14、方阵的行列式

方阵的行列式.png

一、练习答案

1.设矩阵A与B为同阶对称阵，证明AB是对称阵的充要条件为AB=BA

$\because (AB)^{T}=AB$
又 $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}=BA$
$\therefore AB=BA$

$\because AB=BA$
$\therefore (AB)^{T}=B^{T}A^{T}=BA=AB$
$\Rightarrow AB$ 为对称阵。

2.矩阵 $A=\left( \begin{array}{cccc} cos \phi&-sin \phi \\ sin \phi&cos \phi \\ \end{array} \right)$ 的幂 $A^{n}=?$

$A^{2}=\left( \begin{array}{cccc} cos2 \phi & -sin2 \phi\\ sin2 \phi & cos2 \phi \end{array} \right)$

归纳法证明：
设 $A^{n-1}=\left( \begin{array}{cccc} cos(n-1) \phi & -sin(n-1) \phi\\ sin(n-1) \phi & cos(n-1) \phi \end{array} \right)$

则 $A^{n}=A^{n-1}A=$

$\left( \begin{array}{cccc} cos(n-1) \phi & -sin(n-1) \phi\\ sin(n-1) \phi & cos(n-1) \phi \end{array} \right)\left( \begin{array}{cccc} cos \phi & -sin \phi\\ sin\phi & cos \phi \end{array} \right)$

$=\left( \begin{array}{cccc} cos\ n\phi & -sin\ n \phi\\ sin\ n \phi & cos\ n \phi \end{array} \right)$

$\therefore A^{n}==\left( \begin{array}{cccc} cos\ n\phi & -sin\ n \phi\\ sin\ n \phi & cos\ n \phi \end{array} \right)$

二、知识点

1、方阵行列式定义

由方阵A所构成的行列式称为方阵的行列式，记为 $\left | A \right |$ 或det A
三阶方阵 $A= \left( \begin{array}{cccc} 1&2&0 \\ 1&0&8 \\ 2&0&0 \end{array} \right)$
三阶方阵的行列式

$\left | A \right |= \left | \left ( \begin{array}{cccc} 1&2&0 \\ 1&0&8 \\ 2&0&0 \end{array} \right ) \right |$ 简化为 $\left | \begin{array}{cccc} 1&2&0 \\ 1&0&8 \\ 2&0&0 \end{array} \right | =32$

$B=\left( \begin{array}{cccc} 1&3&4 \\ 2&6&8 \\ 1&3&7 \end{array} \right)$

$\left | B \right |=\left| \begin{array}{cccc} 1&3&4 \\ 2&6&8 \\ 1&3&7 \end{array} \right| =2\left| \begin{array}{cccc} 1&3&4 \\ 1&3&4 \\ 1&3&7 \end{array} \right| =0$

1.1 奇异方阵和非奇异方阵

若方阵的行列式为零，则称为奇异方阵。
若方阵的行列式不为零，则称方阵为非奇异方阵

1.2 n阶方阵的行列式

1.2.1定义

n阶方阵：

$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{array} \right)$

n阶方阵的行列式：

$det A = \left | A \right | =\left| \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{array} \right|$

1.2.2性质

由方阵A所确定的行列式作为一种运算除具有一般的行列式的性质外，还有如下性质：

设A，B为n阶方阵，k为常数，则有：

① $\left | kA \right | =k^{n} \left | A \right |$

证①
$\left | kA \right |= \left| \begin{array}{cccc} ka_{11}&ka_{12}&\cdots&ka_{1n} \\ &\cdots&\cdots& \\ ka_{n1}&ka_{n2}&\cdots&ka_{nn} \\ \end{array} \right|$

$=k^{n} \left | A \right |$

问： $\left | A_{m \times n}B_{n \times m} \right |=\left | A_{m \times n} \right |\left | B_{n \times m} \right |$ 成立吗？

答：不成立，因为A和B不是方阵（行等于列），只有方阵才有行列式

证明：奇数阶反对称阵的行列式为零。

满足该条件： $A_{n}^{T}=-A_{n}$ ，为反对称阵。

$\left | A_{n}^{T} \right |=\left | -A_{n} \right |$

$\left | A_{n} \right |=(-1)^{n}\left | A_{n} \right |=- \left | A_{n} \right |$

$A_{n}=0$

三、练习

$\left | A \right |=\left| \begin{array}{cccc} 0&2&-8 \\ -2&0&6 \\ 8&-6&0 \\ \end{array} \right| =？$

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