微分形式的不变量
前面说到研究
的一个给定表达式在什么情况下可以通过形如xi=xi'(x1',x2',..,xn'),i=1,2,...,n的变换变成另一个表达式而保持ds^2的值不变，于是人们知道流形可以有不同的坐标表示。然而流形的几何性质必须和选取的坐标系无关，从分析上来说，这些几何性质将由不变量表示，即一个表达式的形式在坐标变换下不变，在不同坐标系中它在一个给定点有相同的值。在黎曼几何中人们研究的不变量包括含有微分dxi,dyi的基本二次形式、系数的导数和其它函数的导数，称为微分不变量。
以二维情形为例，设
是一个曲面的距离元素的平方，如果坐标变成u'=f(u,v),v'=g(u,v)，有定理说高斯曲率K=K'，即高斯曲率是一个纯量不变量，不变量K也称为属于形式ds^2的不变量，只包含E,F,G和它们的导数。
微分不变量的研究最初是拉梅在一个较局限的范围内开始的，他感兴趣的是三维空间中从一个正交曲线坐标系变换到另一个坐标系的不变量，对直角笛卡尔坐标，他证明了%5E2%2B(%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%7B%5Cpartial%20z%7D)%5E2%2C%5CDelta_2%5Cphi%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cphi%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cphi%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%5Cphi%7D%7B%5Cpartial%20z%5E2%7D)
是微分不变量，如果Φ在一正交变换下变成了Φ'，同一点在原坐标系和新坐标系中的坐标系分别是(x,y,z)和(x',y',z')，在该点处有Δ1Φ=Δ1Φ'，Δ2Φ=Δ2Φ’。
对欧几里得空间的正交曲线坐标系，对形式为
，拉梅证明上面Δ2Φ（译文是“给定的Φ的梯度的发散量”，看楞了一下，应该是说梯度的散度吧）具有不变形式（至于是啥形式，略烦懒得打了），他顺便给出了上面给定的ds^2在什么情况下确定欧几里得空间中的曲线坐标系，以及如何将其变成直角坐标。
贝尔特拉米第一个研究了曲面论的不变量，给出了下列两个微分不变量。
这些量都有几何意义，如Δ1Φ=1，则曲线Φ(u,v)=常数是曲面上测地线族的正交轨线。
寻找微分不变量的工作之后发展到对n个变量的二次微分形式，这些不变量与坐标选取无关，代表流形的内蕴性质，如黎曼曲率就是一个纯量不变量。
贝尔特拉米用雅可比给出的方法成功把拉梅不变量转到n维黎曼流形，他证明拉梅的%3D%5Csum_%7Bi%2Cj%7Dg%5E%7Bij%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%7B%5Cpartial%20x_j%7D)
，即Φ梯度的平方的一般形式；以及%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bg%7D%7D%5Csum_i%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D(%5Csqrt%7Bg%7D%5Csum_jg%5E%7Bij%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%7B%5Cpartial%20x_j%7D))
。他还引入了混合微分不变量%3D%5Csum_%7Bi%2Cj%7Dg%5E%7Bij%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%7B%5Cpartial%20x_i%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20x_j%7D)
，即Φ和ψ梯度的数量积的一般形式。
形式ds^2本身在坐标变换下是一个不变量，正如前章说到的，克里斯托费尔推出的高阶微分形式G4和Gμ也是不变量，李普希茨对这种不变量的构造也做了研究，不变量的数量和种类繁多，之后微分不变量理论启示了张量分析。
