《小学数学教材中的大道理》（六）（P81~103）
课题六：忽视“包含除”后患无穷
“平均分物”这一数学模型涉及两种不同意义的除法。例如：在分饼干问题，
问题1：将12块饼干平均分给3人，每人几块？
列式为12÷3=4（块），每人4块。
问题2：将12块饼干分给一些人，每人4块，能分给几个人？
列式为12÷4=3（人），能分给3人。
在总数都是12的前提下，问题1是知道平均分给几人，即要分的份数以后，用除法计算每份是多少，俗称“等分除”；问题2则是知道每份的多少以后，问有多少人参与平均分，即总数里包含多少份，俗称“包含除”。
类似这样，在同一个情境里的两类互相依存的除法问题，在小学数学教学中，非常常见。《小学数学教材中的大道理》课题六《忽视“包含除”后患无穷》中，通过对不同版本教材的调查、对比，发现教材编写中存在着偏爱，有点忽视“包含除”。张奠宙教授指出，这样做的直接后果可能会导致绝大多数学生把除法等同于等分除了；编者的思维定势影响了思维的多元化，值得警惕。还特别强调：分数除法对包含除的需求特别强烈，学生借助包含除来理解分数除法会更容易。
那么明确了教材编写中存在的问题，我们怎样才能教对除法的意义呢？
一、操作感知，了解模型。
让学生在具体的操作中感受“平均分”，写出不同的算式，并说出其中一种平均分是求“有几份”，另一种平均分是求“每份是多少”。在操作后通过对比、概括给出两种情形的名称。通过分一分、画一画等活动，认识“等分除”和“包含除”。
二、解决问题，建立模型。
关于“一份”这个抽象的表征，可以从一开始就用“盘子”这样的具体物体作为平均分的表征和依托。
例如：将12个橙子平均分到盘子里的情境，即每个盘子里必须“一样多”，其数学模型是除法。
但是有两种情形，情形一：知道有4个盘子，问每个盘子里有几个（等分除）；情形二：知道每个盘子里要放3个，问能放几盘（包含除）。一定要让学生注意到“有几个”和“有几盘” 的区别，建立好除法模型。
在教学中，可以借助实物、小捧等学具进行实际分物操作，也可以让学生借助课件操作，并动手画一画、圈一圈，直观感知，建立认知。
与此同时，引导学生认识除法是乘法的逆运算；同时还是同数连减的简便表示。例如12÷4=3，可以表示为12-4-4-4=0，从12里面连续减了3个4，所以可以分给3个人。
三、实际应用，巩固模型。
在整数除法教学中建立好除法模型，在不同类问题解决中，反复应用两种类型。例如在行程问题当中，知道路程既要有求速度的题目，还要有求时间的题目。在价格问题当中，知道总价既可以求单价，也可以求数量。
这样，在小数除法和分数除法的教学中，引导学生灵活选用比较适合的方法，就会更自如一些。
