几千倍，太阳系内行星间的距离与行星直径的比值差不多也是这个数。- 原子核和电子之间的电磁力与距离的平方成反比，太阳和行星之间的引力也遵循同样的数学规律。

此为卢瑟福模型。

不同：

根据已有的物理学知识，如果原子内部的结构真的和行星系一样，那么它只能维持亿万分之一秒的时间，换句话说，这样的原子旋生旋灭，根本无法长期存在。但是尽管我们从理论上推出了如此悲观的前景，但现实却告诉我们，原子结构非常稳定，原子内部的电子高高兴兴、不知疲倦地绕着中央的原子核绕圈，绝不损失任何能量，更没有坠落的迹象！

电子并不是围绕原子核旋转的，卢瑟福模型不正确。

那是怎样的运作方式，详细看量子力学的解释。

第七章 现代炼金术

（1）基本粒子

① 核子 与 电子

尽管已知的物质千姿百态，种类多不胜数，但追根溯源，它们其实都是两种基本粒子的不同组合：1.核子，物质的基本粒子，它可能是电中性的（中子），也可能携带一个正电荷（质子）；2.电子，自由负电荷。

其实自然界中的确存在正电子，它和带负电的普通电子十分相似，只是电性相反。带负电的质子也可能存在，只是目前物理学家还没有探测到这种粒子。在我们的物理世界里，正电子和负质子（如果存在的话）之所以不像负电子和正质子那么常见，是因为这两组粒子互相“拮抗”。大家都知道，如果两个电荷的电性相反，那么它们一旦发生接触就会互相抵消。因此，既然正电子和负电子分别代表正负自由电荷，那么在同一片空间区域中，二者必然无法共存。这样的湮灭会在二者相遇的位置产生强烈的电磁辐射（γ 射线），而两个电性相反的电子“湮灭”的过程与强伽马射线看似凭空“创造”一对电子的过程互为镜像。

但只要想想硬橡胶棒摩擦羊毛产生正负电荷的实验，我们就不用过于惊讶。只要有足够的能量，我们就能制造出任意数量的正负电子对。

据我们所知，宇宙中可能存在由反物质构成的行星系，如果将一块来自太阳系的普通石头扔进反星系，或者反之，那么这块石头一落地就会变成原子弹。

② 中微子

中微子的存在是用数学中的“归谬法”反推出来的。这个激动人心的成就并非始于人们发现了什么东西，而是我们发现某些物理过程中少了一些东西。这些“少了的东西”就是能量。

人们一度相信，这是能量守恒定律失效的第一个实验证据，但泡利（Pauli）提出，这种窃取核能量的“巴格达大盗”可能是一种名叫中微子的假想粒子，它不携带电荷，质量小于普通电子。

现有的任何物理装置都无法探测到这种不带电的轻粒子，它能够轻而易举地穿透任何物质。要阻挡可见光，一层薄薄的金属膜足以胜任；对于穿透力更强的 X 射线和 γ 射线来说，几英寸厚的铅能够显著降低它们的强度；但中微子束却能轻松穿过几光年厚的铅层！难怪我们无论如何都观察不到中微子。

后来还是受后坐效应的启发，探测到了中微子。

③ 总结 - 粒子之间的转换

• 中子可以释放一个负电子和一个中微子，变成一个质子（中子 → 质子+负电子+中微子）；
• 质子也可以释放一个正电子和一个中微子，重新变成一个中子（质子 → 中子+正电子+中微子）。

• 两个电性相反的电子可以转化成电磁辐射（正电子+负电子 → 辐射）；
• 反过来说，辐射也能创造一对电子（辐射 → 正电子+负电子）。

中微子能与电子结合，形成我们在宇宙射线中观察到的不稳定的介子，它还有一个不太恰当的名字，“重电子”：

• 中微子+正电子 → 正介子；
• 中微子+负电子 → 负介子；
• 中微子+正电子+负电子 → 中性介子。

④ 更多

略

更多的粒子涉及到量子力学的物理学前沿了，感兴趣的可以了解下”标准模型“。

（2）核聚变 和 核裂变

略

第八章 无序的规律

（1）温度

① 温度与热运动

布朗运动实际上是物质看不见的热运动造成的结果，而我们通常所说的温度其实不过是度量分子热运动剧烈程度的一种标准。

当温度达到 −273℃（即 −459℉）时，即绝对零度，物质分子会完全停止热运动。

温度逐渐升高，物体从固态、变成液态、变成气态。

而如果温度继续升高，就连分子本身也岌岌可危，因为越来越剧烈的碰撞会将分子撕裂成原子。这种热离解过程取决于分子自身的强度。一些有机物分子在几百度的“低温”下就会分解成独立的原子或原子团，但另一些更稳定的分子（例如水）需要一千多度的高温才会溃散。但任何分子都无法在几千度的高温下存活，在这样的高温环境中，物质将变成纯化学元素组成的气态混合物。

如果温度升高到几十万甚至几百万度，这种热电离过程就会变得越来越明显。这样极端的高温超过了我们能在实验室里达到的上限，但在恒星尤其是太阳内部却很常见。就连原子也无法在这样的酷热环境中幸存，它的所有外层电子都会被剥夺，物质最终会变成赤裸的原子核与自由电子组成的混合物，电子在空间中高速运动，以极其强大的力量互相碰撞。

由于光的传播速度高达每秒 300,000 千米，而太阳的半径只有 700,000 千米，所以如果不受外界阻碍，直线运动的光量子只需要两秒多一点儿的时间就能走到太阳表面。但实际情况完全不是这样；前往太阳表面的过程中，光量子将遭到周围原子和电子的无数次碰撞。结果也就是大约五千年！而在空旷的行星际空间里，直线传播的光只需要 8 分钟就能从太阳跑到地球！

要利用热彻底分解物质，将原子核拆成独立的核子（质子和中子），我们至少需要几十亿度的高温。虽然我们在最热的恒星内部也没有发现这么高的温度，但它很可能存在于几十亿年前的年轻宇宙中。

② 热运动 与 无序定律

热运动完全无规律的特性正好能用一种新定律来描述，我们称之为无序定律，或者统计行为定律。要理解这句拗口的描述，我们不妨看看著名的“醉鬼走路”问题。

这个式子意味着醉鬼随机转向无数次以后，他与灯柱之间最可能的距离等于他走过的每段直线路程的平均长度乘以线段数量的平方根。

但是如果有大量醉鬼从同一根灯柱的位置出发作随机运动，而且他们互不干扰，那么你会发现，经过足够长的一段时间以后，所有醉鬼将分布在灯柱周围一定的区域内，我们可以利用刚才介绍的方法算出他们与灯柱之间的平均距离。

所以即使是无序的，但如果样本够多，我们还是可以按统计学算出来。

（2）熵增定律

① 介绍

物理系统中任何自发的过程必然朝着熵增的方向发展，直至最后达到熵最大的平衡态。这就是著名的熵增定律，又叫热力学第二定律（第一定律是能量守恒定律），熵增定律又叫无序度增加定律。

② 误区

1、生命体的存在似乎完全违反了熵增定律。

植物利用来自阳光的负熵（秩序），以无机化合物为原料构建自己的身体；而动物只能吃掉植物（或者其他动物），靠这种方式来获得负熵。

2、

但普通的蒸汽发动机为什么就能将热转化为运动，同时并不违背熵增定律呢？奥秘在于蒸汽发动机利用的只是燃料燃烧产生的一部分能量，更多能量以废气的形式排了出去，或者被专门安装的冷却设备吸收了。在这种情况下，整个系统内的熵发生了两种相反的变化： 1. 部分热量转化为活塞的机械能，这是一个熵减的过程； 2. 锅炉的另一部分热量流入冷却设备，这是一个熵增的过程。熵增定律要求的只是系统的总熵增加，只要后面这部分增加的熵超过前面那部分减少的熵就行。

3、

另一个例子可以帮助我们更好地理解熵增定律。假设有个 5 磅重的砝码放在离地 6 英尺的架子上。根据能量守恒原理，这个砝码不可能在没有外力作用的情况下自己跑到天花板上。从另一方面来说，它却有可能将自己的部分重量掷向地板，由此获得能量，让剩余的部分飞上去。同样地，我们可以允许系统内的局部区域出现熵减，只要其余部分增加的熵足以补偿差额。换句话说，我们的确能让系统内部分区域的分子无序运动变得更有序，只要我们不在乎这样的操作会让其他区域的分子运动变得更无序。

（3）密度涨落效应

① 介绍

微观尺度下空气分子的分布其实并不均匀。如果放大足够的倍数，你会看到气体内的分子不断聚成小团，然后很快散开，但其他位置又会出现类似的分子团。这种效应叫作密度涨落。普通液体也有密度和压力的涨落效应，只是看起来不那么明显；

② 案例 1 - 为什么天空是蓝的

天空是蓝色的，原因的一部分就是，大气散射一部分来自悬浮的尘埃，大部分则是密度涨落引起的分子散射。

照理说纯净的天空是极均匀的，分子再多也没有“天蓝”。就像一块极平的镜子，只有折射或反射，而极少散射。在均匀一致的环境中，不同分子的散射相互抵消了。但正因为密度涨落效应，导致“空气中有不可消除的‘杂质’，即空气自身的涨落。密度涨落等对阳光的散射，形成了蓝天。

③ 案例 2 - 为什么水烧开会呈乳白色

所以我们可以换一种方式来描述布朗运动：水中的悬浮微粒之所以会被推来挤去，是因为它在不同方向上受到的压力总在快速变化。当液体被加热到临近沸点时，密度涨落变得更加明显，让液体看起来略带乳白色。

第九章 生命之谜

（1）生命到底是什么

生命虽然复杂，但从本质上说，它和普通的物理现象和化学现象并无区别，所以我们很难在生命和非生命之间划出明确的界线。

从周围的介质中撷取原材料，生成类似自身的结构单元。这些病毒微粒既是普通的化学分子，又是生命体，所以它们正是生命和非生命物质之间“缺失的一环”。

病毒微粒或许是一种“自由基因”。

基因的确是最小的生物单元（每个独立基因大约由 100 万个原子组成）。基因似乎是生命和非生命之间缺失的一环。

生物的突变现象实际上源自分子内部的同分异构变化，这是一个纯粹的物理化学过程。

（2）基因

① 遗传特征

色盲这一类的遗传特征需要两条染色体都受到影响才会表现出明显的性状，因此我们称之为“隐性遗传特征”。

“显性遗传”和隐性遗传正好相反，这类遗传特征只需要一条染色体受到影响就会表现出来。

除了显性遗传和隐性遗传以外，还有一种“中性”遗传特征。

当然，就算是在最先进的显微镜下，所有基因看起来还是差不多，它们不同的功能深深隐藏在分子结构内部。

② 其他

但在分裂开始之前，成对的染色体常常纠缠在一起，所以它们有可能产生部分的交换。这样的交叉混合（如图 99a、b 所示）会导致来自父母双方的基因序列发生混淆，从而产生混合的遗传性状。

彼此独立、互不影响的性状在染色体上的位置必然隔得很远。

第四卷 宏观宇宙

第十章 不断扩展的地平线

（1）视差位移

如果只用一只眼，你很难判断针鼻与线头之间的距离；但要是两只眼睛都睁开，你很容易将线头穿过针鼻，或者至少很容易学会。用两只眼睛观察物体的时候，你会不自觉地让两只眼睛同时聚焦在一件物体上。

你可以试试先闭上一只眼，然后换一只眼，你会发现，物体（在这个例子里就是针）相对于远处背景的位置（比如说房间对面的窗户）发生了变化。这种效应就是视差位移.

（2）视差测量法

越远的物体视差位移越小，所以我们可以利用这一点来判断距离。

1、我们不必真的制造一台能将你的双眼拉开这么远的装置，比如说左眼在华盛顿，右眼在纽约，只需要同时从这两座城市拍摄星空背景上的月亮就行。把这两张照片放到立体镜里。

2、利用地球本身的尺寸测量地球公转轨道的大小

3、利用公转轨道的尺寸来测量恒星的距离（当然，这意味着我们需要等待半年才能完成两次观察，但这又有何不可呢？）

（3）其他测距方法

如果更远怎么办呢？

1、基于脉动恒星的测距法

哈佛大学的天文学家哈洛·沙普利（Harlow Shapley）找到了一把能够测量遥远恒星距离的新“尺子”，它就是所谓的脉动恒星，或者说造父变星。

如果你发现了一颗距离超过视差位移法测量上限的造父变星，那么你只需要通过望远镜观察，记下它的脉动周期，进而算出它的实际亮度；再比较一下你观察到的亮度和它的实际亮度，你马上就能知道它离你有多远。利用这种巧妙的办法，沙普利成功地测量了银河系内那些非常遥远的距离；估算银河系大体尺寸的时候，这种方法也特别有用。

2、其他

到了这个阶段，我们只能根据星系的可见尺寸来判断它的距离；按照此前的经验，同一类型的所有星系大小都差不多，这一点和恒星很不一样。如果你知道世界上所有人的身高完全相同，既没有高个子也没有小矮人，那么你就能通过自己看到的某人的身高判断他和你之间的距离。

第十一章 创世年代

（1）逐渐固化的地球

这颗星球的主体至今仍处于熔化状态，我们常常在不经意间提起的“坚固大地”不过是漂浮在熔岩之上的相对较薄的一层硬壳。要证明这件事，最简单的办法莫过于测量地球内部不同深度的温度；于是我们发现，深度每增加一千米，温度就会上升 30℃ 左右。

在全世界最深的矿井里（南非金矿罗宾逊深井），井壁灼热滚烫，为了避免矿工们被活活烤熟，矿场不得不加装空调。

实际上，刚刚诞生的地球是一个纯液态的球体，从那以后，它一直在缓慢冷却，现在的我们看到的不过是这颗星球生命历程中的一个特定阶段，而在遥远的未来，地球终有一天会完全固化。