一、两通道正交镜像滤波器组理论
1.两通道正交镜像滤波器组原理
滤波器组包括分析滤波器组和综合滤波器组。分析滤波器组将信号分成M个子带，对每个子带做M倍的抽取。综合滤波器组做M倍插值，得到和原信号相同的抽样率，实现信号的重建。
当M=2时，分析滤波器组由一个低通滤波器和一个高通滤波器组成，把信号分成一个低通信号和一个高通信号。
对于一个给定的信号，经过分析滤波器后，再进行抽取、编码、传输，可以通过零值内插、综合滤波器滤波、求和运算得到恢复和重建。重建后的信号与原始信号存在误差，误差来源包括：
-
混叠失真
抽取和内插产生的混叠和镜像带来的误差，导致分析滤波器组和综合滤波器组的频带不能完全分开。 -
幅度失真
由于分析和综合滤波器组的频带在通带内不是全通函数，其幅频特性波纹产生的误差。 -
相位失真
由滤波器相频特性的非线性所产生的误差。 -
量化失真
由编、解码产生的误差，与量化噪声相似，这类误差无法完全消除，只能设法减小。
采取以下方式消除混叠失真：
当两通道无混叠滤波器组的分解滤波器满足时，该滤波器组为正交镜像滤波器组（quadrature mirror filter bank，QMFB）。
2.完全重建QMFB遇到的问题和解决办法
问题
由假设得到的不满足通带尽量平、过渡带尽量窄、阻带尽可能快速衰减的要求。
-
解决办法
从滤波器组的核心作用出发，尽可能把输入信号分成两个子带信号，且频谱尽量不混叠。1.用FIR QMF滤波器组，去除相位失真的前提下，尽可能的减小幅度失真，近似实现完全重建。
2.用IIR QMF滤波器组，去除幅度失真，不考虑相位失真，近似实现完全重建。
3.修正QMF滤波器的关系，去考虑更合理的形式，从而实现完全重建。
3.完全重建QMFB的设计
- 选定
，对应不同的输入信号 ，改变
的大小求出均方误差
，通过比较得到最优的
- 固定
4.完全重建QMFB的仿真实现
(1)确定值
选定，给定不同的三个输入信号
，改变
的大小求出相应的
，得到最优的
值。三个输入信号如下图所示：
结论：对输入信号一般有：N>127时，不能用matlab实现QMFB的设计；N=41时mse最小，重建效果最好。
(2)确定值
选定，以不同的输入信号 ，改变
的大小求出相应的
，通过比较得到最优的
值。
结论：当时，重建效果最好，
时，不能实现。这样，便获得了最佳的
和
。
二、MATLAB实现
- 获得一个完全重建的双通道FIR滤波器组
N=41;
w=0.43;
[h0,h1,g0,g1]=firpr2chfb(N,w);%获得一个完全重建的双通道FIR滤波器组
[H1z,w]=freqz(h0,1,512);%512点的频率响应
H1_abs=abs(H1z);H1_db=20*log10(H1_abs);
[H2z,w]=freqz(h1,1,512);%512点的频率响应
H2_abs=abs(H2z);H2_db=20*log10(H2_abs);
- 滤波器h0和h1的幅度响应
figure(1);
plot(w/pi,H1_db,'-',w/pi,H2_db,'--');
axis([0,1,-100,10]);
grid
xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度,dB');
sum1=H1_abs.*H1_abs+H2_abs.*H2_abs;
d=10*log10(sum1);%用于画误差图
可以看到，两个幅度响应一个为高通，一个为低通，二者相加占满了整个通道，并且两个滤波器镜像对称。
- 幅度响应关系误差
figure(2)
plot(w/pi,d);grid;
xlabel('\omega/\pi');ylabel('误差,dB');
axis([0,1,-0.04,0.04]);
误差在0.01的数量级，说明误差很小，几乎可以忽略不计。
- 三种输入信号
%%%%%%%%%%%%%x1(n)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x=zeros(1,500);
x(2)=1;x(3)=1;
x(6)=2;x(7)=2;x(8)=2;
x(17)=1.5;x(18)=1.5;x(19)=1.5;
x(24)=1;x(25)=1;
x(33)=3;x(34)=3;x(35)=3;
%%%%%%%%%%%%%%x2(n)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x=zeros(1,500);
x(1)=1;x(2)=1;x(3)=1;
x(9)=2;x(10)=2;x(11)=2;
x(16)=3;x(17)=3;x(18)=3;
x(24)=4;x(25)=4;x(26)=4;
x(33)=3;x(34)=3;x(35)=3;
x(41)=2;x(42)=2;x(43)=2;
x(49)=1;x(50)=1;x(51)=1;
%%%%%%%%%%%%%%x3(n)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
n=1:500;
T=0.2;
x=sin(n*T);
- 抽取与插值
hlp=mfilt.firdecim(2,h0);
hhp=mfilt.firdecim(2,h1);%2倍抽取
glp=mfilt.firinterp(2,g0);
ghp=mfilt.firinterp(2,g1);%2倍插值
x0=filter(hlp,x);
x0=filter(glp,x0);
x1=filter(hhp,x);
x1=filter(ghp,x1);
xidle=x0+x1;%理想输出
xshift=[zeros(1,N) x(1:end-N)];
e=xidle-xshift;%重建误差
mes=sum(abs(e).^2)/length(e)%计算均方误差
fvtool(h0)%画h0图像
滤波器的通带近似为一条直线，过渡带很窄，阻带的最大值为-70dB，很好地满足了目标要求。
- 作图（以
为例）
%%%%%%%%%%%%输入信号%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure(4);
plot(x);
%%%%%%%%%%理想输出信号与重建输出信号%%%%%%%
figure(5);
axis([0,500,-1,1]);
plot(xshift,'r');hold on;
plot(xidle,'-');
axis([0,600,-1.1,1.1]);
%%%%%%%理想输出信号与重建输出信号的偏差%%%%%%
figure(6);
plot(xshift-xidle);
理想输出信号与重建输出信号看不出太大的偏差，误差的数量级也在，可以实现QMFB的近似重建。
