二分悖论
兔子和乌龟又碰面了。
自上次龟兔赛跑兔子落败之后，兔子已经一年多不愿意见这只贱贱的乌龟了。在这一年多里，兔子为了治疗自己这块心病，求访了无数心理咨询师，没有一个人能给出有效的治疗方案。好在心理咨询师做不到的，心灵鸡汤做到了：“从哪里跌倒就在哪里爬起来。”兔子决定再与乌龟比一场。上次，乌龟骗他喝了掺了安眠药的矿泉水，这次，他自己带了水去。
“不用跑了，你是永远跑不到终点的。”乌龟得知了兔子来找他的意图，告诉他。
兔子不服气：“为什么？我看你是不敢跟我跑吧！”
“假如你要从起点跑到终点，你得先跑到中间二分之一的地方吧”，乌龟摇了摇头，“你跑完了这二分之一，还得跑到中点和终点的二分之一处去，你到了下个点，还得继续到剩下路程的二分之一处去。你看，你永远只能到达中点，到不了终点的。”
兔子挠挠头。
“事实上，你连中点都到不了，因为到中点前还有中点的中点，还有中点的中点的中点，还可以这样无限地分下去，”乌龟用怜悯的眼神看着兔子，“事实上，你哪儿都去不了。”
看着乌龟扬长而去的背影，兔子想追上去却迈不开脚步，他大声喊道：“乌龟兄，我想不起你的名字了。”
乌龟嘿嘿一笑：“我叫芝诺。”
在这个我胡编乱造的故事中，乌龟的观点是古希腊的一位哲学家芝诺提出的，叫二分悖论。这位有意思的哲学家还提出过另一个类似的追及悖论，有兴趣的话可以上网去搜索一下。
用现代的理论，这个悖论其实很容易解决。虽然数字可以无限地被二分下去，但是在空间中的长度是无法被无限地分割的，到了某个量级上的长度就没有中点了。
我们都知道西瓜是不能被分成无限多块的，就算你的刀工再好，当西瓜跟刀刃一样厚的时候就无法再被切开了。在量子物理里，这把刀刃的厚度就是“普朗克长度”，是有意义的最小可测长度。
从这方面发散开来想，时间也是无法被无限分割的，同样有一个最小的“普朗克时间”。
你看，这个悖论多奇妙，如果无法解决它，兔子可能要站在那里一辈子了。
如果这个故事能激发你对悖论的兴趣，我可以给你介绍一个更有意思的悖论，我们要通过一本书才能理解它。
自指悖论
从语言出发
下面这句话是真的。
上面这句话是假的。
这两句话如果单独放在哪里都不奇怪，怪就怪在它们一上一下放在了一起，构成了一个怪圈，这个怪圈就是自指。
如果说两句话构成的怪圈还有点冗长的话，从中简单修改一下就诞生了一句话的自指悖论。
我这句话是假的。
埃舍尔的画作表现了自指悖论：
巴赫的音乐也可以表现这个怪圈：
Musikaliches Opfer(《音乐的奉献》)是巴赫的一部经典名作，其中最神奇的一首卡农（Canon circularis per tonos）连续变调、上升整整六次后，又恢复C小调，在高八度位置恰如其分地终止，暗示它的无穷性质——然后巴赫在乐谱的边空上写下“转调升高，国王的荣耀也升高”。
回到数学上：
哥德尔在《数学原理》中根据这个悖论，提出了著名的哥德尔不完全性定理。
任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
这个定理的原文翻译很晦涩难懂，大概意思就是《数学原理》中的那些理论无法证明自己本身。
哥德尔不完全性定理对人类社会产生了深远的影响，以至于美国《时代》杂志评选出的20世纪100个最伟大的人物，在数学家中，排在第一的就是哥德尔。
在《哥德尔、埃舍尔、巴赫——集异璧之大成》中，作者侯士达从巴赫的音乐、埃舍尔的画作到人工智能，介绍了不完全性定理在各个领域的影响。
如果你有兴趣读原著，我建议你读电子版的，因为商务出版社把这本书印成了一部字典。
如果你没有时间，我会尽我所能，通过我非常肤浅的解读，能让你能对这本书中伟大的理论有一次管中窥豹的机会。
