姓名：赵健宇 学号：21021210853 学院：电子工程学院
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_41932046/article/details/104741326
【嵌牛导读】合同的意思是能通过此几何的刚体运动把几何对象彼此变换。也就是说，如果两个曲线是合同的，那么一定存在一个等距变换，能把其中一条曲线变成另一曲线。
【嵌牛鼻子】微分几何
【嵌牛提问】什么曲线是合同的？
【嵌牛正文】
合同的意思是能通过此几何的刚体运动把几何对象彼此变换。也就是说，如果两个曲线是合同的，那么一定存在一个等距变换，能把其中一条曲线变成另一曲线。
怎么证明合同？
由上述对合同的理解可以发现，合同的曲线的形状相同。那么只需要证明两个曲线的曲率和挠率相同即可。
怎么求合同曲线相差的变换？
我们用题目来说明。
已知两条曲线C : r = r ( t ) C:r=r(t)C:r=r(t)和C ∗ : r ∗ = r ∗ ( u ) C^*:r^*=r^*(u)C
∗
:r
∗
=r
∗
(u)的参数方程分别为
r ( t ) = ( t + 3 sin t , 2 cos t , 3 t − sin t ) r ∗ ( u ) = ( 2 cos u , 2 sin u , − 2 u ) r(t)=(t+\sqrt{3}\sin{t}, 2\cos{t}, \sqrt{3}t-\sin{t}) \\ r^*(u)=(2\cos{u}, 2\sin{u},-2u)
r(t)=(t+
3
sint,2cost,
3
t−sint)
r
∗
(u)=(2cosu,2sinu,−2u)
试证C CC和C ∗ C^*C
∗
是合同的，并确定两条曲线相差的刚体运动。
解：易证κ = κ ∗ = 1 4 , τ = τ ∗ = − 1 4 \kappa=\kappa^*=\frac{1}{4}, \tau=\tau^*=-\frac{1}{4}κ=κ
∗
=
4
1
,τ=τ
∗
=−
4
1
，所以C CC和C ∗ C^*C
∗
合同。
下面求相差的变化
【方法一】 目测法
能直接观察出来是最好的。这道题可以比较容易的看出，当t = u t=ut=u时，有
( t + 3 sin t , 2 cos t , 3 t − sin t ) = ( 2 cos t , 2 sin t , − 2 t ) ( 0 1 0 3 2 0 − 1 2 − 1 2 0 − 3 2 ) (t+\sqrt{3}\sin{t}, 2\cos{t}, \sqrt{3}t-\sin{t}) \\ =(2\cos{t}, 2\sin{t},-2t)
⎛⎝⎜⎜⎜03√2−121000−12−3√2⎞⎠⎟⎟⎟
(010320−12−120−32)
(t+
3
sint,2cost,
3
t−sint)
=(2cost,2sint,−2t)
⎝
⎜
⎛
0
2
3
−
2
1
1
0
0
0
−
2
1
−
2
3
⎠
⎟
⎞
这个矩阵显然时正交矩阵。
【方法二】 计算r ( 0 ) r(0)r(0)和r ∗ ( 0 ) r^*(0)r
∗
(0)处的Frenet标架，这两个标架关系就决定了所求的正交变换。
经计算，r(0)处的Frenet标架为
{ α ( 0 ) = ( 6 + 2 4 , 0 , 6 − 2 4 ) β ( 0 ) = ( 0 , − 1 , 0 ) γ ( 0 ) = ( 6 − 2 4 , 0 , − 6 + 2 4 )
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪α(0)β(0)γ(0)=(6√+2√4,0,6√−2√4)=(0,−1,0)=(6√−2√4,0,−6√+2√4)
{α(0)=(6+24,0,6−24)β(0)=(0,−1,0)γ(0)=(6−24,0,−6+24)
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
α(0)
β(0)
γ(0)
=(
4
6
+
2
,0,
4
6
−
2
)
=(0,−1,0)
=(
4
6
−
2
,0,−
4
6
+
2
)
r ∗ ( 0 ) r^*(0)r
∗
(0)的Frenet标架为
{ α ∗ ( 0 ) = ( 0 , 2 2 , − 2 2 ) β ∗ ( 0 ) = ( − 1 , 0 , 0 ) γ ∗ ( 0 ) = ( 0 , 2 2 , 2 2 )
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪α∗(0)β∗(0)γ∗(0)=(0,2√2,−2√2)=(−1,0,0)=(0,2√2,2√2)
{α∗(0)=(0,22,−22)β∗(0)=(−1,0,0)γ∗(0)=(0,22,22)
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
α
∗
(0)
β
∗
(0)
γ
∗
(0)
=(0,
2
2
,−
2
2
)
=(−1,0,0)
=(0,
2
2
,
2
2
)
设( α ( 0 ) β ( 0 ) γ ( 0 ) ) = ( α ∗ ( 0 ) β ∗ ( 0 ) γ ∗ ( 0 ) ) A
⎛⎝⎜⎜α(0)β(0)γ(0)⎞⎠⎟⎟
(α(0)β(0)γ(0))
=
⎛⎝⎜⎜α∗(0)β∗(0)γ∗(0)⎞⎠⎟⎟
(α∗(0)β∗(0)γ∗(0))
A
⎝
⎛
α(0)
β(0)
γ(0)
⎠
⎞
=
⎝
⎛
α
∗
(0)
β
∗
(0)
γ
∗
(0)
⎠
⎞
A，解得
A = ( 0 1 0 3 2 0 − 1 2 − 1 2 0 − 3 2 ) A=
⎛⎝⎜⎜⎜03√2−121000−12−3√2⎞⎠⎟⎟⎟
(010320−12−120−32)
A=
⎝
⎜
⎛
0
2
3
−
2
1
1
0
0
0
−
2
1
−
2
3
⎠
⎟
⎞
【方法三】 从参数为0的点出发选三组对应的点
本题可以选{ r ( π 4 ) − r ( 0 ) , r ( π 2 ) − r ( 0 ) , r ( π ) − r ( 0 ) } \{r(\frac{\pi}{4})-r(0),r(\frac{\pi}{2})-r(0), r(\pi)-r(0)\}{r(
4
π
)−r(0),r(
2
π
)−r(0),r(π)−r(0)}与{ r ∗ ( π 4 ) − r ∗ ( 0 ) , r ∗ ( π 2 ) − r ∗ ( 0 ) , r ∗ ( π ) − r ∗ ( 0 ) } \{r^*(\frac{\pi}{4})-r^*(0),r^*(\frac{\pi}{2})-r^*(0), r^*(\pi)-r^*(0)\}{r
∗
(
4
π
)−r
∗
(0),r
∗
(
2
π
)−r
∗
(0),r
∗
(π)−r
∗
(0)}两个标架，确定其关系亦可确定所要求的变换。
我们来看下一道题
已知两条曲线C 1 : r = ( ch t , sh t , t ) C_1:r=(\ch{t},\sh{t},t)C
1
:r=(cht,sht,t)和C 2 : r = ( e − u 2 , e u 2 , u + 1 ) C_2:r=\left(\frac{e^{-u}}{\sqrt{2}},\frac{e^{u}}{\sqrt{2}},u+1 \right)C
2
:r=(
2
e
−u
,
2
e
u
,u+1)
试证C 1 C_1C
1
和C 2 C_2C
2
是合同的，并确定两条曲线相差的刚体运动。
解：易得κ 1 = 1 2 ch 2 t , κ 2 = 1 2 ch 2 u , τ 1 = 1 2 ch 2 t , τ 2 = 1 2 ch 2 u \kappa_1=\frac{1}{2\ch^2{t}}, \kappa_2=\frac{1}{2\ch^2{u}}, \tau_1=\frac{1}{2\ch^2{t}},\tau_2=\frac{1}{2\ch^2{u}}κ
1
=
2ch
2
t
1
,κ
2
=
2ch
2
u
1
,τ
1
=
2ch
2
t
1
,τ
2
=
2ch
2
u
1
当t = u t=ut=u时，κ 1 = κ 2 , τ 1 = τ 2 \kappa_1=\kappa_2, \tau_1=\tau_2κ
1
=κ
2
,τ
1
=τ
2
下面求刚体运动
【方法一】 可以直接看出
( ch t , sh t , t ) = ( e − t 2 , e t 2 , t + 1 ) ( 1 2 − 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1 ) + ( 0 , 0 , − 1 ) (\ch{t},\sh{t},t)=\left(\frac{e^{-t}}{\sqrt{2}},\frac{e^{t}}{\sqrt{2}},t+1 \right)
⎛⎝⎜⎜⎜12√12√0−12√12√0001⎞⎠⎟⎟⎟
(12−12012120001)
+(0,0,-1)
(cht,sht,t)=(
2
e
−t
,
2
e
t
,t+1)
⎝
⎛
2
1
2
1
0
−
2
1
2
1
0
0
0
1
⎠
⎞
+(0,0,−1)
【方法二】
C 1 C_1C
1
在0处的Frenet标架为
{ α 1 ( 0 ) = ( 0 , 1 2 , 1 2 ) β 1 ( 0 ) = ( 1 , 0 , 0 ) γ 1 ( 0 ) = ( 0 , 1 2 , − 1 2 )
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪α1(0)β1(0)γ1(0)=(0,12√,12√)=(1,0,0)=(0,12√,−12√)
{α1(0)=(0,12,12)β1(0)=(1,0,0)γ1(0)=(0,12,−12)
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
α
1
(0)
β
1
(0)
γ
1
(0)
=(0,
2
1
,
2
1
)
=(1,0,0)
=(0,
2
1
,−
2
1
)
C 2 C_2C
2
在0处的Frenet标架为
{ α 2 ( 0 ) = ( − 1 2 , 1 2 , 1 2 ) β 2 ( 0 ) = ( 1 2 , 1 2 , 0 ) γ 2 ( 0 ) = ( − 1 2 , 1 2 , − 1 2 )
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪α2(0)β2(0)γ2(0)=(−12,12,12√)=(12√,12√,0)=(−12,12,−12√)
{α2(0)=(−12,12,12)β2(0)=(12,12,0)γ2(0)=(−12,12,−12)
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
α
2
(0)
β
2
(0)
γ
2
(0)
=(−
2
1
,
2
1
,
2
1
)
=(
2
1
,
2
1
,0)
=(−
2
1
,
2
1
,−
2
1
)
设( α 1 ( 0 ) β 1 ( 0 ) γ 1 ( 0 ) ) = ( α 2 ( 0 ) β 2 ( 0 ) γ 2 ( 0 ) ) A
⎛⎝⎜⎜α1(0)β1(0)γ1(0)⎞⎠⎟⎟
(α1(0)β1(0)γ1(0))
=
⎛⎝⎜⎜α2(0)β2(0)γ2(0)⎞⎠⎟⎟
(α2(0)β2(0)γ2(0))
A
⎝
⎛
α
1
(0)
β
1
(0)
γ
1
(0)
⎠
⎞
=
⎝
⎛
α
2
(0)
β
2
(0)
γ
2
(0)
⎠
⎞
A，解得
A = ( 1 2 − 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1 ) A=
⎛⎝⎜⎜⎜12√12√0−12√12√0001⎞⎠⎟⎟⎟
(12−12012120001)
A=
⎝
⎛
2
1
2
1
0
−
2
1
2
1
0
0
0
1
⎠
⎞
代入验证可得r 1 ( t ) = r 2 ( t ) A + ( 0 , 0 , − 1 ) r_1(t)=r_2(t)A+(0,0,-1)r
1
(t)=r
2
(t)A+(0,0,−1)
通过这道题可以看出，方法二（包括方法三）的方法是无法求出平移变换的，不过可以在求出正交变换后，作一条曲线与另一条曲线做正交变换后的新曲线的差，得到平移变换。
————————————————
