关于三角形的勾股定理我们是如何探索的呢？讲到勾股定理肯定会想到直角三角形，那么没错，我们就是从三角形开始探索的。首先我们来找一下普通的三角形有哪一些性质？一共有的性质是关于边的性质，还有关于角的性质。首先我来讲一下关于三角形边的性质。边的性质有两边之和大于第三，边两边之差小于第三边，这是关于边长的性质，还有关于角的性质，就比如说三边之和等于180度，然后还有三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和。这都是三角形的性质，但那只是我们平常见的三角形，而直角三角形是一个不同的特例，它不像我们以前见的别的各种三角形。
结束了我们最开始的浪漫，于是我们就进入了勾股定理的猜想和证明阶段，我们首先猜想的就是那个所谓的a方+B方=C方。那我们应该如何证明他呢？要证明他的话。非常需要一个格子纸。为什么这么说呢？因为用格子纸才能数出来，面积大概有多少也才可以用到，我们最需要用的用的最好的一个计算面积的方法就是分割法。首先有一个格子纸，然后我们以它的4周的面积，也就是三角形三条边的每条边的边长将它化成一个三角形，形成一个面积。
一个也是身体，割法就是这样子的，差不多就是把a方加B方，然后再以歌法分割成4份，中间还有一个小正方形，然后就可以得出C方的面积，所以我们就可以得到a方加B方对C方这一个简单的式子，然后就是补法，也就是将它们补成一个大正方形，再将大正方形边缘的4个小三角形剪掉，这样的话剪掉的4个三角形那同样可以得到面积，那么同样可以证明a方+B方=C方，这就是勾股定理证明法，讲完证明以后肯定就是应用应用是哪些呢？
在应用之中有知一，求二知二，求一。这都是勾股定理的两个应用，我现在来讲一下勾股定理的两个应用的计算过程。计算过程第1个就是知二求1，a方+B方=C方是原本的算式，如果我要知二求1的话，知道两条信息也就是我知道C方和a方和B方中的任意一个，然后去求a方。首先我们。随意列一个三角形分别是 C方=5，B方=4，现在我要求a方是多少？我们只需要把勾股定理反过来一减就可以知道了，首先我们以a方加B方=C方为标准，反过来就是C方，-B方=，a方而带，入一下数值就是5方减，4方也就等于a方，那么最终算出来5方等于25-16=9, 所以B方就=9，而B方的采访也就是根号9，那么B就=3。这是知二求一。
然后就是第2个，知一求二。想算出之一，求二的话，就需要一个附加的条件，就比如说BC方是不知道的，然后AC方式X-2，BC方为一条直角边，AC方为斜边，然后我们设BC为X，然后设AC为X-2。从而我们就可以代入，求值同时也要设AC为8，也就是另一条直角边代入求值。8方+X方。等于 X-2方然后一同计算就可以得知最终X=17，那么BC就=X=17，AC就等于17-2X-2，那么也就等于15，同样就得知了知一求，2虽然需要一个外加条件，但同样可以求出来。毕竟他们两个都不一样，我们需要一个附加条件，这样就可以得到一元一次方程。
还有一个就是勾股定理的逆定理。知道了，a方加B方=C方求它是一个直角三角形。这里需要用到两个三角形。
一个是。上面的三角形ABC，另一个是三角形，def。而角E等于90度，就这样我们用这两个三角形就可以开始我们的证明。首先。我们在上面写了一些已知条件，就是。 Ab=deac=df.而根据勾股定理，我们可以求出bf，等于df方减，DC方等于ef方。然后以df方-DC，方=E，AC方-ab方=ef方。等量代换，也等于BC方，这样子我们就得知了在三角形ABC与rt三角形df中，ab=deac=dfbc=ef，所以三角形，ABC全等于三角形，def边边边，角E=90度，所以。角B=角E=90度。这是勾股定理的逆定理。
然后就是最重要的一个，也就是这一章的第2个重要的点就是勾股定理之逆定理。勾股定理的逆定理该怎么求呢？大概是这样的，此时我们就需要用到两个三角形，第1个三角形ABC和第2个三角形def，我们需要得知ab我们给出已知条件，ab=de还有AC=df。还有角E等于90度。然后我们通过勾股定理的计算，然后还有等量代换，得知了BC=ef这一个条件，然后我们再以三角形全等定理边边边，从而计算出这两个三角形是全等三角形，那么角E等于角C，也就是角E等于90度，那么角C也就等于90度。这就是整一个勾股定理的历程，还有最后一部分就是。未来发展，未来发展呢。横向扩展新的内容就是勾股定理的勾股数，纵向深入也就是寻找实数的大浪漫。
