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晴天霹雳
1930年寒冬，德意志第二帝国，数理大宫殿内。
闪烁着的小瓦数灯泡在桌角处飘忽，数理大帝一世：大卫·希尔伯特 身披着纯白色的天鹅绒披风，正坐在大殿正中。如果你用米尺去丈量椅子的四边中点到大殿四边的距离的话，你就会发现对边距离是完全相等的。作为数学帝国的始皇帝，也作为一名超一流的数学家和逻辑学家，他对一个立体空间的正中央有着旁人难以理解的偏执。
不偏执的人，就没有参与设计和搭建完美数学大厦的资格。希尔伯特一世总是这样和人说道，他从未将怀疑的眼光投向过他的数学信仰。
在那宽大到可以并排躺下四个人的桌上，寥寥无几地放着一把折叠尺，两只钢笔，一小打草稿纸，一盏电灯，几根捆在一起的蜡烛，还有整整二十三颗大小不一的黑色正方体木块，小如指头一般，大到头颅大小，从1到23从左到右标号整齐码放在他的面前，高低变幻像是一首具象化了的史诗音阶。
这二十三颗木块代表了他在1900年为新世纪提出的23个最重要最困难的数学问题，每一个问题都需要最天才的人在最为灵光闪现的时间用至少数年光景才能解开缠绕，而每一个问题的未解决状态都让他如鲠在喉。他的智力为他带来了想要解决这些问题的强烈愿望，也为他带来了拥有足够的耐心。他除了喜好巴赫的音乐，年轻的艾舍尔的画作以外，就唯独喜欢独自一人在这二十三个问题面前思考。已然年近六十的他认为自己在这个世界上的使命还远远没有完成。
他扶正了唯一一颗被摆歪了的木块，然后从右向左一个一个扫视过去，每个木块无论大小目光都停留一样的时间，绝不有任何偏向，然而到了最大的那个木块的时候，他的目光却停了下来。那是从左数第二个。在一个大大的白色的「2」的背面，写着那个问题的简要内容：
证明算术公理系统的无矛盾性。
他摩挲着这块和他头颅近乎同等大小的正方体，目光渐渐变得温柔，连眼角的皱纹都化了开。作为一名数学家，他深知这个证明的重要意义，只要证明了算术公理系统的无矛盾性，迈出这关键的第一步，那么就可以慢慢扩展开所能包容的领域，最后证明我们的世界本身规律的无矛盾性，并可能预言这个世界囊括一切的大一统理论的存在。
毕竟，世界的本质就是数学。
真是完美无缺。
他拒绝将任何未被逻辑严谨证明的任何臆想出来的观点当做真理，哪怕是他自己所深信不疑的也一样，所以他期待着有人来给出那关键的证明，这将是为数学大厦铺地基的一块极其有力的方砖。如果没有它？噢，希尔伯特想，我们还是不要做出如此可怕而又没有根据的假设了吧。最近在物理学中就出现了些稀奇古怪让人难以理解的玩意儿，让那些头疼的事情只去折磨可怜的理论物理学家们吧。
就在他提起笔想要在木块空白处加注释的时候，大门打开了，他的学徒走了进来，平日里温文尔雅的小伙子，这次目光却躲躲闪闪的。希尔伯特很不满地丢下了笔。
「希……希尔伯特陛下，很抱歉在您冥想的时刻打扰您，但是确实有一件事情需要您立刻知晓。我们刚刚收到了一封来自于哥德尔的一封信件……」
「哥什么？」希尔伯特不耐烦地打岔。
「是哥德尔，大人。库尔特·哥德尔。」
「完全没听说过。这次又是什么人？又是哪个妄想成名前来投机取巧的小商人？还是上次那种自以为可以用东方的模糊观点驳倒严谨的科学理论的痴人？」哥德尔的手指敲打着木块，像是在钢琴上演奏一首单调乏味的单音乐曲。
「都不是，我的陛下。这次……这次这个人，是因为您的23个数学问题而来信的。」
希尔伯特立刻坐直了身子。
「嗯？有趣，是带来了解决问题了新思路新观点了吗？我已经等了很久这类来信了。那些别人想到而我却疏漏掉的观点总是像饭后甜蜜的点心一样让我激动，快来快来，把那封信拿来，我已经能感觉到思维的火花像跳跃的小鹿一样互相碰撞了。噢，该死，这根笔又没水了，不过还好，我还有一根……」希尔伯特拿起了另外一支笔，铺开了草稿纸，摆开了架势。只有在这个时候，才能看到不苟言笑的他的眼中闪现出跃跃欲试的年轻光芒。
「呃……很抱歉，陛下，不过这次的来信有些……有些……有些不一样。」
「嗯？不一样？」希尔伯特大帝诧异地抬起了头。「那……难道在那23个问题中有哪个问题被这个好运的哥德尔单独解决掉了？」
「也不是的……陛下。我已经读过了那封信，哥德尔……他……他证明了您在第二问题中的设想……是……是……是错的。」
「咔」的一声，钢笔断裂的清脆声音在空旷的大殿中回响。这回响和它在各个领域的变奏穿透了整整一百年的岁月，使哥德尔当之无愧地成为20世纪最伟大的数理逻辑学家，得以与数学界无冕之王希尔伯特相提并论。
集异璧
——不想当画家的音乐家不是好数理逻辑学家。
「哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成」这本书的写作目的是介绍人智能的来源，还有人工智能的发展和限制，而这其中最核心的概念就是著名的哥德尔第一不完备性定理。三块大放异彩的宝璧之中，哥德尔处在最重要的主干位置。在进行循序渐进的讲解之前，我们先把这个定理丢出来，让大家知道我们在朝什么方向去走：
哥德尔第一不完备性定理：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。
嗯，这句话里好像所有字都在小学就认识过了，但是放在一起就是不明白是啥意思。没关系，我会一个一个搭砌出需要初步理解哥德尔定理的知识，各位看官且竖起耳朵待我慢慢讲来。
一、同构和层次
同构
理解本书需要的最基础的一个单元，就是同构。同构的含义是保留信息的变换，也就是说，两个结构可以相互映射，并且每个结构的每个部分都在另一个结构中有且只有一个相应的部分。说得再明白一些，就是广义的「翻译」。
一段中文的话翻译成其他语言，翻译前后的内容是同构的，因为可以再翻译回中文，代表着前后内涵和功能的一致。比如「不要」和「雅蠛蝶」，（╯‵□′）╯︵┴─┴和生气中的老婆。
我们的声带和声波的震动之间是同构的，因为信息并没有在这个过程中流失，而只是变成了另外一种一一对应可以恢复的形式。同样，声波的震荡和听众的鼓膜震动也同样是同构的，而鼓膜震动和大脑处理解析声音以后得到的观感感受，也就是听众听到的「声音」，也是同构的。
我们可以理解为，信息在通过声音传递的过程中，被「声带震动」这一过程加密成为了另外一种格式，得以在空气中传播出去，在接收端这一格式被「鼓膜震动」还原成了能被大脑处理理解的原信息。在大脑和大脑之间，通过一系列的同构，信息得到了传递。
再广而言之，一个现实世界中的苹果，和我们语言中的「苹果」二字，在我们而言也是同构的，我们可以使用「苹果」二字来代替苹果而不引发任何的歧义，并且任何人也都可以明白「苹果」的所指。当然这仅限于拥有同等理解力和相同语言能力的人脑之间。
我们再来看看什么不是同构的，除了很明显的那些之外（桌子和猫显然不同构，程序员和男朋友显然不同构，建筑师和度假显然不同构），当原来的信息没有被完整保留的时候，很明显就不再是同构的了。从一个角度来看，一个被带刺钢鞭抽过一百下的屁股，很明显不再保留原来屁股的任何信息（当然屁股的主人可能也不再是同构的了，毕竟尸体和人绝对不同构……）。
计算机科学中，加密解密是保留了原有信息的，我们经常做的文件压缩和解压缩过程，前后的数据也是同构的。但是Hash Functions（一种单向的信息处理方式，不可逆），却是完全不保留原有信息的（事实上是需要故意让人不可能看不出原来信息），所以不是同构的。
解释
「不不，亲爱的，你一定要听我解释。」一位衣冠不整的男子站在门前拦住了正要夺门而出的一位女士，女士冷眼抱胸。
「很好，我给你机会解释。解释不清楚的话，我们之间就完了。」女士一挑下巴，声音冷得像是万古寒冰。
「是这样的。你先坐下来听我说。」男子手忙脚乱地把女士重新领回门里坐下。「你以为的其实不是真实发生的，你不要以为你以为的就是你以为的……」
女子站了起来。
「好，好，亲爱的，先坐下。我就简单地说吧，你在我们的床上发现了两条女士内裤，而其中的一条不是你的……」
女子毫无先兆地挥出一巴掌，被男子一手抓住。
「不要生气，让我说完，其实床上其实没有两条内裤。」
「什么？」
「你认为床上有两条内裤，是基于床上有一条内裤，又有一条内裤的事实，但是这并不代表者床上有两条内裤。」
「你到底想说些什么？有话快说，再有一句废话从你嘴里出来，我立刻就走。」
「你认为1+1=2。这不一定是对的。因为在我们的房间里，1+1等于1。」
「什么？呵，那你倒是说说，1+1什么情况下等于1？」
「当然是在我们相爱的时候。」男子用自己强有力的臂膀抱住了女子，不给她说话的机会。「我们两个人，组成了一个家庭，我的1和你的1完美地融合成了1个1。在我们的房间里，数学大厦也要为我们的爱情倾覆，又何况是一条我给你新买的内裤？」男子说完最后一个字，轻轻咬了女子的左耳。
女子挣扎片刻，大骂几句，然后痛哭出声。
我们刚才说，两个结构之间转换的信息保留，所以说它们同构，其实是不很确切的，或者说是不很清晰的，一个真实的西瓜和纸上的「西瓜」两个字之间并不存在直接的同构。一个是以水分为主的近似球形，一个是以纤维素为主的纸张上的扁平图案，二者本来没有什么关系。存在直接对应关系的，是真实的西瓜和「西瓜」这两个字的解释，即在现实存在的真理和经过解释的符号（书中称为系统定理）之间。
1+1到底等于几，或者等于什么，是要看如何去解释1+1的含义。如果按照是纯粹数学的解释的话，那么1代表单个个体，+代表将连个以上的数合成一个数，1+1=2则映射着现实世界中的一件东西加上另一件东西是两个东西，这可以通过最简单最直观的实验直接验证。
那位男士通过对1+1提供另外一种解释（实验危险切勿模仿，老婆殴打后果自负），从而将其从纯粹数学的角度看待问题，换到了另外一个人们不经常想到的角度，仍然能够自圆其说地映射到某一部分现实之中。1+1也可以解释成把两个1「粘」在一起，也就变成了11。1+1=5有可能也是正确的，只要我们把=理解成为我们平时使用的小于等于号。1+6可能也不等于7，而等于下面这位驴脸人的手势：
通过同构和对同构固定的解释，我们就可以创造出一个能够与现实世界的很具体的一部分产生映射的同构，并且通过使用这些发明出来的符号之间的推导，来推断现实世界未知的一些因素。基础算术就是一个很好的相对简单的例子，而在书中使用的更复杂的真正实现，是一种叫做TNT的数论系统。这个系统可以根据它本身的规则去有效地从已知公理和推导规则，去推理出系统内新的定理来。
TNT不是炸药，也不是麻花藤手下的一个无聊的网页游戏，而是Typographical Number Theory（印符数论）的缩写。TNT是作者根据皮诺亚的五条自然数公设和命题逻辑和演算，专门为了讲解哥德尔定理而制定出来的。书中给出的哥德尔定理的推理过程是在TNT数论之中的，也就是根据TNT的符号规则来推导出来的。我们这里对这个相对严谨复杂的系统不加着墨，而只集中于背后潜伏着的道理。但是为了给大家有个概念TNT长什么样子，下面给出一个很简单的TNT定理，表达的含义是「对于所有的a，不存在一个b使得a+(b+1) = a-(b+1)，即一个数加减一个非0自然数后结果不相等」。
∀a:~∃b:(a + Sb) = (a - Sb)
有TNT这样一个强有力的数论系统当做工具，我们已经可以做到将会用到的有关数的陈述表达出来，并且表达出数字间的推理变化。再因为TNT的本质之一就是可以通过有限的步骤判定出其公理和定理的真实性，所以，哥德尔第一不完备性定理的条件，上面提到的：「包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统」已经构造出来了。但是想要观察到不完备性，我们还需要从另外一个层次来看待问题。
层次与「涌现」现象
噢，你穿梭在忽闪忽现的不断颤抖着的小颗粒之间，在某一时刻，你伸展着自己的感知范围，感觉自己可以延伸到无穷无尽，在另外一个时刻，你却又能收紧肢触，享受着光子在自己身上的反弹跳跃，感觉到自己的真实性状。你和无可计数的一模一样的同伴们漫无目的地晃荡在世间，存在唯一的意义就是「存在」本身。
你渐渐地发现，你和你的所有同伴们的活动范围都是有限的，像是被关在了一个无形的监牢之内，像是矩阵一样，每个存在都有各自的固定的区域，尽管互相倾慕或厌恶，却也仍旧不能接近或离开。你们好像生来就是守望者，如同漫天晨星一般有着某种必然的使命和目的，无论开心或悲伤，都不能挣脱开这个命运。
镜头再次拉远，你和你所在的群体已经渐渐消失不见，浮现出来的，是一整块无边无际的墙体，而你只不过是这面墙的一个微不足道的组成砖上的颗粒而已——多你不多，少你不少。真是难以想象，究竟是什么样的存在，亦或是经过了什么样的变化，才能够雕刻出线条如此完美的巨大墙壁来。自己像是一只蚂蚁站在巴别塔之前，看久了，整颗心都会颤抖起来。
再往远处，就能发现原来墙体也并不是没有边界的，墙体的四边终于慢慢浮现了出来，就好像是大地的尽头一样突然折下，在东方的方向不断地有着强光在闪烁，那是世界的不眠之光，象征着正在进行着的伟大任务。整个大地好像在散发着一种充满能量的朦胧光线，那光是如此地让人感到温暖，安逸和祥和。
再往后退，你发现大地也不仅仅是一块，而是很多块很整齐地并排码放在了一起，除了原本那块大地的朦胧能量之光外，还有另外两种不同的光芒，一种是清澈自由之光，一种是活力希望之光。这三种光芒的大陆不断地交替，像是代表着形成世界的三条最根本规则一样交相辉映，创造出各种各样的新的光线来。偶尔也有一两个大陆并不在发光，你认为那些大陆可能是被上帝所遗弃了吧。
再往后，承载着这上百万个大地的盛器也出现了它的四方边界，那变化像是从二维世界而来到了三维，和原来的变化形式截然不同。你开始怀疑，这样的俄罗斯套娃似的发现究竟有没有尽头，可能总能向外「跳出系统」，唯一不变的不过是一直「超越和包容」的这个势。
读者们，到这里，就是你们面前所见的了。
我们经常可能在街道上见到一个小型的龙卷，卷着柳絮或者叶子肆意横行。我们如何能够知道这是不是更大 的一个天气现象的一部分呢？比如地区雷雨。我们如何能够知道这雷雨是不是更大的一个天气现象的一部分呢？比如一个影响十数个国家数千公里沿海线的热带风暴。我们如何能够知道这热带风暴是不是更大的一个天气现象的一个部分呢？比如全球气候变暖。我们如何能够知道全球气候变暖是不是更大的一个天气现象的一个部分呢？比如可能是下一个百万年年冰期爆发前的蓄力。
从一个不同的层次来看待同样的问题，很有可能从不同的角度得出全新的结果，这就是层次的威力。
天下熙熙，皆为利来；天下攘攘，皆为利往。一个人在这个世界上有很强的自私性的行为，而无数个人的无数行为组成了和个人趋向完全和个体无关的历史兴替走向。单独的蚂蚁或者蜜蜂不过是一只小虫，而一旦它们集中群居起来，就能表现出让人瞠目结舌的某种类似智能的行为来。一个个单独的神经元并没有体现出任何智能的迹象，它们简单地依照规则做着加法，输入超过阈值就激活；但是上百亿个神经元之间的互联，却在高层次上（书中的「符号」层次上）体现出了超出现在科学分析能力的伟大创造力、理解力和想象力。
这就是高层次相对于低层次的「涌现现象」。
三体有一个著名的同人短片叫做Waterdrop，完美地通过超长镜头体现了层次的近乎无穷的含义，还没有去看过的三体迷们可以去看看。
有了TNT，并且了解了层次的概念，我们就来在TNT系统中制造哥德尔第一不完备性定理的后半段：存在一个命题，它在TNT（或任何足够强力的）系统中既不能被证明也不能被否定。
二、递归和自指
为了制造出这种「不能证明不能否定」的哥德尔式的悖论来，我们还需要几个简单但有趣的新概念。
递归从狭义上来讲，指的是计算机科学中（也就是像各位程序猿都熟悉的那样），指的是一个模块的程序在其内部调用自身的技巧。如果我们把这个效果视觉化，即图片的一部分包涵了图片本身，就成为了德罗斯特效应。比如下图这个正在来大姨妈的男人：
再比如我们很多人都看到过的那个「先有书还是先有封面」的诡谲逻辑缠绕：
上面两张图都必然要借用到电脑软件来生成修改，但是如果我们手头有两面镜子的话，经过我自己证实，就可以自己玩出一个很简单的德罗斯特效应，不过稍微和上面两幅图中有些不同，感兴趣的可以试一试，看看到底有什么不同之处。
作者同样在书中写出了一个文字版的递归，为懒人和拖延症患者找出了一个完美的理论借口：
侯世达定律：做事所花费的时间总是比你预期的要长，即使你的预期中考虑了侯世达定律。
我们可以看到，这一小段文字中「侯世达定律」出现在了其本身之中。换句话说，我可以为我做事情花费的任意超长的时间找借口，因为我可以说我考虑到了侯世达定律，也考虑了「我考虑过侯世达定律」的事实，也考虑了「我考虑过「我考虑过侯世达定律」的事实」的事实，以此类推子孙无尽。
迭代的产生，来源于自指，即自己的部分指向自己本身。自指给了迭代以超出其范畴的表达能力，我们马上也会看到，自指也同样成为哥德尔的一把尖端武器，给了以希尔伯特为首的一帮子想要证明基础算术系统无矛盾的科学家们致命一击。
一个很有价值的观点在于，迭代代表着一种用有穷来产生可能的无穷的方式，用有限的词语和正确的使用理解方式，来推广而体现出无穷。我们没有能力去把无穷真正地表现出来，上面德罗斯特效应的图片也由于像素的限制远远没有做到绝对无穷无尽。我们能做到的，是写出规律来在我们的脑海中表达出无穷的概念（即书中提到的皮亚诺五条公理中的归纳公理）。
三、哥德尔的G与艾舍尔和巴赫
万事俱备，辣椒、大蒜、牛肉、香菜全部切好摆齐，剩下了，就是大火把它们一勺烩，出锅的就是著名的香菜牛肉了。
悖论和怪圈
哥德尔的初衷是想要证明希尔伯特的第二个问题（证明算术公理系统的无矛盾性），但是最后却在算术系统本身当中发现了无法解决的悖论。可能很多人都听说过说谎者悖论，一个比较明晰的版本是：
下面这个句子是假的。
上面那个句子是真的。
这个左手打右脸右脸说好爽的诡异逻辑循环，在书中被称为「怪圈」。近现代画家艾舍尔对这种怪圈给出了很具象的表现：
我们将两句话中的和悖论无关的东西全部去除掉，就得到下面的最简形式。
我在说谎。
那么问题就来了，我到底在不在说谎？如果我在说谎，那这句话就是真的，也就是说我没有说谎，悖。如果我没有说谎，那这句话就是假的，也就是说我在说谎，还是悖。换句话说，这句话在人的逻辑之中，既不能被证明也不能被证伪。
说谎者悖论·改·方言版（仅供娱乐）：
莴四藏仨仁，藏仨仁都四搓扒子。
俺是俺们那噶块的，但是俺们那小旮旯全活雷锋。咋整？
哎呦喂，我而老北京，但而吧我觉得老北京全他妈是小骗子儿。
窝嗨广东银，广东银全撕咦总官。
嗯，如果这个还没有把你绕晕的话，那么也许艾舍尔的下面这幅图能做得更好，注意上面的那一圈楼梯：
噢，我听到了我听到了，有的人在说「这有什么，小学的时候就看过那一圈楼梯的视觉悖论，不就是永远在上升或者永远在下降嘛，简单无聊得很。」很好，那么下面再上一道给人感觉很类似iOS游戏「纪念碑谷」的主菜：
嗯，无论你怎么努力地去看去分析，也不可能有什么结果的，这是一大堆怪圈的缠绕，逃脱不掉。
为了表明这个怪圈的普遍性，而不仅仅是某个学科的某个边角的某个奇怪的东西，我们已经举了语言和画作的例子，接下来，当然就是巴赫的音乐了。
在巴赫的音乐中，最为典型的一个，就是在乐集「音乐的奉献」中「无穷升高的卡农」。在这部卡农中，音调一直在转高，但是到了最后，这个怪圈又绕回了C调，也就是从C->D->E->F#->G#->A#->C，很类似上面艾舍尔的「上升与下降」，越来越高最后又走回了低点。能做到走回原点的原因，是因为他试用了一种叫做「谢泼德音调」的音阶处理方式，示意图如下：
也就是说，音阶增高的同时高音强度在缩小，低音强度在增大，虽然音高在每一周期之间根本没有变化，但却会造成了一种一直在上升的错觉。这不得不让我想到我们喜闻乐见的满大街理发店门口都有的转灯：
大家可以回想一下，这个转灯给你带来的无穷上升的错觉。想不起来的，可以出门右转去看看。
哥德尔的G
上面提到了的所有的悖论/怪圈形式，其本身并没有直接蕴含着自相违背的信息。事实上，相互违背的两样东西是绝对不可能在同一个空间中存在的，它们会各自散开老死不相往来，或者相互泯灭掉同归于尽。说谎者悖论不过是一句依靠我们的语言能力说出来的一句话，这句话可以写出来而没有崩溃掉本身就代表着其合理性。艾舍尔的所有画作，也都老老实实地和谐地待在同一个画纸上，完好地存在着。
存在即合理。——G·W·F·黑格尔
导致我们发现上面这些悖论的原因，在于我们是在「另外一个层次」的同构信息角度来考虑原信息本身。
我在说谎。这句话本身就被其部分所否定了，也就是说，这句话的一个部分是在讨论一个范围内的事物，而这句话本身正好在这个范围内。「说谎」谈论的是这个人所说出的话，而这句话本身就是这个人所说出的，部分指向本体，即我们前面所提到的「自指」，所以在这之中可能孕育出危险的悖论。
但是仅仅如此仍然不够。我们不妨把这句说谎者悖论写成一种让我们更容易分析的形式：
说谎者悖论分析形式：这句话是假的。
如果我们从这个句子本身的层次来看，我们是看不出问题的，我们作为句子本身不知道句子中的「这句话」指的到底是什么。它有可能指的是前一句，也有可能指的是下一句，自指在这种情况下不存在。只有当我们跳出系统，从更高的层次这个句子本身去理解这个句子的时候，我们才能知道，「这句话」指代的居然是这三个字的母体，即代表「这句话是假的」本身。
我们可以为「这句话是假的。」这句话赋予一个常量G，也就是说它和这六个字和一个句号完全同构，可以完美替代而不出问题。
G = 这句话是假的。
那么，「这句话是假的。」这句话中的变量，即「这句话」这三个字，就可以被常量G所代替，因为这句话指的就是G所代表的这句话。
G = G是假的，即G=G的相反，或G=~G（非G）
悖论出现。
G的存在在该语言形式系统之中，无法被证明也无法被证伪，也就是说，无论是G还是G的相反（即~G），都不符合成为形式系统内的定理的资格，无法证明也无法反证，无法确认G的真实性，但G是真实存在的，所以系统不是完全的。
当人们假定它是真实的时候，它一巴掌扇过来说你个瞎子我明明是假的。当人们假定它是假的时候，它一巴掌扇过来说你个变态我明明是真的。它像是一个挤不破的大皮球（也像是生气状态中的女人），总要有一边鼓起来，让人们只能亡羊补牢，顾着这边就没办法顾那边，永远无法真正地用一种系统涵盖全部的定理。
当我们在一个足够强力的形式系统之中，借助一种同构的翻译（G=这句话是假的），来并从多个不同层次上理解同一个事物，并且该事物在其内部有部分对其本身的自指的时候，就有可能产生悖论。我说是有可能而不是一定会，是因为我们可以简单地把G中的「假」换成「真」，就不再存在悖论了。而这个悖论，存在于所有足够强力的形式系统之中，也就是说，如果形式系统足够强（也就是能够反映相当部分的现实），那么就成为了哥德尔定理的牺牲品；如果本身就不够强，那么哥德尔定理无效，但也根本用不上哥德尔定理，一个不够强的形式系统根本就没有足够的有效性。
哥德尔这狠狠一锤砸死了不知多少天才横溢之辈完美无缺的数理逻辑梦。
哥德尔不完备性定理相当于让人们在二者之中选一：要么选择去接触不完备的范围广大的知识，要么去选择完备但只包括一小部分事实的理论。我们必然是掰棒子的狗熊，捡一个就必须丢一个，不存在能够获得完备知识总集的可能。
上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。
——数学家外尔（Hermann Klaus Hugo Weyl）
在书中给出的哥德尔推导是在TNT中，还使用了「证明对」和「算术㧟摁化」这两个应该是作者自己发明的概念。哥德尔本人的推导应该会远更加复杂。不过当你读到这里的时候，就应该已经明白矛盾出现的原因到底在哪了。
集异璧
四、人工智能
哥德尔定理之所以在书中被大书特书，是因为作者相信它对人工智能有着非常核心的影响力。
人脑中有约100亿个神经元，每个神经元最多可以有20万个不同的输入端口，输入的综合超过阈值后发射电化学流，每秒的发射频率可达上千次。对于这些繁复到让人目瞪口呆的变化，我们却本身对其没有任何的认知，这是因为层次与层次之间的「隔离」（即大脑符号软件层和神经元硬件层）。隔离程度越高，高层对底层就越知之甚少，对于一个复杂系统来说也就越成熟。要是连简单的一个「我想吃苹果」这种想法，都要用意志去调动数以亿计的神经元并控制他们的激活与否，那穷尽我们一生可能都不会形成哪怕是最简单的概念。底层封装地越好，我们就越可以不去管它们是如何实现的，只需要发送一个简单的指令，并且知道底层会很稳定可靠地去做就好了。
所有的灵活的软件下面都必然有着最底层的不灵活的硬件，而软件的灵活性恰恰来自与硬件的稳固性。（p391， p907）
在最底层的神经元层次，我们可以类比为电脑的硬件层次，没有思想，没有性格，有的只是最为单调但精准无误地操作和重复——输入数量足够就激活发射，不够就闲置。但正是这种超级大范围的无意识行为，其复杂度达到了某个阈值之后产生质变，就能够孕育出智能来。
从底层的纯粹硬件到我们脑海中的概念的层次是一个谜一样的本质的飞跃，我们开始能够意识到我们自己的存在，并能开始理解形成概念和记忆。本书中称我们的概念层为符号层，每一个符号代表着一个概念，可以代表饥渴，可以代表书本的概念，可以代表某种动力或欲望，也可以代表着父亲母亲。当某一事件发生的时候，相关的符号之间互相交映互相激活，最后在大脑整体上得到一种情绪上或概念上的反馈。
让人惊讶的是，人脑的硬件层次并不一一对应于某个软件功能，并不是像我们可能想象的那样，大脑的某一片负责视觉，某一片负责想象，某一片负责平衡现实和理想之类的。这种一一对应的关系并不存在，所有激发出来的结果，都是以一种整体论的形式来整体地体现反馈回来。也就是说，大部分功能都由整个大脑来负责，不能完全分隔开功能区域。
智能怪圈：神经元层次决定了智慧层次该如何执行，智慧层次的思维过程又反过去影响了神经元层次该如何执行。
近现代认知科学的出现和发展一直是建立在一个叫做「认知可计算主义」的概念之上的，这个概念认为通过计算可以模拟出人的认知模型来，或者说，认知的本质就是计算。因此，发展人工智能的重担也就落在了计算机上。随着计算机的计算能力的发展，现代最顶尖的计算机拥有着和人脑相媲美的复杂度和远超人脑不知多少个数量级的计算能力，但是，基于「认知可计算主义」的智能却仍然没有任何出现的苗头。很明显，仅仅是程序的运行速度和复杂度，并不是生成智能的原因，至少不仅仅是它们。
如果我们仔细去剖析自己的想法的话，我们就会发现，无论我们在想什么，我们的脑海里都存在着一个小人，那个小人符号代表着「自己」。无论是类似于「我想去喝水」，或者「面前出现了一片广阔无垠的金黄麦场」，还是「我明天早上起来要去跑半马」，这所有的观念之中，都有一个符号的「我」存在。这个「我」的存在，其实是个体创造力、理解力、想象力、感情、欲望、意识和自由意志的最关键的一块拼图——它允许我去想关于「我自己」的事情。它允许了在某种程度上跳到「我」之外去考虑事物，即「跳出系统」的能力。
我们对此早已习以为常到浑然不觉的地步了。但是，我们的大脑和其中的思维是我们自身的一部分，而在我们的思维中，又重新出现了「我」这个概念。无论我们是如何思考的，我们想到「我」的时候，想到的并不是我这个现实存在的个体，而是我们脑袋中对于自我个体的一个同构的翻译。
发现了吗？
我们现在是在从多个不同层次上理解同一个事物（自己），并且该事物在其内部有部分对其本身的自指（符号的「我」指向现实的我）。这离出现哥德尔悖论就只有一步之遥。
所有的计算机系统都是数论系统。如果我们按照「认知即计算」的章程来看的话，基于计算机的人工智能如果想要达到近似人类的思维能力，也就是需要拥有「自我」的概念符号的话（即出现自指），那将必然遭受到哥德尔不完备性定理的直接攻击，也就是说，如果计算机有能力在自己的运算过程之中制造出一个代表自身的符号来，那么哥德尔制造悖论的方式就可以在计算机中造出不可证明也不可证伪的奇异的虚幻来。
计算机的运行基于最基础的运算单元加减法，它的任何一步的结构都必然是完备的，可推导的可证明的，所以，从反向推导，计算机绝对不可能拥有代表自我的符号，也就绝对不可能通过这种方式拥有智能——它并不具有跳出系统的能力。从这里再追根溯源去找人工智能发展瓶颈问题出在哪，我想怀疑最大的就是「认知即计算」的这个概念。这个概念已经带领着我们的计算机科学以超乎想象的速度发展了数十近百年，但是在人工智能的领域，也显示出了它被哥德尔所严格束缚住的能力范围。
有的人可能会提出：计算机是人造的一种机器，只要是机器，就肯定会严格按照它得到的指示去做，它不会也不可能去做也想不到要去做任何它不知道的事情。本书的作者反驳：机器和人两者都是由硬件构成的，一个是零件，一个是神经元，而硬件可以按照物理学定律完全独立地运行，并不需要任何人去规定。既然人能从海量的互相纠缠的完全机械的神经元中得到智能，那么为什么计算机就不能呢？
哥德尔不完备性定理不是在说机器的能力极限，也不是在说人的能力极限，在人工智能领域，它仅仅是在说从完全硬件角度，将一个人的想法完全复制到机器之中会受到的强烈限制。相比而言，构成一定的智能会比复制硬件构成简单得多。同时因为我们可以跳过硬件层次而只了解符号层级的一般工作原理，就好像了解发动机的一般工作原理一样，我们绕开了哥德尔定理在底层对于强力数论的要求。
如果我们暂时满足于在符号层面上研究大脑，并在符号层面上让计算机实现类似的智能，那么还是大有可为的。这就相当于假装底层的实现可能不是一个会落入怪圈的足够强力的形式系统，而是并不符合哥德尔定理的某种新体制。
无论如何，这样人工智能的发展就避开了哥德尔的魔爪。在上世纪中旬就有可靠的科学家预测，在接下来的二十年中，强人工智能（即能够主动思考创造的类人机器，相对于类似于Siri的弱人工智能）必然会出现，但是半个多世纪过去了，所有人的预见全部落了空。人脑的复杂性远远超出了原来科学家们的想象。
如果想了解更多的关于人工智能话题的话，知乎的谢熊猫君翻译了一篇英文的关于人工智能的科普读物，在上一年里反响很大：为什么最近有很多名人，比如比尔盖茨，马斯克、霍金等，让人们警惕人工智能？如果不喜一家（而且好像不是很权威的一家）之言，更喜欢全面地看问题的话，可以看看这个知乎问题下的答案，里面有数人反对谢熊猫翻译的文章的观点：为什么有很多名人让人们警惕人工智能？
五、结尾
正因为哥德尔、艾舍尔和巴赫（其实感觉没巴赫什么事，艾舍尔也只是打打下手做做参谋）三人共同表现出的对于怪圈和缠结的层次结构的表现和理解，本书作者才将哥德尔、艾舍尔、巴赫这三块他精心收集的异彩夺目的瑰璧嵌为一体，并使之发扬光大、辉映成章。而这三块有异曲同工之妙的奇珍，也因此凝集成了一个珠联璧合的整体。（p951）
1978年寒冬，美国普林斯顿，「无」宫殿内。
闪烁着火焰的蜡烛在门廊中飘忽，数理大帝二世：库尔特·哥德尔 穿着纯白色干净亚麻制作的长袍，正走在大殿中的画廊里。他已经到了油尽灯枯的年龄，脸上的皱纹像是刻画在空间之上的历史，绝无可能再次抹去。
如果你用米尺去在不同的位置丈量画廊本身的宽度的话的话，你就会发现画廊的宽度是在变化的，事实上，整个「无」宫殿本身都以一种很奇异的姿态「扭」在一块凹凸不平的山坡上。建筑者并没有费心去把土地填平笃实，而是放任在那里，导致整个宫殿的地都变成了一个三维的波函数。
作为数学帝国的第二任皇帝，他经历了数理帝国的涅槃，重生的帝国和重生的他已经不再寄希望于完美无缺的对称的稳固，而更喜欢飘忽不定的自由和弹性。
真实的世界不是完美的，而不敢面对这个事实的人，根本没有资格称自己为数学家。哥德尔总是这样和人说道，他对此毫不怀疑。
他慢慢走到了画廊的另外一边，不时停步，缓缓欣赏着画廊中摆放着的艾舍尔的各种画作。他还记得他年轻的时候，初次见到艾舍尔画作时候的惊艳——与其说他喜欢艾舍尔的画，还不如说他在艾舍尔的画中嗅到了与自己的观念相通的某种芬芳，某种对于真正完美的扭曲，还有扭曲中的反抗。
画作都看完的时候，已经过去了很久。他走回了自己的办公区域，坐在自己的办公椅上。在那宽大到可以并排躺下四个人的桌上，寥寥无几地放着两个烟斗，一条莫比乌斯纸带，一个水晶球，还有一颗头颅大小的黑色正方体木块，木块的正中央写着一个大大的「无」字。木块的材质显得很突兀，像是从另外一个时空传送过来的纪念品，仔细闻闻似乎还携带着些许上一个主人的气味。
他摩挲着这块和他头颅近乎同等大小的正方体，目光渐渐变得温柔，连眼角的皱纹都化了开。他的右臂向上抬了抬，似乎想要把木块翻滚90度，但是那木块却好像沉重得让年迈的他完全没有任何办法。他的脸上开始渐渐冒出了细微的汗，那汗冰冷如雨。几经尝试之后，他长叹一声，仿佛把数十年的人生苦乐从这一口气中散逸掉了。
他的眼睛闭上而又睁开，右手轻轻一推，木块的底面就翻滚了出来，同时跃入眼帘的是一行很简短的字。
他从左到右一个字一个字地读着那上面的话，重复读了几遍，终于放开了手，如同斗败了的公鸡一样瘫倒在扶手椅里。那木块上写着：
证明「我」是错的。
三天后，库尔特·哥德尔溘然长逝。
书评和后记
本书的内容超乎预期的驳杂繁复，上千页的扎实的内容和五花八门多个领域的互相纠缠，又有结构极其精巧让人赞叹的小故事穿插于其中，让这本书的阅读成为了一场让人头痛不已却又不舍读完的盛宴。写出的书籍重点和笔记足有接近三万字，分为两篇贴在这里，供想要读、正在读和想要温习的人做个参考：
我并不推荐本文给大多数人去读，因为「臣妾做不到哇」。对数理逻辑感兴趣的人们，可以准备一段时间出来看看，不过，我希望我写出的这篇文章能够让所有人有所补益。
这篇文章的形式借鉴了本书的形式，虽然只能得到其皮毛。原书中在每一章节前穿插着故事来承前启后，我也尽量插进几个小段故事来增添文章紧凑型和趣味性。原书使用了大量艾舍尔的画作，我也捡其精华用在文章里。去掉我认为过于复杂的和与主线无关的部分，文章中介绍到的概念和书中介绍的主要概念顺序和篇幅大致相等。模仿原书，本文的末尾的故事和开篇的故事相呼应，暗示出了相对于人工智能的用「无」「废问」的概念，其中也蕴含着一些自指和怪圈，明眼读者们想必能够将他们辨认出来。
本篇文章是继「我帮你读」系列我帮你读：「如何阅读一本书」、我帮你读：「中国哲学简史」和我帮你读：「厚黑学」、我帮你读：「论人类不平等的起源」、我帮你读：「枪炮、病菌与钢铁——人类社会的命运」之后的第六篇。如果是第一次来读「我帮你读」系列文章，那么可以去看看「我帮你读」系列目录、序言及规则。预告：下一篇将会是一篇承接本书的另一部跨学科奇作，同样是从多个角度去分析世界的某个本质，敬请期待：我帮你读：「真实世界的脉络」，书籍作者戴维·多伊奇。
写出这篇文章花费我一个月的心血，如果本文有帮助到你，请尽情分享，如果可以的话，也请打赏支持！
