作者：正羊羊

先上框架，在这个框架中，最值得我们思考的是1、2两部分，而第3部分是拿来验证我们的想法的。

（框架很重要）

我们先说一说课本上对增宽的定义。在上一篇中，我们有提到，辐射与吸收中的光的频率并不是一个确定值，而是存在一定范围的（γ1，γ2）（γ1<γ0<γ2）,所以我们要拿一个线型函数来修正能级上粒子数的变化概率。 但这个频率宽度究竟有多宽，我们并不知道。为了研究方便，我们定义了一个频率宽度，其包括

到

之间对应的频率段，这个频率段就叫增宽

增宽虽然定义为一个频率段，但其与增益系数、粒子数反转、寿命等等概念都有着很强的联系，我们先得弄清楚一些关键的东西，才能够把增宽这块硬骨头给啃下来。这就像是武侠小说里的主人公要打通任督二脉或领悟某些要诀才可以练就绝世神功一样。（此处向金庸老先生致敬）

增宽形成的两个阶段

我们在学激光的过程中，容易把激光的制作过程混在一起，但其实，这过程整体上分两个阶段。将这两个阶段分开，有助于我们理清里面的物理量关系。

第一个阶段（准备阶段）：形成粒子数反转；

第二个阶段（工作阶段）：对入射光增益放大。

【1】形成粒子数反转就是制作三（四）能级系统，这个时候需要激励源。注意，这个激励源与要放大的入射光是两个不一样的事物。这个激励源只是为了形成能级系统，将低能级的粒子抽运到高能级，并没有实际放大效益。我们把这个抽运的速率记为R，在课本33页中，我们可以看到R的应用，它和寿命共同表示光尚未打进介质时介质的粒子数反转分布值：

其中，R2表示从基态能级抽运粒子到E2能级的速率，R1表示从基态能级抽运粒子到E1能级的速率。

形成粒子数反转，即让上能级粒子数量大，下能级粒子数量少（最好没有），所以我们尽量让上能级粒子的寿命长，而下能级粒子寿命短。

那么我们怎样从实际情况去理解这个寿命呢？

这里，我们必须要明确我们的目的。我们是要让上能级的粒子发生受激辐射，下能级尽量没有粒子。

前面我们有说到，寿命是跟自发辐射直接相关的，与受激辐射无关，所以，当我们让上能级的粒子寿命增大时，是让上能级的粒子尽量不发生自发辐射，而是让其尽量停留在上能级上，等后期打入光束进行放大时让其发生受激辐射，进而形成激光。类似的，对于下能级的粒子，我们尽量减少它，所以，我们自然希望它发生自发辐射的概率尽量高，寿命尽量短，让其尽快跑到更低的能级去。

【2】在前面通过激励源形成粒子数反转的分布状态后，我们就可以把这个激励源撤掉，换成我们要放大的光束了。

在文章后面的讲解中，正羊羊都用“第一阶段”和“第二阶段”来表示这个过程。

五个物理量之间的关系

增宽这个概念，是从线型函数里来的，而线型函数是对于原子辐射跃迁的粒子数的修正。我们在这里可以将增宽认同为一种不稳定性。这个不稳定是指激光的制作过程远离我们的理想状况，稳定就是趋近于理想状况，一切都在我们人类的掌控当中。

在上一篇中，我们对激光的讲解是从理想情况到实际情况的，那么，就我们人类的效益来讲，自然是越贴近理想状态就越好。试想，现在一切都是理想情况，激光的整个放大过程中的频率都是原子辐射跃迁的中心频率，光的放大效果最优。这样的话，就不存在什么线型函数了，增宽自然地也就为零。

之所以要提起这个，正羊羊是想说明，对于我们人类而言，是尽量地去减小增宽，降低这种不稳定性。而在我们学习激光的时候，可以将“增宽”用“不稳定性”去理解，并且可以用极限（理想状态）的方式去思考问题。（这点很重要！）

辐射概率和寿命

自发辐射是一种不稳定的辐射，因为它是原子自发进行的，不是人为可预测并且可控的。当自发辐射的概率增大时，寿命就会降低（这里是很好理解的，因为原子在某一个能级上发生跃迁的概率越高，那么它们停留在这个能级的时间就越少）。自然地，原子越难乖乖地停留在这个能级上，其不稳定性会增加，增宽也就会增大。

也就是说，自发辐射概率越高，寿命越短，不稳定性越高，增宽越大。

增益系数和粒子数反转

下面的是增益系数G的表达式：

依据公式，我们可以认定，对于一个确定的介质，增益系数G和粒子数反转的分布值是等价的。增宽对于这两者的影响，首当其冲的应该是在尚未进行光放大时能级系统的特性。

我们前面说到，增宽表示的是一种不稳定性。对于理想的情况，频率即为中心频率。增宽为零，增益系数应该是最大的。那么，当增宽扩大后，增益效果就应该会减弱，增益系数应该要减小。这一点会在文章第三部分证实。

上面讲的是在第一阶段能级系统准备时增宽对增益系数和粒子数反转分布值的影响，那么，在第二阶段光放大中呢？呵呵，我们先从能级宽度讲起。

在书本的大部分图里面，我们可以看到，能级都是用一条条横线表示的，这让我们认为，能级的能量是一个固定的值。但其实并不是这样的。能级虽然表示着一个能量值，但在原子世界，能级本身也存在着一定的宽度，当然，这个宽度不会太大，其能量值也是在中心能量值的附近。自然地，每个能级自身的宽度也就决定了原子受激辐射跃迁时产生的光的复杂性。我们可以认为，由于能级本身宽度，在受激辐射后会产生多种频率（这些频率值会在中心频率的附近），也就产生了多种光。介质对这些光都有增益作用，只是强弱的不同。

但是，从另一个角度上说，增益介质也只对这些频率的光起增益作用，不管是增益系数还是粒子数反转分布，他们都是在这个频率范围里有所变化。这个范围与增宽和光强有关：

我们可以把这个宽度理解为是用光强修正后的增宽。那么在修正后的增宽对应的频率段里面，介质才有增益作用，粒子数反转才有效。

知道了能级自身的宽度会导致的多种频率光，那么顺便把饱和光强这块也说了。

对于“饱和光强”这个名词里的“饱和”，粗略的理解方式就是，因为增益介质只对中心频率附近的那些频率值起作用，所以其放大作用只对一定范围里的光起作用，即存在一定的限度，会“饱和”的。那么这些光强极限的总和，就是饱和光强。

如果要理解地透彻点的，我们就要回到能级系统上来了。能级系统在第二阶段是通过受激辐射来进行光放大的。要使能级上发生受激辐射，入射光的频率就必须和两能级间对应的频率相吻合，当光强逐渐增强时，上能级受激辐射概率增大，粒子数减少，两个能级之间的粒子数之差变小，粒子数反转分布值也就变小，同样，增益系数也会减小，这就是增益饱和效应。当然，这个光本身会有一定的限度，这个限度就是饱和光强。饱和光强由介质本身来决定：

从这个公式里我们也可以看到，这个饱和光强与增宽是成正比的。我们可以这么理解，增宽本身表示这个介质对光强种类的容纳能力，光的种类越多，能放大的光也就越多，饱和光强也就越大（当然，也正因为其能容纳多种光，对于我们的需求而言，就是不稳定的，因为我们只想要中心频率）。

三种增宽

首先，我们先认定，在这块知识内容里，原子的发光原理符合经典电磁理论。（即原子由一个正电中心和一个负电中心组成，两个中心的距离做来回振动，产生振幅和频率随时间变化的波列，并且在振动过程中辐射能量。这块内容还是比较好理解的，具体的请参考课本。）对于三种不同的增宽，我们认为是原本正常发光的原子由于不同的原因，使得其发出的波列发生了变化，与简谐波的走向发生了偏离。

下面我们来看看三种增宽：自然增宽、碰撞增宽、多普勒增宽

自然增宽

我们将原子分成两部分，一个带正电，一个带负电。那么当正电荷和负电荷之间的距离发生变化，做频率为γ0的来回振动时，这个原子就辐射出频率为γ0的电磁波，即：

在振动过程中，原子不断辐射能量，所以要加上一个衰减参数来修正：

之后，我们就可以通过一系列变换将其转化为线型函数，至于这里面的推导，这里就不细讲了，可以自行查书。最后得出的线型函数如下（看看就好）：

其中，增宽为：

（可见，增宽和寿命是成反比关系）

中心频率值为：

从上式就可以看出，增宽与线型函数是成反比的，所以在小信号增益系数的表达式里：

我们就可以看出，增益系数是与增宽是成反向变化的。增宽越大，不稳定性越大，增益效果降低。

碰撞增宽

碰撞增宽是指当原子在发光的过程中，有其他原子对其碰撞，可能使其发出的波列突然截断或是波列的相位发生突变，导致其偏离简谐波的程度更大。尤其是气体介质，有大量无规则运动的原子作热运动，其互相碰撞会使某个处于激发态的原子以非辐射跃迁的方式跑到其他能级上去，这就减少了激发态的平均寿命，增大了增宽。对气体原子而言，气体压强越大，碰撞次数也就越大，碰撞增宽的影响也就越大，增宽也就越大。有下式成立：

（a值实验可测）

碰撞增宽的线型函数为（看看就好）：

（与自然增宽的相同）

一般的，发光原子（尤其是气体原子）都会具有自然增宽和碰撞增宽，对于发光气体来说，碰撞增宽大于自然增宽。

多普勒增宽

多普勒增宽与前两者不同。发光原子产生的波列的振动不是受自身正负电荷距离变化以及其他原子碰撞的影响，而是受自身速度的影响。

多普勒效应：波源与接收器的相对速度不同，接收器接受的波的频率会不一样。其接受频率为：

利用麦克斯韦分布律：

我们可以将速度与粒子数联系起来，经推导，可以得出多普勒增宽的线型函数（看看就好）：

增宽为：

中心频率值为：

以上我们展现了三种增宽的线型函数，其中，自然增宽远小于碰撞增宽和多普勒增宽。在低气压时，多普勒增宽起最主要作用。

我们可以看到，多普勒增宽与另两个增宽是有所不同的，其引入了一个速度参量，让这个情况变得复杂起来。我们将多普勒增宽称为非均匀增宽，而自然增宽和碰撞增宽为均匀增宽。

对于均匀和非均匀增宽的区分，课本里用发光原子的光对频谱频率的贡献度来表示。这个描述比较抽象，我们可以拿颜料来打个比方。

假定现在有红黄蓝三种颜色各1mL，混在一起，变成黑色。在这种情况下，三种颜色的混合分量都是一样的，对最终这个黑色的“贡献度”是一样的，这就是均匀增宽。

假定现在有红黄蓝三种不同分量的颜色混在一起，变成蓝褐色，这时，三种颜色对最后的这个蓝褐色的混合分量就不一样，红色和蓝色显然就要比黄色分量多一些。在这种情况下，红黄蓝三种颜色对最终颜色的“贡献度”就不一样了。这就是非均匀增宽。

均匀增宽和非均匀增宽的线型函数是不一样的，前者是洛伦兹线型函数，后者是高斯线型函数。不管是哪一种线型函数，它们都是对受激辐射发生概率的修正。其中，多普勒线型函数的函数值和线宽在中心频率附近远大于洛伦兹线型函数。也因为两者的线型函数的不同，导致了两者的增益系数也有所不同。

均匀增宽的增益系数：

非均匀增宽的增益系数：

两相对比，我们就可以看出，两者增益系数的差别就在最后的线型函数表达式中。

对于粒子数反转分布，两者的主体形式是一样的：

课本33页有上式中△n0的推导过程，下面直接列出结果：

对于均匀增宽而言，小信号的粒子数反转分布值满足上式，但对于非均匀增宽，就要用高斯函数来对其修正了：

除此之外，粒子数反转表达式里的分母部分可以用一种更为直观的方式表示：

对于均匀增宽，其粒子数反转的分布曲线如下图所示：

对于非均匀增宽，其粒子数反转的分布曲线如下图所示：

显然，两者的趋势几乎相反，我们可以理解为：这是因为非均匀增宽的粒子数反转表达式要多乘上高斯线型函数，而高斯线型函数的值比原本的值大，线宽也远大于洛伦兹线型函数，这样一来，整体的趋势就会变成高斯线型函数了。

但在另一个方面，这两个曲线也有相似的地方，就是下凹处。这是因为当频率趋近于中心频率时，入射能量越趋近于能级之差，能级上的粒子发生受激辐射的概率增大，粒子数反转分布值减小了。而非均匀增宽中由于速度参量的影响，所以其中心频率也偏离了中心位置，下凹处也移到了曲线两端，而这个下凹现象，就是“烧孔效应”。

最后一部分啦

在原子能级的受激辐射中，增宽存在两个地方，一个是外来的激励光源（Δγ1），一个是原子自身辐射的光源（Δγ2），而这两个地方均有相应的线型函数（这点必须要明确）。两个线型函数会有重合的部分，这部分就基本上是我们需要的光源频率和强度，而这部分的频率宽度，就是我们前面所说的修正后的增宽：

[情况一] 当外来光源的增宽（Δγ1）远小于原子本身受激辐射产生的光源的增宽（Δγ2）时，对于外来光源的线型函数，在其Δγ1范围内，原子辐射产生的光源（谱线）的线型函数值基本是一个定值。对于这一点，我们可以拿极限的方式去思考。课本里的图如下：

每幅图里有两种曲线，一个在上，一个在下。取左图，将下方的曲线趋于极端的情况：

在图中A和C区域，入射光的线型函数曲线几乎为零，谱线的线型函数值再大，结果也几乎为零。只有在B区域，入射光的线型函数突然增大，谱线的线型函数值与其乘积才不为零。当区域B的频率宽度趋近于零时，谱线的线型函数值便为一个定值。

所以，当我们在算总受激辐射原子数密度时，线型函数（注意这对应的是原子受激辐射产生的光）就算是一个定值，可以被提取出来，即：

[情况二] 同理，当外来光源的增宽（Δγ1）远大于原子本身受激辐射产生的光源的增宽（Δγ2）时，情况就会反过来，外来光源的能量密度就可以被视为一定值。表达式中，提取ργ2，对线型函数f(γ1)作积分。

—END—

到这里，增宽的大部分内容就讲解完了。对于第三部分，如果难以接受的话，就看第一第二部分吧。把其中的一些关键点弄明白了，也就ok啦。