【13】函数的极限

定理13.1 $a>0,\lim_{n\rightarrow \infty}a^{\frac{1}n}=1$
证明 a) 当 $a=1$ 时，命题显然成立。
b) 当 $a>1$ 时, 取 $\epsilon$ 满足 $0<\epsilon<1$ ，令 $N=\left[\frac{a-1}\epsilon\right]+1$ ，当 $n>N$ 时， $n>\max\left(\frac{a-1}\epsilon,1\right)\\$
所以 $\tag{13.1.1}a<1+n\epsilon\le(1+\epsilon)^n$
又由 $a,\epsilon$ 的选取，得 $\tag{13.1.2}(1-\epsilon)^n<1<a$
由(13.1.1)及(13.1.2)得： $1-\epsilon<a^{\frac{1}n}<1+\epsilon$ ，所以 $\left|a^{\frac{1}n}-1\right|<\epsilon$ ，此式对任意的自然数 $n>N$ 成立，所以 $\lim_{n\rightarrow \infty}a^{\frac{1}n}=1$ 。
c) 当 $a<1$ 时，令 $b=\frac{1}a>1$ ，则 $\lim_{n\rightarrow \infty}a^{\frac{1}n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}b\right)^{\frac{1}n}\\ =\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{b^{\frac{1}n}}\right)=1$
综合a),b),c)，命题成立。
$\blacksquare$

评注13.2 在未学习指数与对数函数之前，题13.1不能使用指数(对数)不等式。

定理13.3 $\lim_{n\rightarrow \infty}n^{\frac{1}n}=1$
证明令 $a=lim_{n\rightarrow \infty}n^{\frac{1}n}$ ，显然 $a\ge 1$ ，而且
$a=\lim_{n\rightarrow \infty}n^{\frac{1}n}=\lim_{n\rightarrow \infty}(2n)^{\frac{1}{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}2^{\frac{1}{2n}}(n)^{\frac{1}{2n}}\\ =\lim_{n\rightarrow \infty}2^{\frac{1}{2n}}\lim_{n\rightarrow \infty}(n)^{\frac{1}{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}(n)^{\frac{1}{2n}}\\ =\left(\lim_{n\rightarrow \infty}n^{\frac{1}n}\right)^{1/2}=\sqrt a$
因为 $a \ge 1$ ，所以 $\lim_{n\rightarrow \infty}n^{\frac{1}n}=a=1$ 。
$\blacksquare$

题13.4 $0<x<1,n\in \mathbb N$ 证明：
(1) $n>1$ ,则 $(1-x)^n\ge 1-nx$
(2) $n>2$ ,则 $(1-x)^n\le 1-C_n^1x+C_n^2x^2$
证明 (1) 证法1： $\tag{13.4.1}(1-x)^n>1-nx \Leftrightarrow (1-x)^n-n(1-x)>1-n$
构造函数 $y=t^n-nt$ ，则 $y'=nt^{n-1}-n$ ，则 $y'|_{t=1}=0,y'|_{t\in (0,1)}<0$ ，所以 $\min_{t\in (0,1]}y=y|_{x=1}=1-n$ ，即当 $t \in (0,1)$ 时， $y>1-n$ ，这等价于 $\\(1-x)^n-n(1-x)>1-n$
根据(13.4.1)，命题得证。

(1)证法2 令 $f(t)=t^n-nt$ 。取 $0<t,t+\Delta t<1$ ,则 $\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t} =\frac{(t+\Delta t)^n-t^n-n\Delta t}{\Delta t}\\ =(t+\Delta t)^{n-1}+(t+\Delta t)^{n-2} t+(t+\Delta t)^{n-3} t^2+...+t^{n-1}-n<0$
可见 $f(t)$ 为减函数。其余部分与证法1一致。

(2) 原不等式等价于 $f(x)=(1-x)^n+nx-C_n^2x^2<1,x\in(0,1)$
对 $f$ 求导， $f'(x)=-n(1-x)^{n-1}-n(n-1)x+n$
根据(1)，有 $(1-x)^{n-1}-(n-1)x>1$ ，所以 $-n(1-x)^{n-1}-n(n-1)x<-n$ ，于是：
$\forall x\in (0,1),f'(x)<0,f'(0)=0$ ，所以 $\max_{x\in [0,1)} f(x)=f(0)=1$ 。最终 $\forall x\in (0,1),f(x)<1$ ，从而证明了原命题。
$\blacksquare$

定义13.5
a) $a<b$ ，称集合 $\{x|a<x<b\}$ 为开区间，记为 $(a,b)$ 。
b) $a\le b$ ，称集合 $\{x|a\le x\le b\}$ 为闭区间，记为 $[a,b]$ 。
c) $a<b$ ，称集合 $\{x|a< x\le b\}$ 为左开右闭区间，记为 $(a,b]$ 。
d) $a<b$ ，称集合 $\{x|a\le x< b\}$ 为左闭右开区间，记为 $[a,b)$ 。

题13.6 $n\in\mathbb N,E_n=\left(0,\frac{1}n\right)$ 。
(1) 求所有 $E_n$ 的并 $\cup_{n=1}^{\infty} E_n$ 。
(2)证明： $\cap_{n=1}^{\infty}{E_n}=\emptyset$
(1) 解很明显， $E_{n+1}\subset E_n,n=1,2,...$ ，所以 $\cup_{n=1}^{\infty} E_n=E_1=(0,1)$ 。
(2) 假设 $E=\cap_{n=1}^{\infty}{E_n}\ne \emptyset$ ，不妨设 $a\in E$ ，则对于任意的 $E_n$ ，若 $a\in E_n$ ，有 $a>0$ 。
取正整数 $N>\left[\frac{1}a\right]$ ，则 $a>\frac{1}N$ ，并得 $E_N=\left(0,\frac{1}N\right)$ 。这说明 $a\notin E_N$ ，矛盾。所以假设不成立，命题成立。
$\blacksquare$

定义13.7 包含实数 $a$ 的开区间，称作 $a$ 的邻域，如果 $I_a$ 是 $a$ 的邻域，集合 $I_a-\{a\}$ 称作 $a$ 的去心邻域。

题13.8
(1) $I=(\sqrt3-\sqrt2,\sqrt2-1)$ ，证明： $I$ 是 $\frac{2}{5}$ 的邻域。并用区间的形式写出其去心邻域。
(2) $a$ 是开区间 $I$ 里的元素，证明：存在 $a$ 的邻域 $I_a\subset I$ 且 $I_a\ne I$
证明 (1)略。
(2) 设 $I=(b,c)$ ，根据条件，有 $b<a<c$ ，取 $b_1=\frac{b+a}2,c_1=\frac{a+c}2$ ，则 $b<b_1<a<c_1<c$ ，令 $I_a=(b_1,c_1)$ ，那么 $I_a$ 满足条件，证明完毕。
$\blacksquare$

题13.9 设 $a\in \mathbb R,n\in \mathbb N,I_n=\left(-\frac{1}{2^n},a+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right),I=\cap_{n=1}^\infty{I_n}$ ，
(1) $I\ne \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围。
(2) 证明：当 $I\ne \emptyset$ 时， $I$ 是闭区间。
(1) 解 $I\ne \emptyset$ 等价于：对于任意的自然数 $n$ ， $-\frac{1}{2^n}<a+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ ，即 $\\ \forall n\in \mathbb N_+,-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}<a$
当 $n>0$ 时， $-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}<0$ ，而 $\lim_{n\rightarrow \infty}{\left(-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}\right)}=0$ ，所以
$a$ 的最小值为0。经验证，当 $a\ge0$ 时， $I\ne \emptyset$ 。所以 $a$ 的取值范围是 $a\ge 0$ 。

(2) 证明：只需证明 $I=[0,a]$ ，过程如下：
设 $x\in I$ ，那么 $\forall n\in \mathbb N,x\in I_n$ ，即 $-\frac{1}{2^n}<x<a+\frac{1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}$
上式说明： $0=\lim_{n\rightarrow \infty}{\left(-\frac{1}{2^n}\right)}\le x\le \lim_{n \rightarrow \infty}{\left(a+\frac{1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}\right)}=a$ 。
即 $x\in [0,a]$ ，所以： $\tag{13.9.1}I\subset [0,a]$
取 $x\in [0,a]$ ，则 $\forall n \in\mathbb N, x\in I_n$ ，于是得 $\tag{13.9.2}x\in I$
$(13.9.1)(13.9.2)\Rightarrow I=[0,a]$ ，所以 $I$ 是闭区间。
$\blacksquare$

定义13.10 (1) $A\in \mathbb R$ , $E\subset \mathbb R$ ,函数 $f:E\rightarrow \mathbb R$ 在 $a$ 的一个去心邻域有定义，如果对于任意正数 $\epsilon$ ，存在一个正数 $\delta$ ，当 $|x-a|<\delta$ 时， $|f(x)-A|<\epsilon$ ，则称 $A$ 为 $f$ 在 $x$ 趋近 $a$ 时的极限，记为： $x\rightarrow a,f(x)\rightarrow A\\$
或 $\lim_{n\rightarrow a}{f(x)}=A\\$

(2) $A\in \mathbb R$ , $E\subset \mathbb R$ ,函数 $f:E\rightarrow \mathbb R$ 在某个以 $a$ 为下确界的开区间内有定义，如果对于任意正数 $\epsilon$ ，存在一个正数 $\delta$ ，当 $0\le x-a<\delta$ 时， $|f(x)-A|<\epsilon$ ，则称 $A$ 为 $f$ 当 $x$ 由右趋近 $a$ 的极限，简称右极限，记为： $x\rightarrow a^+,f(x)\rightarrow A\\$
或 $\lim_{n\rightarrow a^+}{f(x)}=A\\$

(3) $A\in \mathbb R$ , $E\subset \mathbb R$ ,函数 $f:E\rightarrow \mathbb R$ 在某个以 $a$ 为上确界的开区间内有定义，如果对于任意正数 $\epsilon$ ，存在一个正数 $\delta$ ，当 $-\delta<x-a\le0$ 时， $|f(x)-A|<\epsilon$ ，则称 $A$ 为 $f$ 当 $x$ 由左趋近 $a$ 的极限，简称左极限，记为： $x\rightarrow a^-,f(x)\rightarrow A\\$
或 $\lim_{n\rightarrow a^-}{f(x)}=A\\$

为了叙述的方便，一般用定语“在 $a$ 处”，比如 $\lim_{n\rightarrow a^-}{f(x)}$ 读作" $f(x)$ 在 $a$ 处的左极限"，等等。

(4) $A\in \mathbb R,\alpha \in \mathbb R$ ，函数 $f(x)$ 在区间 $(\alpha,\infty)$ 有定义，如果对于任意正数 $\epsilon$ ，存在一个正数 $\delta$ ，当 $x>\delta$ 时， $|f(x)-A|<\epsilon$ ，则称 $A$ 为 $f$ 当 $x$ 趋近 $\infty$ 的极限，记为： $x\rightarrow \infty,f(x)\rightarrow A\\$
或 $\lim_{n\rightarrow \infty}{f(x)}=A\\$

(5) $A\in \mathbb R,\alpha \in \mathbb R$ ，函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,\alpha)$ 有定义，如果对于任意正数 $\epsilon$ ，存在一个正数 $\delta$ ，当 $x<-\delta$ 时， $|f(x)-A|<\epsilon$ ，则称 $A$ 为 $f$ 当 $x$ 趋近 $-\infty$ 的极限，记为： $x\rightarrow -\infty,f(x)\rightarrow A\\$
或 $\lim_{n\rightarrow -\infty}{f(x)}=A\\$

定理13.11 $f(x)$ 在 $a$ 处有极限当且仅当 $f(x)$ 在 $a$ 处的左右极限存在且相等。
证明 1)先证明必要性：
设 $\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=A$ ，取 $\epsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，当 $|x-a|<\delta$ 时，成立： $|f(x)-A|<\epsilon$ 。
由此得，当： $-\delta<x-a<0$ 或 $0<x-a<\delta$ 任何一个成立时，都有： $|f(x)-A|<\epsilon$ 。
所以 $\lim_{x\rightarrow a^{+}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow a^{-}}{f(x)}=A$
2)再证明充分性：
设 $\lim_{x\rightarrow a^{+}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow a^{-}}{f(x)}=A$ ，取 $\epsilon>0$ ，则必有 $\delta_1,\delta_2>0$ ， $-\delta_1<x-a<0\rightarrow|f(x)-A|<\epsilon\\ 0<x-a<\delta_2\rightarrow|f(x)-A|<\epsilon$
取 $\delta=\min{(\delta_1,\delta_2)}$ ，得 $|x-a|<\delta\rightarrow |f(x)-A|<\epsilon$ ，所以 $\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=A$ 。

推论 $\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=A$ 当且仅当 $\lim_{x\rightarrow a^{+}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow a^{-}}{f(x)}=A$
$\blacksquare$

定理13.12 $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=A,\lim_{x\rightarrow a} g(x)=B$ ，那么：
(1) $\lim_{x\rightarrow a} [f(x)\pm g(x)]=A\pm B$
(2) $\lim_{x\rightarrow a} [f(x) g(x)]=AB$
(3) $\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x) }{g(x)}=\frac{A} B$
(这个证明可以参照数列极限的运算)

题13.14 求极限：
(1) $\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{2-2x^2}{x-1}}$
(2) $\lim_{x\rightarrow 0^+}{\left(\sqrt{\frac{1}x+1}-\sqrt{\frac{1}x-1}\right)}$
(3) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x} x$
(4) $\lim_{x\rightarrow \infty}2^\frac{1}{x}$
(5) $\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}x\right)^x$
解 (1) $\lim_{x\rightarrow 1}{\frac{2-2x^2}{x-1}} = 2\lim_{x\rightarrow 1}(x+1)=4$

(2) $\lim_{x\rightarrow 0^+}{\left(\sqrt{\frac{1}x+1}-\sqrt{\frac{1}x-1}\right)} =\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}x+1}+\sqrt{\frac{1}x-1}}}=0$

(3) $x$ 取弧度且是锐角，那么 $\sin x<x<\tan x$ ，除以 $\sin x$ 得： $1 < \frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$ ，取极限：
$\\1\le \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x}{\sin x}}\le \lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{\cos x}}=1$
由夹逼原理得 $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x}{\sin x}}=1$ 。
(4) 对每个 $x\ge 1$ ，取自然数 $n$ 满足 $n\le x\le n+1$ ，那么 $\frac{1}{n+1}\le\frac{1}x\le\frac{1}n$ ，所以 $2^{\frac{1}{n+1}} \le 2^{\frac{1}{x}} \le 2^{\frac{1}{n}}$ ，所以：
$\\1=\lim_{n\rightarrow \infty}2^{\frac{1}{n+1}} \le \lim_{x\rightarrow \infty}2^{\frac{1}{x}} \le \lim_{n\rightarrow \infty} 2^{\frac{1}{n}}=1$
所以 $\lim_{x\rightarrow \infty}2^{\frac{1}{x}}=1$ 。
(5) 令 $n=[x](取整),t=x/[x]$ ，那么
$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}x\right)^x=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{nt}\right)^{nt}=\left[\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{nt}\right)^{n}\right]^t=\left[e^{1/t}\right]^t=e$
$\blacksquare$

定理13.15 $\alpha> 0 ,\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x^\alpha}=0$
定理13.16 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x} x =1$
证明见3.14-(3)

定理3.17 $f(x)=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+...$ 的定义域为 $\mathbb R$ 。
证明本命题等价于：幂级数 $\tag{3.17.1}\sum_{n=0}^\infty{\frac{x^n}{n!}}$
对于任意的 $x\in \mathbb R$ 收敛。

a) 当 $x\ge 0$ 时，总有一个整数 $N> x$ ，于是可以利用以下缩放： $\\ \sum_{n=0}^\infty{\frac{x^n}{n!}}<\sum_{n=0}^N{\frac{x^n}{n!}}+\frac{x^N}{N!}\sum_{n=N+1}^\infty{\frac{x^{n-N}}{(N+1)^{n-N}}}\\ =\sum_{n=0}^N{\frac{x^n}{n!}}+\frac{x^N}{N!}\frac{1}{1-\frac{x}{N+1}}$
可见， $x\ge 0$ 级数(3.17.1)上有界且递增，所以级数(3.17.1)收敛。

b) 当 $x<0$ 时，根据a)的结论，(3.17.1)绝对收敛，所以其本身也收敛。

综a),b)所述，对于任意的 $x\in \mathbb R$ ，(3.17.1)收敛，所以 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$ 。
$\blacksquare$

定义13.18 对于任意的 $x\in\mathbb R$ ，定义函数 $e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+...\\$
为以 $e$ 为底的指数函数，因为自变量为实数，所以此函数为实变量指数函数。

定理3.19 $\forall x\in \mathbb R,e^x>0$
证明根据定义13.18，容易验证如下：
a) 当 $x\ge 0$ 时， $e^x>0$
b) $\forall x,y, f(x+y)=f(x)f(y)$

根据a)，当 $x<0$ 时，有 $e^{-x}>0$ ，再利用b)：
c) $e^x=\frac{1}{e^{-x}}>0$

a),c) $\Rightarrow \forall x\in \mathbb R,e^x>0$

$\blacksquare$

定义3.20 (1) $E\subset \mathbb R$ ，实值函数 $f(x)$ 在E上有定义，若对于任意的 $x_1,x_2\in E$ ， $x_1<x_2\rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ ，称 $f(x)$ 在E中是单调递增函数，简称 $f$ 是E上的增函数。
(2) $E\subset \mathbb R$ ，实值函数 $f(x)$ 在E上有定义，若对于任意的 $x_1,x_2\in E$ ， $x_1<x_2\rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ ，称 $f(x)$ 在E中是单调递减函数，简称 $f$ 是E上的减函数。

定理3.21 (1)函数 $f(x)$ 在 $E$ 上递增，当且仅当 $\forall x,y\in E,x\ne y\left( \frac{f(y)-f(x)}{y-x}>0\right)\\$ 。
(2)函数 $f(x)$ 在 $E$ 上递减，当且仅当 $\forall x,y\in E,x\ne y\left( \frac{f(y)-f(x)}{y-x}<0\right)\\$ 。

定理3.22 函数 $e^x$ 在 $\mathbb R$ 上是增函数。
证法1 注意到 $x>0$ 时， $e^x=\sum_{n=0}^\infty{\frac{x^n}{n!}}>1+x>1$ ，所以对于任意的 $x\in \mathbb R,\Delta x>0$ ，有 $\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}=\frac{e^x(e^{\Delta x}-1)}{\Delta x}>0$
故而 $e^x$ 在 $\mathbb R$ 上递增。

证法2 求导 $(e^x)'=e^x>0$ ，即 $e^x$ 的导函数在 $\mathbb R$ 上大于零，所以 $e^x$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增。
$\blacksquare$

定理3.23 $\lim_{x\rightarrow -\infty}{e^x}=0$
证明当 $x>0$ 是， $e^x>1+x$ 。所以当 $x<0$ 时， $0<e^x=1/e^{-x}<\frac{1}{1-x}$ ，取极限得： $\\0\le\lim_{x\rightarrow -\infty}{e^x}\le\lim_{-x\rightarrow \infty}{1/(1-x)}=0$
利用夹逼定理： $\lim_{x\rightarrow -\infty}{e^x}=0$
$\blacksquare$

最后编辑于：2022.09.08 10:37:29

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【13】函数的极限

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