姓名：赵健宇 学号：21021210853 学院：电子工程学院
原文转自：https://blog.csdn.net/u014446042/article/details/81323197
【嵌牛导读】Gauss 早期就有惊人的发现：曲面在每一点的两个主曲率的乘积（称为高斯曲率）仅与曲面的第一基本形式有关。
【嵌牛鼻子】高斯曲率
【嵌牛提问】曲率在微分几何中的作用是重要的？
【嵌牛正文】
高斯曲率
曲率在微分几何中的作用是重要的，它用来刻画曲面在各点处的弯曲程度。Gauss 早期就有惊人的发现：曲面在每一点的两个主曲率的乘积（称为高斯曲率）仅与曲面的第一基本形式有关，与曲面在R 3 R^3R
3
中出现的具体形状无关。也就是说曲面只与自身性质有关，与背景空间无关，这表示出内蕴性。
为了引入各种曲率，先定义一般形式的曲率算子的概念。然后衍生出不同的曲率。
定义：设(M,g)是m维仿射联络空间，对于任意的X , Y X,YX,Y属于光滑切空间V ( M ) V(M)V(M)，定义映射 如下，
R ( X , Y ) : V ( M ) → V ( M ) {\sf R}(X,Y):V(M) \rightarrow V(M)R(X,Y):V(M)→V(M)
R ( X , Y ) Z = D X D Y Z − D Y D X Z − D [ X , Y ] Z ∀ Z ∈ V ( M ) {\sf R}(X,Y)Z=D_XD_YZ-D_YD_XZ-D_{[X,Y]}Z \quad\quad \forall Z\in V(M)
R(X,Y)Z=D
X
D
Y
Z−D
Y
D
X
Z−D
[X,Y]
Z∀Z∈V(M)
由此定义的 R ( X , Y ) {\sf R}(X,Y)R(X,Y)称为曲率算子
如果从张量角度考虑的话，R : V ( M ) × V ( M ) × V ( M ) → V ( M ) {\sf R} :V(M)\times V(M) \times V(M) \rightarrow V(M)R:V(M)×V(M)×V(M)→V(M)则R {\sf R}R是(1,3)型张量场
我们就此可以通过黎曼度量把上述R {\sf R}R改一改定义成黎曼度量
定义四阶协变张量场
R : V ( M ) × V ( M ) × V ( M ) × V ( M ) → C ∞ ( M ) {R} :V(M)\times V(M) \times V(M)\times V(M) \rightarrow C^\infty (M)
R:V(M)×V(M)×V(M)×V(M)→C
∞
(M)
R ( X , Y , Z , W ) = g ( R ( Z , W ) X , Y ) ∀ X , Y , Z , W ∈ V ( M ) R(X,Y,Z,W)=g({\sf R}(Z,W)X,Y) \quad \forall X,Y,Z,W\in V(M)
R(X,Y,Z,W)=g(R(Z,W)X,Y)∀X,Y,Z,W∈V(M)
R RR相当于用黎曼度量g来 度量两个切向量之间的距离。
在黎曼流形M中任取一点p pp，对于u , v ∈ T p ( M ) u,v \in T_p(M)u,v∈T
p
(M), 向量u uu和v vv围成的面积可用外积表示为S = u ∧ v S=u \wedge vS=u∧v,则∣ ∣ ( u ∧ v ) ∣ ∣ 2 \mid \mid(u \wedge v)\mid \mid ^{2}∣∣(u∧v)∣∣
2
表示u uu和v vv围成面积的平方，把u uu和v vv张成的二维子空间记作[ u , v ] [u,v][u,v]，称为M在p pp点的二维截面。考虑二维子空间[ u , v ] [u,v][u,v]任意的两个不同线的向量u ~ \tilde u
u
~
和v ~ \tilde v
v
~
，表达式满足满秩线性变换
[ u ~ v ~ ] = [ a 1 1 a 1 2 a 2 1 a 2 2 ] ⋅ [ u v ]
[ũ ṽ ]
[u~v~]
=
[a11a12amp;a21amp;a22]
[a11amp;a12a21amp;a22]
\cdot
[uv]
[uv]
[
u
~
v
~
]=[
a
1
1
a
2
1
a
1
2
a
2
2
]⋅[
u
v
]
d e t ( a i j ) ≠ 0 det(a_i^j)\neq 0det(a
i
j
)
̸
=0
这样∣ ∣ ( u ~ ∧ v ~ ) ∣ ∣ 2 = ( d e t ( a i j ) ) 2 × ∣ ∣ ( u ∧ v ) ∣ ∣ 2 \mid \mid(\tilde u \wedge \tilde v)\mid \mid ^{2}=(det(a_i^j))^2 \times \mid \mid(u \wedge v)\mid \mid ^{2}∣∣(
u
~
∧
v
~
)∣∣
2
=(det(a
i
j
))
2
×∣∣(u∧v)∣∣
2
另一方面 根据黎曼曲率张量的对称性和反对称性有：
R ( u ~ , v ~ , u ~ , v ~ ) = ( d e t ( a i j ) ) 2 × R ( u , v , u , v ) R(\tilde u,\tilde v,\tilde u,\tilde v)=(det(a_i^j))^2 \times R(u, v, u, v)R(
u
~
,
v
~
,
u
~
,
v
~
)=(det(a
i
j
))
2
×R(u,v,u,v)
从上两式可以看出
K ( u , v ) = R ( u ~ , v ~ , u ~ , v ~ ) ∣ ∣ ( u ~ ∧ v ~ ) ∣ ∣ 2 = R ( u , v , u , v ) ∣ ∣ ( u ∧ v ) ∣ ∣ 2 \color{blue}K(u,v)=\frac {R(\tilde u,\tilde v,\tilde u,\tilde v)}{\mid \mid(\tilde u \wedge \tilde v)\mid \mid ^{2}}=\frac {R(u, v, u, v)}{ \mid \mid(u \wedge v)\mid \mid ^{2}}
K(u,v)=
∣∣(
u
~
∧
v
~
)∣∣
2
R(
u
~
,
v
~
,
u
~
,
v
~
)
=
∣∣(u∧v)∣∣
2
R(u,v,u,v)
定义这个不变量为黎曼流形M在p pp点沿着二维截面[ u , v ] [u,v][u,v]的截面曲率。这个曲率也就是M中与二维截面相切的曲面S在p pp点的Gauss曲率。
考虑曲面上的封闭曲线，曲线上的切向量v ⃗ \vec v
v
沿着封闭曲线走一圈做平行移动回到出发点后得到切向量v ⃗ ′ \vec v'
v
′
，此时v ⃗ ′ \vec v'
v
′
和初始的v ⃗ \vec v
v
可能存在差异，这个差异等于封闭曲线围成的曲面区域上高斯曲率的积分。可以表示为:d ω 12 = − K ω 1 ∧ ω 2 d\omega_{12}=-K\omega_1\wedge\omega_2dω
12
=−Kω
1
∧ω
2
。即联络的外微分等于曲面的G a u s s GaussGauss曲率。从关系上看R i e m m a n RiemmanRiemman度量⟶ \longrightarrow⟶活动标架⟶ \longrightarrow⟶联络⟶ \longrightarrow⟶曲率。
假设曲面M上的R i e m m a n RiemmanRiemman度量为：g = e 2 λ ( u , v ) ( d u 2 + d v 2 ) g=e^{2\lambda(u,v)}(du^2+dv^2)g=e
2λ(u,v)
(du
2
+dv
2
)不难看出弧长参数d s 2 = w 1 2 + w 2 2 ds^2=w_1^2+w_2^2ds
2
=w
1
2
+w
2
2
，其中w 1 = e λ d u , w 2 = e λ d v w_1=e^\lambda du, w_2=e^\lambda dvw
1
=e
λ
du,w
2
=e
λ
dv。将g gg 进行变换，假设变换后为g ~ = e 2 μ g \tilde g=e^{2\mu}g
g
~
=e
2μ
g
K = − 1 e 2 λ △ λ \color{red}K=-\frac{1}{e^{2\lambda}}\triangle \lambdaK=−
e
2λ
1
△λ
K ~ = − 1 e 2 ( λ + μ ) △ ( λ + μ ) \color{red}\widetilde K=-\frac{1}{e^{2(\lambda+\mu)}}\triangle(\lambda+\mu)
K
=−
e
2(λ+μ)
1
△(λ+μ)
从上式可得：
K ~ = e − 2 μ ( − e − 2 λ ( △ λ + △ μ ) ) \widetilde K =e^{-2\mu}(-e^{-2\lambda}(\triangle\lambda+\triangle\mu))
K
=e
−2μ
(−e
−2λ
(△λ+△μ))
= e − 2 μ ( K + ( − e − 2 λ △ μ ) ) =e^{-2\mu}(K+(-e^{-2\lambda}\triangle\mu))=e
−2μ
(K+(−e
−2λ
△μ))
= e − 2 μ ( K − △ g μ ) =e^{-2\mu}(K-\triangle_g\mu) \quad \quad\quad=e
−2μ
(K−△
g
μ)
= e − 2 μ K − △ g ~ μ =e^{-2\mu}K-\triangle_{\widetilde g} \mu \quad\quad \quad\quad=e
−2μ
K−△
g
μ
上述方程被称为Yamabe方程
单值化定理
单值化定理断言给定一个连通的无边曲面 S ，具有黎曼度量 g ，则存在函数$ λ:S→R ， 使 得 度 量 ，使得度量，使得度量 e^{2λ}g$ 和初始度量g gg共形等价，并且 e 2 λ g e^{2λ}ge
2λ
g 所决定的高斯曲率为常数。如果曲面的欧拉示性数$ χ(S)$ 为正，零或负，则高斯曲率为+1,0,-1。对应于球面，平面，双曲面。
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