作者：正羊羊
激光，烧脑，公式多，变量多，就是现在头发开始变少......
正羊羊用的书是由陈家璧和彭润玲老师主编的《激光原理及应用》，这篇文章讲的是前两章的核心内容，希望对你的学习有点帮助。
其实前两章虽然读起来很费劲，但其核心就两个字，“增益”。我们现在可以先将激光的形成初步理解成是众多分散的弱光经过一个装置后变得集中，且光的强度增大的过程。那么，现在的问题就在于，如何使光增强并且如何通过实际的物质实现光的集中放大。
我们在读这篇文章时，脑中必须要时不时回忆上段加粗的这个问题，同时要记住下图的框架，这个是这篇文章以及课本第一第二章最核心的部分，非常重要！如果不注意这个问题和框架，那么读这篇文章就跟读课本一样了。
下面是这篇文章的框架（最重要）：
温馨提示：文章中有一部分会展示比较多的公式，如果没有耐性看，可以直接跳过，千万别死坑。
微观
激光增益最核心的方法就是受激辐射，一束光打入物质中，物质中的原子受到光能量的刺激，使得其位于高能级的粒子向低能级跃迁，同时辐射出与原来的光同样频率的光能（打入弱光，输出强光）。
在原子能级上进行的光能放大机制是比较复杂的，这篇文章将从理想化的情况逐步过渡到实际的情况。我们先来看看最理想的情况。
假定我们需要让能级E2的粒子受激辐射，跃迁到能级E1，此时有一束频率为γ0的光源射入，且在原子能级上只发生受激辐射。
这其实是一个概率的问题，因为在每个能级上的粒子都有一定的概率发生跃迁。打一个扔飞镖的比方，小明中10环的概率是10%，那么现在他手上有10个飞镖，那么在他扔10次飞镖中，有多少个飞镖能中10环？这里我们就可以估计为10x10%=1（个），也就是他大概能中1个镖到10环上。
同样的道理，假如能级上的粒子经受激辐射，跃迁到低能级上的概率为W21，现在能级上有n2个粒子，那么当某一时刻发生受激辐射时，有多少粒子跃迁到低能级上？这里我们也就可以估计为n2·W21个粒子会跃迁到低能级上。
那么，这个概率W21究竟是多少呢？通过研究，科学家们就用两个量的乘积来表征这个概率，一个名字还挺长的，叫爱因斯坦受激辐射系数(B21)，一个是外界打入物质的光的能量密度(ρ)，所以有：
从上面的论述，我们就可以推出，能级E2中发生辐射跃迁的粒子数为n2·B21·ρ，那么，在单位时间内产生的粒子数就为：
（负号表示能级E2粒子数减少）
现在，我们将上述的情况实际化。上面论述的情况是假定原子能级中受激辐射的频率为一个确定的值，但在实际情况中，这个频率不是单一的，是一段包含中心频率γ0的（γ1，γ2）频率段（即存在一定宽度的频率范围）。因为频率不同，光的入射能量密度和辐射能量密度也都不同，这样的话，能级E2上受激辐射的概率也就不仅仅是B21·ρ这样了，因为能量密度ρ有所不同，所以需要加入一个量来修正这个ρ。这就是线型函数fγ的由来。
fγ是以频率为自变量，以频率值对应的光强占总光强的百分比为因变量的线型函数（如下图）。
修正能量密度ρ的方式很简单，就是在原来受激辐射概率的基础上乘上f（γ），即W21=B21·ρ·f(γ)。单位时间内能级E2上发生受激辐射的粒子数密度为：
要注意，这里乘的线型函数，是原子受激辐射产生的光源的线型函数，不是入射光的线型函数。并且，中括号内的物理量乘积可理解为E2上发生受激辐射的概率
现在我们将情况再进一步实际化。前面所述的都是能级间的受激辐射，但在激光的实际制作中，能级间还有其他种类的辐射跃迁，主要的是自发辐射和受激吸收。其中，自发辐射也能使能级E2的粒子辐射出能量，跃迁到E1能级，但这个过程是自发的，不受外来能源激发；受激吸收与受激辐射相反，它是受到外来能源激发，吸收能量，从低能级跃迁到高能级。
和受激辐射相类似，受激吸收也受外来光源能量密度的影响，也需要线型函数来修正，其与受激辐射的表达式仅仅是下标的不同。因为受激辐射是能级E2的粒子移到能级E1，所以，其表达式的下标为W21，而受激吸收刚好相反，是能级E1的粒子移动到能级E2，所以下标为W12，表达式为：
自发辐射因为不是由外来源激发，所以其发生的概率表达式里没有能量密度ρ，但其发出的光能频率却也不是一个确定值，需要用线型函数来修正，所以其表达式为：
其中，A21是爱因斯坦自发辐射系数（可类比于B21）。
综上，当光源打入激光产生器时，原子能级上会发生自发辐射、受激辐射、受激吸收，而在单位时间内能级E1和E2中产生的光子数为
在这里提一个概念：“寿命”(τ)，它是指粒子停留在能级上的时间长短，在计算上与爱因斯坦系数成反比，即：
宏观
当外来光源打入一个物质时，这个物质的内部原子能级上会发生自发辐射、受激辐射、受激吸收。因为受激吸收时吸收能量，减少光子，而自发辐射和受激辐射可以增加光子，所以，为了最后能产生更多光子使光强增强，我们要使受激辐射和自发辐射大于受激吸收。
在激光产生器中起到让入射光能量增强的物质被称作“增益介质”。这个介质有一定的宽度，光在介质中传播，随着距离增大，光强增强。经过研究，在z轴上，光强随传播距离的增大而增大的规律满足（指数级增长）：
其中，I(0)指光在进入介质的瞬间光的强度，G为增益系数。
要了解增益系数G和光的指数级增长原理，我们需要先了解在增益介质当中，各个能级粒子数的分布是怎样的。
（注意：前方有大量物理公式出没，请做好防御，如想躲避，请直接下拉，看加粗的结果即可）
依据统计规律，由大量原子组成的系统（增益介质）在热平衡状态下，原子能数按能级分布服从玻尔兹曼分布律：
其中，ni指位于能级Ei的粒子数，k为玻尔兹曼常数（1.38x10-23J/K），gi是简并度，表示处于能级Ei上不同运动状态的电子数。
普朗克黑体辐射能量密度：
在能级辐射跃迁平衡状态，辐射量等于吸收量，故
我们可以由上式推算出一个结论：
相对于受激辐射，自发辐射对光强的增益贡献很小，所以，我们先考虑仅受激吸收和受激辐射，光在透过增益介质后净增加的光子数为
由于时间dt可以表示成dz/v（或dz/(c/μ)），于是，再依照g1·B12=g2·B21，可以将上式转化为：
而
所以
这是一个微分方程，解此微分方程，我们就可以得出：
自然地，光强随距离变化的表达式就为：
所以，光强在增益介质里传播，是按指数级规律变化的。相应的，增益系数G就为：
稳定
对于受激辐射大于受激吸收这一点，我们要保证
这个是由前面推导中n2·B21>n1·B12得来的，但我们可以从概率上去解析辐射大于吸收的问题，自然地，受激辐射的概率要大于受激吸收的概率，所以，
要使前者远大于后者，增大入射能量密度是不二之选。在前面的推论中我们知道，能量密度是随距离的增大而指数增长的，但在激光发生器里，介质的宽度是有限的，所以我们就在介质两端加上反射镜，让光在介质里来回传输，这样就能起到让光不断地以指数级增大。而这个装置，就叫光学谐振腔。为保证阅读方面，我们在后面依然用激光放大器这个名称来表示光学谐振腔。
激光放大器中介质的两端虽然加上反射镜，让光能在介质中来回传播以达到不断增大的目的，但是反射镜参数的选择却十分重要。因为镜面的反射系数r不同，光就会往不同方向反射。如果这两个反射镜配置不当，就很可能会使得光在激光放大器中因为反射角度偏离而不断损耗，起不到放大的作用。所以我们要做出稳定的放大腔，让激光在里面得以稳定地放大。
下图是一个由两块凹面镜组成的激光放大器简图
这两个凹面镜的曲率半径分别为R1和R2（R1和R2为负值时是凸面镜），两个镜面之间的距离为L（腔长）。科学家证实，这种球面腔稳定的条件为0<g1·g2<1。其中，g1=1-L/R1，g2=1-L/R2。
粒子数反转
我们前面讲到，激光的产生，主要是由受激辐射完成，但完成地前提条件是，能级E2上有足够多的粒子进行受激辐射，迁移到能级E1上。如果能级E2上没有可以发生受激辐射的粒子，那就啥也做不成。而要实现能级E2的粒子多于能级E1，我们就要实现粒子数反转。
我们知道，原子的能级越低，粒子数越多；能级越高，粒子数越少。所以，对于一个未经处理过的“增益介质”，本身并不存在“增益”的作用，我们需要先将低能级的粒子转移到高能级上去，再让高能级的粒子发生受激辐射。实现这个功能的，就是激光放大器中的三能级系统或四能级系统。
在三能级系统中，粒子会在三个能级（E1、E2、E3）中进行迁移。如下图
（三能级系统）
通过激励源，我们将下能级（E1）的粒子抽运到E3能级，因为E3上面的粒子停留时间（寿命）很短，很快就会以非辐射跃迁的方式落到上能级E2上，当下能级多于一半的粒子被抽运到E3，最后落在E2时，E2的粒子数就会多于E1的粒子数，这时就可以实现粒子数反转了。
四能级系统比三能级系统更加容易产生粒子数反转。如下图：
（四能级系统）
在这个系统中，E1能级上基本是空的，可以认为没有粒子，而粒子从能级E0中被抽运到能级E3，同样的，粒子会以非辐射跃迁的方式落到能级E2上，因为E1基本为空，所以这时候就实现粒子数反转了。
显然，四能级系统不需要将超过一半的低能级粒子抽运到高能级，比起三能级系统，这就简省了很多力气，所以，四能级系统的激励源能量比三能级的小很多，也更容易实现粒子数反转。
损耗
激光放大器的损耗主要来源于两块，一是在镜面上，一是在增益介质上。
【镜面】前面我们有提到，由于镜面反射系数r的不同，光可能就不会往正确的方向反射。其实不仅仅是反射角度，光还会在镜面透射，若透射系数为t，那么就会有t·I透射出去，光还会在镜面发生衍射等等。
【介质】由于介质本身不一定均匀，尤其是以气体作为增益介质（热运动），所以光就会在介质当中发生折射、散射，甚至让低能级的粒子吸收其光能，跃迁到上能级。这样，当光穿过介质时，会以相对速率a内减小，a内是内部损耗系数，表示光通过单位长度介质时光强的相对损耗率（可类比于G）。所以，光在介质中传播时的光强变化律为：
到这里，第一第二章的大部分内容就讲完了，剩下还有一个最难的部分——增宽。正羊羊会在下一篇中做阐述，敬请期待！
