Image denoising: From classical to state-of-the-art approaches
abstract
在统计分析和函数分析的交叉点上，高效的图像去噪算法一直是人们不懈的追求。在灰度成像方面，文献中已记载了大量的去噪算法，尽管如此，这些算法的功能水平仍然有获得期望的适用性水平的余地。影响图像像素的噪声通常是高斯噪声，均匀地抑制图像中的信息像素。基于一些特定的假设，所有的方法都是最优工作的，但是在一般情况下，它们倾向于创建人工制品并删除精细的结构细节。本文对去噪领域的一些重要工作进行了分类和比较。
1. Introduction
由于各种记录设备固有的物理限制，在图像采集期间，图像变得容易表现出一些随机噪声。噪声可以理解为阻碍图像观察和信息提取过程的基本信号失真。图像噪声的抑制是图像分析和处理的基础，因此在图像去噪领域取得的任何进展都有助于加强我们对基本图像统计和处理的理解。
随着经常在恶劣的大气/光照条件下捕获的数字图像生成量的大量增加，图像恢复方法已经成为当今计算机辅助分析时代不可或缺的工具。在各种图像中普遍存在的各种噪声中，加性高斯白噪声(AWGN)、脉冲噪声(椒盐噪声)、量化噪声、泊松噪声和散斑噪声是文献中讨论最多的噪声[2]。AWGN 主要出现在图像采集和传输期间的模拟电路中。其他类型的噪声(如量化噪声、脉冲噪声、散斑噪声和泊松噪声)的普遍存在主要是由于图像采集过程中的错误制造、比特误差和光子计数不足。
有各种各样的数字图像，在不同的应用领域提供有价值的信息，如医学成像，遥感，军事和监视，机器人和人工智能。这些图像的污染不可逆转地破坏了图像的可解释性。因此，图像去噪方法在医学成像、遥感、军事与监控、生物识别与取证、工农业自动化等领域有着广泛的应用。
1.1 Noise suppression
数字形式的图像可以假定为以灰度或彩色像素强度值作为元素的矩阵的编码形式。当然，对于视频来说，这个矩阵有第三维的时间。在灰度图像的情况下它可以称为一个信号的两个维度即。,
是在图像位置
处的像素强度值。彩色图像中
是假设红色、绿色和蓝色的一个三元组。为了保持简单性，本文将仅限于灰度图像，除了简要提到颜色域去噪[1,8]。该方法选择了基本的初级灰度图像去噪，可以显式插值到彩色图像和三维视频。图像噪声模型可以有序地近似为:
其中表示真实信号值，
表示位置
处的噪声。噪音在本质上可以是加性的或乘性的。通常发现它是独立的、同分布的，均值和标准差均为零𝜎.在电荷耦合器件照相机中，由于光子不足，电子电路中可能存在噪声(热噪声)计数(光子噪声)或者它可以是量化噪声。然而，AWGN 噪声在实时应用中最常见，因此 AWGN 模型是本文的主要关注点。
图像是一种非常有趣的数据形式，它由多个实体组成，例如平滑的均匀区域、边缘、轮廓和峰值，这些都是由像素强度的灰度值逐渐变化而产生的。低强度像素值是重要的确定图像中物体的整体形状和形状，而图像的高强度像素值或像素强度值的高水平变化形成边缘和特征。精细的特征细节和边缘对于更高层次的信息分析、理解和提取具有重要意义。噪声的随机表现不可避免地破坏这种有价值的像素信息。
在过去的二十年中，研究人员不断发展出有效的去噪算法，旨在从扭曲的图像中恢复合理的估计，同时保留精细的特征和边缘。由于图像采集设备的技术水平不断提高，数字传感器倾向于提高像素分辨率;然而，孔径大小相近的传感器更容易受到噪声的影响，使得角色图像去噪算法变得更加重要。与硬件和光学系统相比，面向软件的方法大多是与设备无关的，因此被广泛使用。
在探索和开发数字信号处理理论和工具的同时，研究人员已经尝试了各种各样的数学科学工具，以制作一种算法，以消除噪声，同时保持尽可能多的特征细节。谱分析、多分辨率分析、偏微分方程、概率论、统计学等多学科的去噪方法已被广泛应用。根据去噪算法的类型，广义上可分为:空域滤波、变换域阈值、随机场、统计模型、各向异性扩散方法、字典学习方法和混合方法[4]。除这些主要的去噪方法外，还包括基本的自适应滤波器、各种统计估计器、随机分析、形态分析和阶数统计量[5]。
原始和完善的空间域方法包括局部和非局部滤波器，利用像素或图像块之间的相似性。基于字典学习和变换域的方法都考虑将图像变换到频域，在频域中利用变换系数的相似性和差异性。它们之间的区别在于变换域方法使用固定基函数来表示图像，而基于学习的方法使用冗余字典上的稀疏表示[6,7]。在本文中，我们尝试将各种去噪方案的发展和建立的层次布局从邻近像素的基本平均简化为更复杂的混合技术。图1给出了各种图像去噪方法的大致分类。
本文结构如下:
•第2节介绍了各种空间域滤波方法。
•变换域方法和各种阈值方案将在第3节中讨论。
•其他领域的方法，包括基于统计和概率分布的方法将在第4节中讨论。
•第5节讨论了几种混合域方法。
•稀疏表示和字典学习方法将在第6节讨论。
•第7节和第8节分别介绍了图像去噪的最新趋势和应用。
•第9节需要对各种最先进的方法进行评估的实验设置。
•文章在第10节结束。
2. 空域滤波Spatial domain filtering
理想情况下，人们认为滤波是去除图像噪声的首要解决方案，即抑制不需要的像素强度值变化。的确，信号滤波是基本图像处理的基础，长期以来一直用于平滑、锐化、边缘检测和对比度增强。在spa域算法中，利用候选像素之间的相关性对单个块去噪。在空间域中，将该运算集直接应用于图像矩阵，而在变换域滤波中，首先将图像矩阵映射到相应的变换系数中，然后进行阈值化处理。
根据滤波过程中所使用的候选像素的选择方式，可以将滤波器分为局部滤波器和非局部滤波器。图像去噪算法的基本原理是，噪声在像素之间是不相关的，并且真实信号像素强度彼此相关。
2.1 局部滤波器Local filters
如果对像素去噪的滤波器支持受到空间距离的限制，则认为该滤波器是局部的。非局部滤波器利用图像中整个像素范围的相关性。常用的局部降噪滤波器有高斯滤波器、最小均方滤波器、双边滤波器、维纳滤波器、苏珊滤波器、各向异性扩散滤波器、秩滤波器、转向核回归(SKR)、度量转向核回归和训练滤波器[6]。
线性平移不变滤波最简单的类型是平均滤波或均值滤波或框滤波，它生成每个像素的输出作为给定窗口中相邻像素的平均值。这些线性滤波器倾向于将图像矩阵与滤波掩模进行卷积，产生邻域值的线性扩展。这种类型的空间滤波是最原始和最简单的噪声去除形式，然而，它们会产生大量的边缘平滑，糟糕的特征定位和细节损失[1,6,8]。图2描述了基本平均滤波器的布局。
另一类线性滤波方法是高斯滤波(GF)[12]和韦纳滤波[13,14]，它们不使用邻近像素的均值。维纳滤波器是一类最优线性滤波器，它涉及到从另一个相关序列对一个期望的信号序列进行线性估计。GF是一种典型的线性滤波器，属于局部滤波器的范畴，具有各向同性的特性，在图像去噪中得到了广泛的应用。高斯滤波在文献中具有特殊的意义，因为高斯函数的傅里叶变换是真实的，而且它们的形状很容易指定。GF总是假定邻近的像素是同质的，并且有平滑的spa变化。然而，在GF滤波器中，权值随着距离中心的距离增加而衰减，导致边缘模糊。大多数局部去噪滤波器主要是在高斯滤波的基础上即兴提出的，以提供更好的边缘保存能力。这些LTI滤波器虽然形成了一个简单和时间效率高的解决方案，但往往会删除重要的结构信息和边缘细节，这对图像分析至关重要。因此，各种其他的非线性过滤器被提出，以解决他们的即兴和创新的想法的方式的限制。古老的中值滤波[8,15]、加权中值滤波[16]和Rank滤波[17]是正式开发并在文献中记录的非线性滤波器的基本和最琐碎的例子。在中值填充中，根据亮度(强度)对相邻像素进行排序，中值成为中心像素的新值。
为了保持图像边缘、图像细节、图像几何形状和克服高斯模糊，提出了各向异性扩散滤波(ADF)，其思想可回到Perona和Malik (PM)[18]。ADF插值高斯滤波，通过对图像u在x处仅在其梯度Du(x)正交的方向上卷积。简单地说，ADF是求解各向异性热方程的过程，热方程是一个二阶偏微分方程。它是一个非线性扩散过程，提出它是为了克服线性扩散滤波带来的模糊和不佳的局部化问题[19,20]。
ADF是一种保持边缘的图像去噪算法，它采用非均匀过程来减少边缘位置的扩散，并在均匀区域或强度变化较小的区域进行扩散。Perona和Malik给出的修正热方程(AD)形式为[21]:
其中是在实例s处获得的图像，div是是散度算子， ∇是梯度算子，以及 h(.)为扩散系数或边缘停止函数。扩散系数h(∇u)为局部图像梯度。
扩散量的大小与梯度值或边缘成反比。在同质或均匀区域内，梯度值较小，因此 h(∇u)接近 1, 因此去除或平滑均匀区域，而在接近边缘或边界的情况下，扩散系数接近 0，因此保留边缘[21]。扩散系数可以是以下两种形式中的一种:
H(.)为正非递增函数，r为对比度参数或梯度模阈值，控制去噪量。扩散系数作为一个典型的边缘停止函数，它假设边缘或梯度周围的值为零。
它是一种典型的非线性特征保持去噪算法，是解决成像技术问题的一种独立技术。根据Dogra等人[22]的研究，利用各向异性扩散滤波可以有效地去除能掩盖图像解释特别是医学诊断的伪影。
自Perona和Malik引入pde以来，已有大量文献提出了许多基于pde的各向异性模型，这些模型提供了不同的修正，以获得稳态解并解决楼梯效应问题[23-30]。楼梯效应在图像中呈现出一种视觉上不愉快的人工显示，并经常作为假边缘而困扰。例如Qui等人提出了一种鲁棒山脊检测器，基于非局部导数的保持特征的扩散滤波过程[31]。此外，在[32]中，Catte等人提出了一种基于每次迭代前预去噪的高斯滤波技术作为改进的PM模型。科学家们也研究了高阶偏微分方程，并证明了它能有效地减小阶梯效应。一些工作也使用四阶偏微分方程(FPDE)进行，并产生了令人满意的去噪结果[33-35]。Lu和Tan在2013年提出了一种采用多种导通系数的四阶偏微分方程去噪模型，与传统的基于PDE的二阶模型[36]相比，四阶偏微分方程去噪模型能更好地保留边缘和特征。由You-Kaveh给出的另一项基于FDPE的极具开创性的工作是利用分段谐波函数从噪声图像[37]近似无噪声图像。虽然已有大量基于FPDE的研究，但由于基于FPDE的模型衰减图像高频系数的速度远快于基于PDE的模型，因此在滤波后的图像中往往会产生散斑噪声并使步长边缘过光滑。
[38]中的Chao和Tsai给出了一种结合局部梯度、灰度方差和边缘停止函数的PDE算法，获得了更好的边缘保持能力。Gilboa et al. [39] in-引入了自适应扩散过程，该过程采用正向扩散和反向扩散过程，在平滑区域抑制噪声像素的同时引入了更好的边缘增强方面。对基于ADE的方法的层次结构及其在图像去噪领域的扩展应用进行了有趣的综述，并给出了正则化ADE模型，该模型具有稳态非平凡解。
在[40]中，提出了一种基于自适应阈值的ADE模型。为了进一步提高去噪性能，Ghita等人[41]提出了一种改进的梯度矢量流算法。另一个领域的工作，基于ADE滤波得到了很多的重视，它使用方向拉普拉斯算子，在原始图像中产生边缘方向扩散系数[4,42]。
从各向异性扩散滤波perona Malik模型中获得灵感的文献中已经记录了大量的工作，在本节中只简要介绍了其中的一些。它们是一组非线性滤波技术，设计了一组方向和梯度级别，从而更好地保持边缘,与其他基于正则化的过滤器相比的能力。尽管事实是，许多即兴的ADE-PM模型已经建立了它们的适用性，但它们仍然倾向于锐化边界，失去纹理细节[4]。
大多数空间域滤波器都是基于空间邻近度来推导的，而邻域滤波器则考虑灰度相似度来定义邻域patch。著名的Yaroslavsky滤波同时考虑了空间距离和灰度相似性来进行平均[46,47]。双边滤波器(BF)是由Tomasi和Munich提出的一种改进的邻域滤波器，它加权到参考像素的距离，而不是遵循固定的邻域[48]。
类似地，另一种基于邻域滤波的空间滤波方法被称为最小单值段同化核(SUSAN)[49]，用于增加边缘保留。它构造了与中心像素等距离的所有像素的平均值。
BF在去噪过程中同时考虑了灰度相似度和空间贴近度。它滤除了属于参考像素区域的噪声，保留了图像的边界和清晰的边缘。在[4,50]中已经建立，BF是特定类型的PDE-AD模型的一种离散形式。对空间上接近且像素强度相似的像素进行平均，使权值随与参考像素距离的增加而衰减。近年来，人们对BF的改进进行了大量的研究，如加权双边滤波器、鲁棒双边滤波器、快速双边滤波器、多分辨率双边滤波器[50]等。
Elad在[51]中指出，双边滤波类似于加权最小二乘最小化的雅可比迭代。双边滤波过程简单、非迭代，但由于BF采用蛮力实现，计算复杂度随邻域半径的增大呈指数增长，直接实现速度较慢。2011年，Chaudhary等人提出了一种更快的BF算法，采用三角范围核函数而不是考虑欧几里得空间距离[52]。2013年，[53]给出了加速BF的另一种方法。Chaudhary等人提出了一种确定快速的双边滤波图像去噪方法，该方法将原始双边滤波和其加权修正相结合，以最小化均方误差[54]为目标，得到加权双边滤波(WBF)。除此之外，[55-57]中还给出了其他几种加速形式的双边过滤。
根据Frabman和Durand的研究，BF倾向于在图像的高动态范围细节分解和压缩中产生梯度反转伪影[55,58]。也可以清楚地看到，在[59]BF不工作，在低噪音水平。虽然双边滤波能够保留边缘，但也往往保留一些不需要的噪声系数。此外，当噪声的标准差超过边缘对比度时，该方法得到的图像[48]恢复较差。
在[60]中，Jin等人介绍了一种对BF采用加权函数的算法，其中选取中心像素或向量中值作为滤波过程的一部分。[61,62]给出了基于经验研究的双边滤波器模型，即多分辨率双边滤波器。在Peng等人的工作中，基于Stein无偏风险估计的最小化给出了向量参数选择的优化方法[63]。流行的联合双边滤波利用全局来自两幅相关图像的信息[64]。另一种基于双边滤波器的理想解释的滤波器是引导滤波器[65]。该滤波器的实现比传统的双边滤波器更快，并且从引导图像中导出其边缘停止函数。这个过滤器有一个自动时间实现，独立于 win- dow 半径 k，它可以在实时应用中自由选择任意大小的内核。它还能够在一定程度上缓解梯度反转假象的问题。
除了这些过滤器，各种其他过滤器，即指导核回归 (SKR)，米制SKR，KSPR 和训练过滤器将在本文的后面部分简要介绍。
前一节简要介绍了局部空间域滤波器，并追溯了它们在去噪领域的逐步发展。因为实现局部滤波器的基本思想是利用像素之间的相关性，所以它们在高噪声水平下往往表现不佳，因为像素之间的相关性被升高的噪声水平严重破坏。
2.2 非局部滤波器
在…里[2]除了对当时已有的图像去噪方法进行分类之外，基于实验方法引入了一种滤波器，以便以非局部方式或在整个图像中利用像素之间的相似性，这种滤波器通常被称为非局部均值(NLM)滤波器。这项开创性的工作清楚地表明，非局部图像特征之间的自相似性是图像去噪领域最大的潜在基础。NLM 滤波器利用图像中相似特征或模式的存在。在BF 中，生成给定面片中像素的加权平均值，权重不仅取决于地理测量距离，还取决于上下文相似性。非局部滤波的方法也可以理解为利用参考和所选像素周围的两个面片之间的欧几里得距离。NLM 算法是典型的逐点去噪方法，仅针对单个点生成无噪声像素，参考像素邻域之间的相似性直接影响滤波器权重。
在原 NLM 滤波器的介词之后[2]之后，为了加速滤波器的实现并随机产生定性和定量的结果，已经开发了几种随机方法。张等人介绍了一种用于图像去噪的双向非局部变化模型，该模型利用了这样一种思想，即如果将相似的块排列成矩阵，则行和列呈现相似性 [66]。为了加速NLM，通过确定均值和梯度来生成候选面片的精确集合，以预先选择有贡献的邻域[67]。在王等人 2012 年的另一项工作中，为了对纹理图像进行去噪，提出了 Gabor 特征非局部算法[68]。一个改进的 NLM (INLM)已经在[69]，通过在加权函数中假设对称，并通过递归平均滤波器(双平方鲁棒函数)的对称移动计算欧几里德距离，极大地改善了原始 NLM 的e cacy ffi 。基于预阶段处理，以迭代方式执行该方法导致更好的补丁分组。这种改进的基于双平方的鲁棒权重计算减少了细节损失。尽管该滤波器去除了额外的噪声，但由于后期处理，它往往会模糊细节。
Xu等人受到NLM的一些改进版本的启发，提出了一种用于遥感图像去噪的基于patch-grouping NLM (NLMPG)算法[70]。该算法主要利用Coupe等人[71]给出的Block-wise NLM算法，在两个方面表现出即兴性:通过选择最相似的patch来削减冗余;根据图像patch的方差自定义中心patch的滤波常数。该算法比现有的NLM即兴算法和k - svd (k均值奇异值分解)算法具有更高的性能。
NLM 的其他各种即兴创作也在[72,73]。虽然 NLM 是第一个利用像素范围内的自相似性的滤波器，但是它引入了伪像和性能退化当图像缺少相似的补丁时。非局部图像特征的概念开发，以保留边缘和细节，同时去除噪声，仍然是大多数最先进的图像去噪算法的潜在想法，这将在本文的后面部分讨论。
除此之外，在空间域图像去噪方面，还有许多其他数学概念在文献中被广泛使用。形态滤波就是这样一个课题。形态学操作处理提取图像特征的工具，这些特征在形状的描述和表示中是有用的。形态滤波包括用于平滑图像和去除噪声的打开和关闭操作。打开操作可以平滑对象的轮廓，打破狭窄的凹陷并抑制明亮的峰值，而关闭操作通常会融合狭窄的凹陷，消除小孔并减少较暗的细节[74]。
然而，为了自适应地去除图像中存在的噪声量，Graham Treece 已经开发了基于形态滤波的非常新的滤波器。二次谐波滤波器遵循二次谐波的原理，即它保留了局部二次谐波的信号内容(在给定范围内只包含一个最大值或最小值)，并重新移动，连续改变噪声像素。该滤波器在低至高噪声值方面表现出了良好的效果。仿生滤波器是一种典型的非局部滤波器，它构造开、闭滤波器权值的加权高斯输出。它是一种自适应图像去噪方法，在去除噪声的同时保留了边缘，不需要噪声量的先验知识。在 AWGN 和脉冲噪声的情况下，该滤波器显示出比高斯、中值和开关和关-开滤波器更好的去噪性能[75]。
任何去噪算法的主要目标是保留尽可能多的精细特征细节，同时去噪图像到一个标志显著的清晰度，表示和解释水平。大多数过滤器的工作原理是简单地在边缘检测点禁用降噪机制。然而，当噪声强度变化超过边缘不连续时，这些滤波器倾向于遵循类似的准则。因此，尽管spa域滤波器取得了高水平的性能，但总是要以普遍的噪声为代价来保留特征。噪声是随机的，假设其频率较高，而真实信号的频率较低，本质上是重复的，因此可以很容易地去除较高的频率，从而达到去噪的目的。然而，边缘和特征往往不是重复的，具有较高的频率，去除它们会导致边缘损坏和信号模糊。因此，这些空间域滤波器不断地努力去除高频噪声而不是高频信号，这仍然是空间域滤波中最具挑战性的问题。
此外，空间域滤波器在边缘附近容易出现梯度反转和晕轮效应。此外，由于滤波器的窗口大小和卷积过程大，空间域滤波器速度慢，计算效率低。在某些情况下，它们会造成阶梯和罕见斑块效应，在某些情况下，它们往往会导致边缘过度模糊。因此，需要设计一个综合了多种技术的通用框架，既能解决图像去噪问题，又能保留图像的轮廓、边缘、特征和细节。
由于图像去噪计算复杂度高，且在空间域上难以区分噪声和尖锐特征，研究人员开始采用变换域技术进行图像去噪。
变换域滤波器依赖于不同类型的阈值来区分边缘和噪声，在数字信号处理和多分辨率分析领域一直是最重要的。下一节主要介绍基于变换的图像去噪方法及其优缺点。
3.变换域去噪
与空间域技术中的目标方法相反，变换域方法利用稀疏性的特性，即信号可以用更少数量的非零 coe cients ffi 表示，或者图像可以表示为少数高价值 coe cient. ffi 的线性扩展这一特性使得它们在一维和二维领域都是非常适用的数字信号处理工具。像定位、各向同性、多分辨率和基函数在不同方向上的方向这样的表征属性是图像变换方法的主要属性。在这一类别中有大量可用的变体，例如傅立叶变换(FT)、快速傅立叶变换(FFT)、离散余弦变换(DCT)、小波、曲波、可控小波、脊波、完整波、曲 波、 轮廓 波、 楔波 、小 带、 方向 波、 剪切 波和 方向 滤波 器组[1,6,8]。
FT和DCT在图像去噪和压缩中得到了广泛的应用。虽然DCT的图像恢复过程简单，但重建的图像显示出阻塞的事实，在保持图像的边缘特征和细节方面严重失败。FT的主要缺点是它的基函数长，而多分辨率工具-小波变换表现出稀疏性(非零系数很少)。小波比傅里叶变换更受欢迎的主要原因是小波在空间和时间上都提供局部定位，而傅里叶变换只在频率上进行局部定位。与DCT相比，离散小波变换(DWT)使用更多的最优函数集来表示尖锐的边缘。此外，在高通子带的情况下，DCT能够提供更高的频率分辨率和更低的空间分辨率。大量的文献表明，小波变换在有效的图像恢复和无损压缩方面优于FT和DCT[76]。
1989年Mallat提出的小波变换多分辨率信号分解理论给图像处理和计算机视觉领域带来了一场革命[77]。
多分辨率表示工具(MRT)有效地提供了图像信息解释的层次化框架。在较粗的分辨率下，图像可以通过较大的结构来查看，这些结构主要识别图像的上下文。随着分辨率的提高，精细的结构被分析。MRT的这一特性在模式识别和计算机视觉中非常有用。
离散小波变换(Discrete Wavelet Transform, DWT)是通过对连续小波变换进行离散化得到的一种数学工具，它是一个平移和膨胀因子，从而以滑动窗口的方式包含了不同尺度的整幅图像。小波变换的能量压缩特性，即图像中的大部分信息被编码在少数高值系数中，是小波变换得到广泛应用的主要原因之一[78,79]。
小波变换采用低通滤波器组在粗电平上构造图像的近似电平，采用高通滤波器组在细电平上构造图像的详细电平。每一层近似进一步分解为下一层次的图像表示。
小波变换采用若干母小波，为信号分解提供基函数。著名的小波族有双正交、Coifflet、Daubechies、离散Meyer、Haar小波、反双正交小波和Symlet[80-84]。母小波的效率和适应性受滤波器长度、正交性、紧支持度和平滑度等因素的影响。Daubechies或DbN是最常用的母小波函数，因为它们被证明最适合于纹理和特征分析。
基于小波的去噪方法通常将图像内容变换成不同分辨率和尺度的多个子带。较大的频率系数包含低频图像信息(近似级)，高频子带存在噪声和细节。通过阈值化去除较小系数的噪声，最后将系数进行空间域反变换恢复图像。这可以从图3中进一步理解。
在多分辨率的子空间中，噪声与真实信号的不相似性突出表现在低分辨率下，信号成分，即边缘或重要的几何结构，超过了噪声像素[85]。去除噪声的基本思想是，可以对高频区的小波系数进行阈值化，并保留低频区的高幅值系数，这些系数不太可能是噪声。小波阈值的性能主要取决于两个标准:一是小波基或母小波的选择，即Haar, Daubechies等，另一个是所有层次的所有子带的阈值的选择。
3.1 阈值化
图像去噪领域中较大的挑战在于阈值的选择。例如，较大的阈值会导致信号特征的缩小，导致信号的过平滑或模糊，而较小的阈值可能会留下较多的与噪声信息相关的系数。Donoho和Johnstone在1995年给出的阈值函数主要有两种类型:硬阈值(HT)，其中每个值与阈值比较，较低的值用零代替，另一种是软阈值(ST);其中大于阈值的系数用阈值相减进行修正[86,87]。HT导致突变，导致人工图像的生成，而ST有时倾向于过度平滑恢复的图像。就图像的视觉外观而言，ST优于HT。然而，已有文献报道，由于保留了边缘信息，硬阈值比某些情况下的结果更好[88]。
ST常引起恢复图像的误差和偏差。为了解决这一问题，文献中包含了一些设计最优阈值函数的即兴方法。例如，为了克服ST和HT的局限性，提出了双曲线函数[89]、最优线性插值收缩算法[90]。此外，Fodor和Kamath在2001年提出了类似于ST、半软阈值和Garrotte阈值的阈值[91]。这些阈值对信号的微小变化具有较高的敏感性，产生的结果均方误差较小。选取合适的阈值，根据收缩函数对小波系数进行修正。通过对阈值系数的逆变换得到恢复后的图像。
为了分析阈值设计领域的逐步进展，将现有方法分为三类[92,93]:
•非自适应通用阈值:对所有子频带选取唯一阈值
•子频带自适应阈值:对子频带中所有系数选取一个阈值
•空间自适应阈值:每个小波系数都有自己的阈值。
在这些类别下，表1列出了文献中存在的各种类型的阈值方法。
3.1.1 Universal threshold 通用阈值
首先，可以给出一个通用阈值(UT):
式中，L为信号长度，sigma为噪声方差。在大量样本的情况下，UT可以对恢复后的图像进行公平的估计[86]。
3.1.2 VISUShrink 阈值
VISUShrink是Donoho和Johnstone在1995年提出的一个非自适应的通用阈值。阈值可设为:
其中为AWGN的噪声方差，K为图像的距离。对于较大的K值，T visu也很高，因此它生成了一个相当平滑的估计。这种阈值虽然不能很好地适应图像的不连续，但比通用阈值具有更好的性能。在像素数达到无限的高概率情况下，它给出了最佳的渐近均方误差(Mean Squared Error)性能。但它往往会导致图像的过度平滑，导致较高的MSE[87]。
3.1.3 SURE-Shrink阈值
在设计自适应阈值方面，SURE-Shrink是第一次尝试，其中为每个细节子频带计算不同的阈值。它是通用阈值和确定阈值的混合，依赖于特定子带的能量。在能量系数高的情况下采用SURE阈值，在子带稀疏的情况下采用UT，性能优于VISUShrink。每个分辨率级别的阈值是:
其中K为具体细节子带中的小波系数个数，采用t最小化SURE， sigma为噪声方差。SURE-Shrink最小化了MSE，提供了比VISUShrink更好的性能，并且是平滑自适应的:即它保留了图像中的边界和不连续。
根据小波能量压缩的原理，信号的大部分能量集中在少数小波系数上，噪声分散在所有的小波系数上，lamba取决于特定波段小波系数的个数。在极端稀疏的情况下，由信号为零的系数所贡献的信息，泄露了非零信号小波系数所扩展的信息[94,95]。
3.1.4 BayesShrink阈值
BayesShrink是Chang等人提出的一个数学框架，它为每个细节子带中的广义高斯分布提出了一个数据驱动的自适应阈值。这样设计的阈值旨在最小化贝叶斯风险。
根据其数学框架[88,92,93]，噪声图像的方差可表示为:
其中{{\sigma}_y}^2为噪声图像的方差，{{\sigma}_x}^2为原始信号的方差，{{\sigma}_n}^2为噪声方差。
然后定义贝叶斯阈值[88]:
B k为各尺度小波系数，k为子带系数的总频数，sigma采用鲁棒中值估计方法计算。这种类型的阈值产生比SURE-Shrink更好的视觉效果。
3.1.5 Prob-Shrink阈值
Pi ž urica和Philips给出的probo - shrink是一个计算事件概率的概率收缩函数:给定的系数包含感兴趣的信号特征。该方法对无噪声数据采用广义拉普拉斯先验，计算概率与小波系数的乘积。在probo -shrink框架中，感兴趣的信号或信号小波系数超过阈值，导致较小系数的缩小和较大系数值的保留[94,96]。
3.1.6 SURELET
在[97]的一项工作中，提出了一种标准正交小波方法去噪。该方法将去噪准则直接参数化为权重未知的初等过程的非线性展开式。
该技术的目的是使干净信号和噪声信号之间的MSE最小。SURE (Stein’s Unbiased Risk Estimator)是一个统计上无偏的MSE估计器，它只依赖于噪声图像和它的最小化导致线性方程组的解。Luiser等人通过附加SURE的原则进一步即兴发挥了[97]中给出的工作。提出了一个典型的去噪过程可以表示为基本去噪过程的线性组合-线性耳阈值扩展(LET)。这种方法通常被称为SURELET。该方法已应用于灰度图像和彩色图像，以及混合泊松-高斯去噪[98]。
3.1.7 Neigh Shrink Sure (NSS)
Neigh Shrink (NS)是一种数据驱动的子带自适应阈值方法，该方法以待缩小的噪声系数为中心的平方窗为中心。这一方法是进一步临时提出，以介绍内径收缩SURE。NS采用非最优通用阈值，对所有小波子带采用相同的相邻窗口大小。然而，NSS为每个子带推导了一个最优阈值和基于邻近窗口大小的SURE。NSS的数学公式为:
lambda^s为子带S的最优阈值，K S为子带S的最优窗口大小，W S控制着SURE的最小化[99]。
3.1.8 Block Shrink
该方法对每个小波子带计算最优的块大小和阈值，以最大限度地减少确定性。这种类型的阈值同时保留或消除了系数。因此，它比SURE Shrink和Neigh Shrink更容易实现，性能也更好[100]。
阈值方法在图像去噪过程中起着至关重要的作用，每种方法都有各自的优缺点。本文简要介绍了文献中存在的各种阈值方法。通过利用尺度间和尺度内的相关性，这些方法得到了进一步的发展。BLS-GSM也是这样的一个例子，由于它在图像去噪方面得到了广泛的认可，在后面的章节中我们将详细讨论。变换域方法为去除图像特征和细节中的噪声信息提供了良好的假设条件，在图像去噪中得到了广泛的应用。
小波的以下特性使其成为一种非常流行的图像变换方法[6]:
•稀疏性:大部分信息包含在少数高量级系数中，其余系数很小。
•多分辨率:不同级别的不同子波段，包含不同类型的信息。这有助于在子波段上进行不同的操作，以提高精度。
尽管小波在为一维分段连续函数提供最佳逼近方面取得了显著的成功，但它们在最优表示图像中的多元函数方面并不是非常有效，因为图像通常由各向异性特征(如边缘)控制[101]。小波变换(小波变换)可以更好地表示一维信号，但在二维信号中，边缘和轮廓是重要的图像特征，对图像的理解和阅读能力至关重要，这些变换不能很好地工作。
小波变换的性能有限是由于它缺乏移位不变性，即输入信号的微小变化会导致不同尺度小波系数间能量分布的显著变化;当DWT系数是可分离的和实数时，对边的方向性差。在DWT的情况下，如果图像patch中的像素数超过了patch中的系数数，就会出现环现象。
为了克服与小波变换相关的这些问题，[102]中提出了流行的非decimated离散小波变换去噪。该方法能在一定程度上缓解DWT带来的问题，但会导致吞吐量冗余增加，计算效率低下。
此外，考虑到小波变换的位移方差和减小的方向灵敏度，Kingsbury在1998年提出了双树复小波变换(DT-CWT)，它借助Gabor滤波器提供了位移不变性和方向灵敏度。除此之外，它提供了更好的重构，有限的冗余和计算效率[103]。
在相似的线上，Fathi等人在[90]中对小波包进行了自适应阈值处理，以抑制医学图像中的噪声。与基本的小波阈值分割方法相比，该技术在不同噪声水平下的医学图像表现出了更高的性能。此外，在自适应定向提升方案中，除水平方向和垂直方向外，还在预测方向上应用ADL变换[104]。
在一种比较有趣的去噪方法中，采用了选择性小波收缩的思想。结果表明，小波系数的选择或剔除方法优于概率方法，因为前者在统计上便于识别估计参数的狭窄区间，最终具有较高的确定性调整小波系数。该方法根据小波系数的绝对值、多分辨率尺度的调节和空间规律性等特征选择小波系数。把几个大幅度系数组合在一起。第一个阈值选择较大的系数，第二个阈值选择表现出空间规则行为的子集。这种双阈值方法本质上是非迭代的，为实时处理提供了一个计算简单的解决方案[248]。
传统的基于正交、最大抽取小波的去噪方法由于缺乏移位不变性，出现了吉布斯现象等视觉伪影。Coifman在[105]中提出了“循环旋转”的概念，从而平均平移依赖性，解决视觉伪影。对于给定的一组移位，一旦数据被移位，它就被去噪，然后不被移位。通过对整个范围的移位和平均移位，这样得到的结果显示了更低的视觉人工制品的数量。小波域中另一个有趣的即兴创作是引入可导向金字塔[106]。
小波性能即兴创作的议程有三个方面:首先设计自适应阈值方法，以保留更多的高幅值信号系数，二是设计可提高去噪性能的双向敏感图像变换;三是将小波变换与其他领域的不同小波变换进行混合，以最大限度地利用非局部图像特征。
前面已经讨论了各种基于阈值的方法。此外，为了提高小波变换的性能，还采用了数据自适应和边缘保持的阈值方法。
例如，在Silva等人的工作中，首先将图像分割成一组块，然后利用小波变换得到系数。采用基于边缘强度的自适应阈值来抑制噪声系数[107]。2013年，Qiu等人提出了显式滤波器，称为LLSURE。该方法对滤波后的输出信号在局部窗口内进行简单的仿射变换。进一步，通过最小化SURE构造最优变换系数。该方法来源于SURELET和Guided Filter[108]。此外，还发展了统计噪声模型、MAP和马尔可夫随机场的方法，这些将在本文的另一节中讨论。
为了解决小波在高维时的局限性;1999年，Candes和Donoho开创了一种叫做Ridgelet的新表征系统，它可以有效地表示二维空间中与线条相关的sin- gulality[109,110]。后脊的思想是为了增强小波在Radon域上对点奇异的有效处理。在radon变换域的实现便于将线奇异映射为点奇异[111]。最初，ridgelets被提出用于连续空间，但是离散实现是一个具有挑战性的问题，因为直接实现连续框架的离散化，会导致空间坐标的插值，从而导致冗余和不完美的重构。
因此，2003年[112]提出了一种既可逆又冗余的有限离散脊波变换(finite discrete ridgelet transform, DRT)。该变换具有数值稳定性，并包含了自适应方案以及二维数字信号的方向和标准正交基。在图像去噪等应用中验证了该变换的特性。DRT具有内建的线性几何结构，这有助于直接对脊波系数进行阈值化，而小波域在对其阈值化之前先将相邻系数串联在一起。在该算法中，基本的建筑物黑色是radon变换[113]，这导致了包裹效应或混叠和几何失真。在[114]中给出的一项工作中有效地消除了包绕效应的问题。作者简单地采用了尺寸为3的有限radon变换。提出了一种多尺度图像去噪算法，在去噪的同时有效地保留了图像边缘。该方法采用了一个移动窗口金字塔，产生了更好的逼近线和曲线。
此外，2016年提出了一种自适应数字脊波变换(ADR)，作为一种多尺度图像分解算法，用于图像去噪。这种临时的方法考虑了图像的底层结构，从而更好地表达了线和曲线信息。实验结果表明，与脊波和曲波变换相比，该算法的PSNR得到了改善[115]。文献中也提出了一种标准正交有限脊波变换用于图像去噪[116]。除此之外，文献中也有其他的图像去噪算法，将脊波变换与其他方法结合起来，以提高其效果。这些方法属于典型的混合域方法，将在本文的后面部分进行讨论。
在脊波变换之后，曲波变换在图像去噪方面也得到了广泛的研究。曲波变换和脊波变换实际上是基于轮廓的图像表示领域的主要突破。
曲波和脊波的发展主要是为了扩大小波变换去噪图像的固有局限性。这个限制来自于这样一个事实，沿着图像的显著边缘，小波显示出大的幅度系数，甚至在更细的尺度，这样在大幅度系数的地图中，你可能会发现在每个尺度重复的边缘。这就意味着需要大量的小波系数才能有效地表示图像的边缘。这导致了更高的计算复杂性，因为有如此多的小波系数要处理。此外，基于小波的降噪方法所获得的MSE为噪声参数的阶数。然而，理论极限表明，它可以达到€4/3。因此，需要通过开发新的展开式来实现理想的MSE，该展开式可以有效地表示平滑函数，并边我们少数非零系数值。
这是一个普遍的理解，边是更多的“弯曲”参数，而不是直!在非常细的鳞片上，弯曲的边缘看起来是直的，所以应该以一种更局部的方式部署脊线，以捕获边缘。因此，Starck等人在利用子带滤波分离不同尺度的基础上发展了Curvelet变换，它是脊波变换的多尺度变体[117]。作者报告说，脊束、曲波同样出现在所有的尺度、位置和方向上。曲波除了具有变长变宽的特性外，还具有片状各向异性。长度和宽度之间呈抛物线尺度相关，各向异性在更高的尺度上增加。从[117]的实验分析可以看出，曲波系数的阈值化会导致平滑区域的近似最优解以及曲线上的不连续。
在文献[118]中，我们采用基于贝叶斯理论的软阈值法对曲波系数进行阈值化，以便从有噪声的电离线中重建电离线。在另一项工作中，提出了一种基于小波变换、曲波变换和脊波变换的新变换，即方差稳定变换(VST)，用于消除泊松噪声。这种变换也被普遍称为Anscombe变换的扩展[119]。
Curvelet变换的主要限制是它不是直接建立在离散域，也不能提供多分辨率几何。与其他方向变换相比，离散域的数学分析与实现涉及较多，但效率较低。除此之外，曲波缺乏或正正交性，没有严格采样。曲波域阈值化在强线性特征的同时，还会产生鬼影效应的视觉伪影。
在20世纪初，多尺度变换的设计大战开始盛行，一些成像变换，如Brushlets[120]、Wedgelets[121]、Beamlets[122]，通过有效的奇异性分析，极大地有利于图像处理领域。进一步地，考虑到值得注意的时间顺序，在曲波变换之后，出现了轮廓波变换时代。在目睹小波变换在二维不连续面表现的失败后，人们逐渐认为，除了精确的局部化和多分辨率分析外，新的二维结构还应该设计具有不同方向和不同纵横比的细长形状。
曲波变换可以实现这一切，但对于临界采样的曲波变换的离散化是相当具有挑战性的。因此，将小波上的曲波变换改进为用光滑和不连续的曲线来表示二维分段光滑信号，启发了Donoho和Vetterli设计了Contourlet变换(CT)。轮廓波变换是一种双迭代滤波器组结构，它解决了曲线的各向异性缩放方程，从而实现了快速的类似曲波的实现。轮廓线构造背后的主要思想是设计一种稀疏表示，从而提供跨越不连续点的平滑曲线。在基本理解中，边是指沿着物理物体形状的光滑边界的集合，不连续是强度的急剧变化。轮廓波变换在去噪方面优于小波和曲波变换。CT可以理解为利用小波变换进行边缘检测，利用方向变换对轮廓段进行定位。在双滤波器组结构中，使用拉普拉斯金字塔来获取不连续点，并使用定向滤波器组将基图像扩展为轮廓，换句话说，将点不连续点框成线性结构[123,124]。
根据Do和Vetterli[123]，采用细长基函数构造的contourlet具有较小的方向特征，而采用contourlet变换去噪往往会引入人工制品和Gibbs phe- nomena，因为它们是平移不变的。因此，在[125]中，Eslami和Radha使用基于周期旋转的轮廓波变换在图像去噪方面诱导方向灵敏度。与轮廓波变换相比，该方法在噪声标准差范围内对AWGN的去除效果良好。
由于在不同分辨率下的子采样，存在剪切缺乏平移不变性，这对图像去噪至关重要。因此，在Eslami和Radha的另一项尝试中，设计了平移不变的反tourlet变换，该变换采用了改进的方向滤波器组和一维小波变换的算法。连同二元收缩阈值，他们的方案提出了一种难以置信的去噪方法[126]。
在Cunha等人的工作中，提出了完全多尺度、位移不变且具有快速方向扩展的非下采样卷积变换(NSCT)的概念。它采用非下采样的金字塔银行和滤波器银行，省去了二维分解的需要，从而消除吉布斯现象。NSCT与硬阈值和局部自适应阈值相结合，产生比contourlet变换高得多的PSNR[127]。其他一些基于轮廓波变换的图像去噪的重要工作见[128-130]。
抛物标度律的推广研究导致了另一种有趣的多分辨率分析工具的设计，即Rip- plet Type-1变换。该变换是曲波变换的一种高阶推广;当c = 1, d = 2时，RT收敛为曲波变换。涟波变换在图像去噪方面显示出与曲波变换相当的良好效果[131,132]。脊波解决沿直线的不连续，而反波和涟波则局限于解决沿平滑曲线的不连续。但这些变换无法解决沿边缘和轮廓的不连续。在设计一个变换时，必须使用具有更高方向敏感性的基元，比经典小波具有更多的形状和方向。在这种不断进化的新变换设计中，一些主要的变换是bandlets [133]， haarlet [134]， ranklet [135]， morphlet [136]， tetrolet[137]，以及在[138]中可以找到的更多的变换。为了去除泊松噪声，Luiser等人提出了PURELET(泊松无偏风险估计阈值线性扩展)。它有两个功能，一个是信号保存，另一个是在有散粒噪声时的噪声抑制。PURE去噪函数使用非归一化的Haar小波变换[139]。文献中已经报道了许多同时针对高斯噪声和泊松噪声的方法.
在阈值的线性扩展过程中，设计了多种图像变换。本文在一定程度上讨论了去噪领域中的一些重要变换，而有些只是提及。
在经历了一大波变换之后，文学作品中又出现了另一个高度定向敏感变换的时代，很少出现Shearlet变换、Directionlet变换和Framelet变换。由于这些变换在图像去噪方面在PSNR、SSIM和视觉质量方面表现出了优异的性能，因此在下一节将简要讨论它们。
在阈值的线性扩展;多方向(M-DIR)和方向消失矩(DVM) (w = o处为零;稀疏表示(稀疏表示)是使其适合于任何图像处理任务的主要特性。二维小波变换的效率受到其空间各向同性、卷积过程以及水平和垂直方向不可分离滤波的限制。曲波和轮廓波在一定程度上提供了各向异性，但它们在实现过程中需要过采样，并且非常复杂。Velisavljevic等[140]提出了一种基于整数格的多方向各向异性变换，将其命名为Directionlet。DT是沿任意两个方向具有方向消失矩的各向异性多尺度几何变换。它具有良好的重构和严格的采样基函数，计算效率高。在[141]中给出的一项工作中，几个阈值方案在Directionlet域被利用来利用尺度内和尺度间的依赖性。
为了证明图像去噪时需要有效的边缘表示，[142]中提出了一种基于增加稀疏性的基于方向小变换的算法。对于每个像素值，基于构造的边缘方向DT表示得到多个似然估计。通过计算这些估计的加权平均值，最终的去噪图像被构造出来，并显示出比其他多向小波变换更好的性能[142]。此外，设计了一种基于柯西密度函数和方向let变换的去噪算法来去除合成孔径雷达图像中的散斑噪声[143]。Shahdoosti在超声图像中去除散斑噪声方面的另一个典型的、相当近期的工作可以在[250]中找到，并于2018年提出。该方法采用一般散斑法，并最大化对数似然函数，以获得无噪声像素。然后，根据噪声像素斑块与被处理像素斑块的统计相似性对每个噪声像素的分布进行加权。次客观的以及数值的观察描述了算法的优越性超过了最先进的使用脾脏，胰腺和肝脏超声图像。
在图像的多尺度方向表示时代，Easley等人提出了一种新的表示方案，称为Shearlet。它在为各种多维数据提供最优稀疏表示方面非常有效，并在图像增强、图像融合和图像去噪等各种图像处理应用中显示了改进。剪切let在图像去噪中得到了广泛应用[144]。它提供了一个更灵活的工具，在实现上也更自然。
的基本性质是Shearlet的移位不变性。它是有限的频带和紧密支持的，基本上是一种复合的小波，并具有方向参数。由于剪切参数和各向异性膨胀的引入，有助于提供多分辨率和多尺度的表征。然而，基于Shearlet的去噪算法应该使用自适应阈值方案来优化，这些方案往往会增强Shearlet变换最初保留的图像特征和细节[145]。非下采样剪切波变换是一种特殊的离散剪切波变换。NSST的主要特性是它对输入信号移位的不变性，这使得它在图像去噪中非常受欢迎。
在去噪过程中，移位方差引入了奇点周围的吉布斯现象，即NSST大大减少的伪影。NSST由非下采样金字塔滤波器组(NSP)和非下采样剪切滤波器(NSS)实现[146]。摘要以获得最优估计和去除吉布斯型伪影为目标，将剪切波变换与变分法相结合进行图像去噪。shearlet系数采用自适应总变差最小化，这使得在曲波域形式的高度复杂图像中优于相关方法[147]。在[4]中，针对NSST多尺度、多方向保持边缘的特点，提出了一种基于NSST和双支持向量机(T-SVM)以及子带自适应阈值的方法。这项工作除了优于诸如probshrink和BLS-GSM(贝叶斯最小二乘高斯尺度混合)等技术外，还提供了一个非常简短、简明和信息丰富的图像去噪文献综述。这种技术通常能够在抑制噪声的同时保留边缘。其他一些利用NSST边缘保持特性的有效图像去噪算法见文献[148,149]。通过大量的文献调研发现，当结合有效的阈值方法和各种空间域滤波器时，NSST是一种有前景的图像去噪算法。
图像去噪领域的一项主要开创性工作包括小波变换的自适应方向提升方案。这种方法被提出为平移不变方向帧小波变换，它提供了非常优越的冗余表示，以及基于Gabor滤波器的新的方向估计[150]。
除了上述变换域技术外，BM3D[151]、BLS-GSM[152]和LPG-PCA[153]也利用了小波系数的尺度内和尺度内相关性。这三种技术实际上是最先进的去噪技术。表2总结了特定领域下各种方法的层次结构。
3.2.BLS-GSM(贝叶斯最小二乘高斯尺度混合)。
小波系数之间存在尺度间和尺度内的相关性，这是一个公认的事实。它可以定义，如果一个小波系数小或大，它的相邻(子)系数也小或大，这些系数往往跨尺度扩散，因此可以修改。由于小波系数是严格采样的，可能会导致视觉上不愉快的人工因素，因此需要开发过完备的小波。将该思想应用于BLS- GSM中，将小波系数在不同位置和尺度上的邻域建模为高斯尺度混合(GSM)。采用贝叶斯最小二乘估计方法计算无噪声系数。该算法首先对AWGN污染图像进行小波变换。将各局部邻域建模为GSM，利用局部Weiner估计方法估计各邻域的中心。为了得到系数的完全最优估计，计算了BLS解。通过小波逆变换得到去噪后的图像。该去噪算法是目前为止最熟练的图像去噪算法，其效率是无可比拟的。然而，由于该方法需要对功率谱密度进行严格估计，这使得其不具有自适应能力[152]。
双收缩是Sendur等人利用MAP (Maximum a Posteriori)设计的一种小波收缩技术，它基于非高斯二元分布来建模尺度依赖性[154]。在另一项工作中，考虑了小波系数的尺度内变异性[155]。[156]给出了一种基于高斯混合模型(GMM)和广义高斯分布(GGD)的小波系数计算方法。
3.3 BM3D (Block Matching 3-D collaborative filtering).
基于NLM滤波器中的非局部分组和BLS-GSM中冗余或过完全表示的思想，Dabov等人在2007年设计了一种有效的三维变换域滤波。采用滑动窗处理与块匹配相结合的方法进行设计。BM3D可以被描述为多点方法，它包括三个步骤:对单个噪声图像进行滑动处理，其中与当前处理块具有相似度(最小欧氏距离)的块进行搜索和分组。得到的匹配块被堆放在一起形成一个三维阵列。这样计算的3D组是冗余的，因此比小波变换更有效地表示。块之间的相关性通过应用3D去相关酉变换得到，从而在3D变换域对原始信号进行稀疏表示。在对噪声图像进行有效稀疏表示后，对变换系数采用硬阈值或韦纳滤波进行噪声衰减。BM3D包括这两个步骤在一个顺序的方式，除了在第一步进行硬阈值和韦纳滤波在第二步进行。通过三维反变换构造匹配块的局部估计，提高了每去噪性能和有效的细节保存。这种分组提供了非常可靠的统计数据，三维阵列的Weiner滤波非常有效。
重叠斑块之间的相似性和小波系数之间的相关性使得BM3D具有较高的性能。如何-无论如何，在独特的补丁存在的情况下，BM3D停止提供最佳的解决方案。在低噪音水平下，BM3D可提供最佳去噪方案;然而，当标准差超过40时，即使进行了预滤波，算法的性能也会下降，因为块之间的相关性受到噪声像素的高度干扰。为了提高在标准偏差40下的性能，有时也采用DCT变换代替小波变换，DCT变换具有固定的基函数，但会产生周期性的伪影。然而，在一篇文章[158]中，有人评论说这种替换是不必要的，可以通过调整一些数值参数来改善性能，该工作也表明了这一点。BM3D方法的设计主要考虑了加性高斯白噪声对图像的污染[151]。为了进一步提高三维域真信号的稀疏性，Dabov等人提出了一种利用相互相似形状自适应邻域的BM3D滤波器的推广。这些自适应形状邻域显示了对图像细节和特征的局部自适应，从而使真实信号变得基本均匀。进一步超前于2009年提高了已有形状自适应BM3D的适应能力，Dabov等人引入了PCA(主成分分析)作为3D领域的一部分。整个三维变换是由主成分分析和固定的正交一维变换组成的。该技术可以通过解决高度适应所使用的变换的新收缩标准而进一步即兴发挥[157,158]。
3.4 LPG-PCA (Local Pixel Grouping-Principal Component Analysis).
Zhang等人借鉴了利用非局部特征和稀疏性的经典思想，针对DCT变换中固定基函数的问题，提出了LPG-PCA图像去噪方法。PCA引入了自适应基函数的概念。
该方法采用两步算法，将每个噪声像素及其典型邻域组合成一个向量变量。利用特征值和特征向量将这些向量变换为已知的PCA域或KL变换。在主成分分析域中进行收缩。在第二步中遵循同样的过程。由于固定的基函数，局部的细颗粒状边缘在BM3D中容易出现错误的表示。LPG- PCA利用局部自适应基函数解决了这一问题。然而，第二阶段的输入是从第一阶段过滤的补丁。第二阶段是完全复制的第一阶段，除了不同的噪音水平。由于第一阶段误差持续存在，这一因素也降低了第二阶段的去噪性能[153]。
在变换域图像去噪方面，主要研究噪声像素的正交小波系数阈值问题。然后，利用非抽取小波变换进一步提出了平移不变格式的思想。近年来，人们利用基于树的方法和贝叶斯阈值、水平相关阈值等各种阈值方案进行了一些实验。然后重点转向高方向变换及其与自适应阈值法、非局部像素相似聚类如BM3D、Local像素分组、BLS-GSM和NSST等方法的结合。多分辨率、稀疏性、边缘检测和各向异性等传统特性使得变换域方法成为图像去噪的一个非常受欢迎的选择。
然而，转换方法也有一些缺点。小波变换不能很好地表示平滑变换，而离散余波变换不能很好地表示尖锐变换和奇异变换。由于大多数变换都具有固定的基函数，不同模式的自然图像的特征化变得困难。小波去噪的核心思想源于这样一个事实，即信号的大部分能量被压缩到几个小波系数中，而噪声像素则分散在小波系数中。然而，这些方法的效率受到适当阈值估计的严重限制。除此之外，有些方法还会产生铃声。像BLS-GSM这样的方法通过利用本地邻居的冗余来克服这些问题。BM3D以非局部的方式探索冗余，取得了较好的去噪效果。然而，当图像像素之间的自相似假设不能得到很好的保证时，这些方法的性能会受到图像伪影和残留噪声的影响。
4 其他领域的方法
除空间和变换域方法外，研究人员还设计了基于多尺度系数统计模型和随机场的图像去噪方法。在统计模型方案中，采用基于贝叶斯估计的先验信息估计无噪声系数。这些方法的目的是通过对本质上自随机的变量的参数化来构建适应不同信号水平的空间同质模型。例如，Yin等人提出了一种基于小波系数模化的各向异性二元拉普拉斯分布函数去噪算法[159]。
在另一组有趣的工作中，Rabbani提出了一种噪声抑制方法，该方法由使用可操纵金字塔和拉普拉斯概率分布函数的系数阈值组成。该方法在[160]中进一步加以改进。在[161]中，给出了一种图像去噪的方法，通过借助高斯尺度混合来最大化MAP(最大区域)测度。此外，Fathi和Nilchi开发了一种统计最优的自适应小波系数阈值算法。尽管统计方法得到了广泛的赞誉，但它们被观察到在图像中引入了响亮的艺术事实[162]。
基于随机场的方法是另一种非常流行的方法，在图像去噪以及图像分类和分割等低层次处理中很容易得到应用。在这些方法中，一个像素的强度值依赖于邻近的像素。这些方法是基于这样一种观察，即图像的全局表示可以从其局部物理结构中获得，并借助通常称为马尔可夫随机场(MRF)的条件概率分布函数来完成。进一步，在贝叶斯框架下，定义了最大先验概率(MAP)，该概率表示可以对特定的清晰图像进行噪声处理，以获得特定的退化图像。这些MRF模型建立了相邻像素之间以及每个像素的观测值和估价值之间的关系[163]。
在[164]中，提出了一种用于图像去噪的三层分层MRF模型，每层分别描述基本纹理和平滑区域、噪声图像和观测噪声数据。在Chen等人给出的一份工作中，另一种基于MAP估计的去噪方法使用了MRF的SAR去噪方法[165]。Zhong和Wang同时利用了光谱和空间相关性，提出了高光谱图像的多光谱带条件随机场(MSB-CRF)去噪算法[166]。在Ho和Hwang的一篇有趣的文章中，通过对小波系数的单一贝叶斯网络估计，可以对不同的输入图像获得单独的贝叶斯网络[167]。
在另一种有效的去噪算法中，利用贝叶斯和MAP准则，在去除CT图像中具有瑞利分布的AWGN噪声和具有泊松分布的乘性噪声的同时，使边缘得到保留[168]。这项工作的重要贡献是在贝叶斯框架下利用Sylvester Lyapunov方程开发了一种去噪算法。Wang等人在[169]的研究中，通过估计像素模式分类器的噪声思想，在每个像素级执行鲁棒自适应定向提升(RADL)算法。
Romberg等人[170]在理解小波系数的尺度间和尺度内相关性的概念时，发现在MRF模型更有效地捕捉尺度内相关性的地方，隐马尔可夫模型(HMM)在边缘和特征之间的尺度间相关性方面工作得很好。他们的方法利用隐马尔可夫模型的属性来捕获高阶统计量、同尺度系数相关性和局部结构。为了获得跨尺度系数间的相互作用，利用隐马尔可夫树建立了模型。进一步采用MAP估计最大化技术对去噪后的图像进行恢复。该方法已被证明是有效的，除了较高的计算和训练负担。为了解决这个问题，Malfait提出了一种利用随机标量乘子进行小波系数邻域估计的GSM模型[171]。
利用系数的尺度内和尺度间依赖性模型，[252]提出了灰度图像去噪的方法。高斯尺度混合的概念已经说明，图像可以借助母系数进行估计。该方法分为两个阶段，第一阶段采用卡尔曼滤波进行预滤波，第二阶段仅采用卡尔曼滤波对噪声小波系数进行去噪。实际上，利用KF可以从较粗尺度的系数和邻近系数的噪声观测值中估计高频子带的系数。
在[253]的一项工作中，首次利用单边指数密度混合的隐马尔可夫树来去除图像中的噪声。该步骤与引起位移不变性和吉布斯现象的对偶偶tourlet变换相结合。
基于磁流变液的方法在图像去噪领域取得了巨大的成功已经发现,在实时应用,随机的能量领域应该在较小的时间和计算上可行的附近总是极其迫切的得到最优能量函数可以提供所需的解决方案[4]。
5 混合去噪技术
在去噪领域，设计了大量高效、广泛应用的去噪算法。它们都有自己的共享贡献、应用程序和限制。这些丰富的去噪算法充分利用了数字信号处理和相关理论的各个领域。最初设计了利用局域和非局域相似性的各种类型的空间滤波技术。此外，还采用了各种小波自适应收缩算法。其他方法包括定向敏感变换和利用尺度间和尺度内相关性的统计方法。基于稀疏表示、随机场和字典学习的算法已经得到了应用。这些方法已被证明在定量测量和视觉质量方面以一种或另一种方式逐步改进。
然而，目前最先进的技术结合多个领域，以利用多领域的优势，同时克服各自的局限性。例如，各种空间域滤波方法能够保留边缘，但它们往往会过度模糊均匀区域的低对比度细节。另一方面，变换域方法能够表示纹理和低对比度信息，但往往会在边缘周围引入环形的伪影。
在此基础上，Knaus和Zwicker结合了两种常用的滤波技术，即空间域双边滤波和变换域小波收缩短时傅里叶变换(STFT)。在这种混合方法的帮助下，作者能够保留低对比度的细节和边缘。这种方法通常称为双域图像去噪(Dual-Domain Image denoising, DDID)，于2013年给出[172]。进一步将其扩展为双主滤波(Dual Do- main Filtering, DDF)，在两个不同的域采用小波收缩和双边滤波作为鲁棒噪声估计。对DDID进行了扩展，引入了基于二次引导图像的引导滤波。该方法以较低的计算复杂度，优于BM3D、NLM和PLOW等多种竞争方法[173]。
PID (Progressive Image Denoising)是Knaus和Zwicker最近的一项广受好评的工作，其中利用了小波收缩和差分噪声鲁棒估计之间的联系。然而，与DDF相比，该方法需要更多的引导滤波迭代次数。与DDID不同，它不需要区分噪声图像和引导图像。该方法利用小波收缩作为鲁棒噪声估计，在频域引入异常值信号，扩展了对噪声的剔除视野。最后采用了确定性退火(DA)和模拟退火(SA)。该方法统一了空间域和频率域，在合成图像[3]的情况下，实现了一种简单而有效的去噪算法。此外，Pierazzo等人还设计了一种更快版本的DDID(大约3倍)[174]。该方法在频域上有效地缓解了DDID产生的干扰。
为了对低质量光学遥感图像进行增强和去噪，提出了一种渐进式双域滤波器。首先利用双边滤波得到的高对比度图像，然后利用直方图修正方法进行增强。此外，使用STFT捕获低对比度图像近似结构，并使用自适应校正参数增强[175]。这些对偶域图像去噪中的连续变化强烈地反映了混合域对图像去噪的影响。
各向同性扩散(ID)和Perona-Malik扩散(PM)是两种被广泛应用于去噪的独立方法，并表现出良好的性能。而ID会导致边缘模糊，而PM则会引入阶梯效应，导致图像局部细节的丢失。因此在[176]中，作者提出了一种利用二阶方向导数(方向拉普拉斯变换)改进ID和PM模型的混合图像去噪模型。结合改进的PM和ID模型，在抑制均匀区域噪声的同时，保留了纹理和细节，减轻了楼梯效应。
Shah- doosti和Hazavei提出了一种新方法，将压缩感知、块匹配和基于稀疏表示的学习字典在带宽域内耦合在一起。该方法首先在带宽域对噪声图像进行变换，然后采用硬阈值法对噪声系数进行阈值化。这种方法假设图像稀疏地表示在字典上而不是基本元素上。同时采用分块匹配技术来表示字典元素，使得每一组小块都使用相同的稀疏向量。给出的方法在8幅众所周知的灰度图像上进行了测试，它优于几种最先进的去噪技术[251]。
为了去除图像中的高斯噪声，Yu等人提出了一种在空域双边滤波中采用三变量小波收缩的算法。基于小波的方法容易产生低频噪声和振铃伪影，而空间域方法的计算代价高，因此提出了这种方法。基于最大先验估计，将小波系数建模为三元高斯收缩年龄。整体方法采用小波变换进行成本削减和联合双边滤波[177]。
在[178]的另一项工作中，基于学习的算法嵌入了曲波变换贴图。通过角分解和尺度分解等参数的变化，在最大PSNR和最小MSE的基础上，确定最优的平铺图，以最佳地表示给定的一类图像。与曲波变换和NLM滤波器相比，该方法具有较好的鲁棒性。混合域方法中的另一种方法是将四小波变换中的偏微分方程和广义交叉验证理论相结合。利用四小波变换对图像进行分解，并利用GCV理论构造自适应阈值。该方法在PSNR值方面表现出了良好的性能[179]。
众所周知的BM3D去噪算法是空间滤波和变换域滤波混合的例子。在此基础上，采用小刷阈值法去除频域噪声。与BM3D相比，该方法改善了超声图像的视觉质量[180]。
[181]中给出了一种有趣的图像去噪方法，即积分非局部总变差(NLTV)和BM3D。该方法在BM3D的帮助下获得了一幅预去噪的图像。在构建NLTV模型保真项的同时，利用预处理后的图像构造正则化项中的能量函数和权重函数。采用分裂Bregman算法求解能量压缩方程。该方法在去除伪影和外形成的NLTV和BM3D图像的基础上，显示出了异常高的视觉质量。
之前已经讨论过，电视模型已知具有良好的图像平滑特性;然而，通过过度平滑平坦区域，它们往往会推动楼梯效应。NLM滤波器在重建低频平滑区域时表现出良好的性能，但在边缘处失败，因为没有足够的相似的patch，导致边缘周围普遍存在噪声(罕见的patch效应)。该方法使用非本地数据保真度术语而不是非本地正则化术语。该方法能够有效地去噪自由形式阶梯和罕见的patch效应[182]。
进一步地，在文献中，将小波或曲波域与电视和扩散方法相结合是解决吉布斯现象问题的一种非常普遍的方法。在[183]中给出的一项研究中，作者建立了用Shear let变换替换这些表示，并结合总变异最小化来去除人工产物和噪声，同时保留边缘的方法要好得多。这个方法是混合域方法的另一个示例实例。在另一种方法中，在小波表示的不同方向子带中采用了借助el- liptic方向窗的局部Weiner滤波[184]。[185]给出了一种基于NSCT域Bandlet变换代替二维可分离小波变换的混合去噪方法。该方法用于去除高斯噪声和泊松噪声[185]。另一种空间变换的图像去噪方法是将非局部均值算法与小波域硬阈值法相结合。为了去除第一阶段引入的振铃伪影[186]，对合成图像进行引导滤波器处理。此外，在[187]中给出了一种基于shearlet的特定波段图像去噪技术，该技术在包含不同噪声量的不同子波段采用不同的阈值技术。在一项重要的工作中，Candes等人提出将总变差最小化模型与曲波和脊波展开相结合，其中子带系数近似为阈值[188]。许多作者宁愿将总变差最小化方案与其他变换域表示相结合。在这类图像去噪方法中，[189]是Durand and Forment给出的另一项工作，将噪声图像分解到子带后，采用总变差最小化方法对噪声系数进行阈值化。
在最近的一项工作中，为了在改善PSNR的同时解决gibbs类人工制品的问题，Shahdoosti等人提出了一种基于总变差最小化的涟波公式的图像去噪算法[190]。在他们的工作中，利用双支持向量机获得平滑和纹理区域。该方法不是为了最小化噪声图像的变化，而是试图最小化从纹波子带的非纹理区域获得的图像的变化。此外，另一项工作提出将非线性各向异性扩散与曲波收缩相结合[191]。在波纹变换后收缩方法中，重构图像采用全变差扩散处理，在约束投影的帮助下仅抑制高频不显著系数。结合DTCWT的移位不变性和脊波变换的方向敏感性，提出了一种新的混合方法来抑制AWGN[192]。
2013年，Shreyamsha提出了一种基于高斯/双边滤波和噪声阈值的去噪方案。在该方案中，提出了方法噪声的思想。这里的方法噪声是指原始图像与经过一定算法去噪后的图像之间的差异。这种差别本身就是噪音，被称为方法噪音。在GBFMT(高斯/双边滤波方法噪声阈值)中，假设有噪声的图像被高斯白加性噪声污染，高斯白加性噪声的均值为零，方差已知，可以在高噪声和低噪声值下进行测试。对图像进行双边滤波，对得到的残差图像进行小波域硬阈值化[193]。在类似的工作中，利用方法噪声阈值(NLMNT)的概念，将双边滤波器替换为非局部滤波器[194]。从那时起，人们在噪声阈值方法中尝试了许多不同的组合[195]。类似地，在[196]中，去噪的概念被扩展到Weiner滤波方法和Shear let变换的混合。多尺度和多分辨率表示使得PSNR和MSE值有所提高。此外，利用稀疏表示和字典学习等方法对混合图像去噪技术进行了研究。为了更深入地理解这些方法，在基于稀疏表示的方法下简要介绍了一些混合方法，并根据最近的图像去噪趋势列出了一些方法。
通过大量的文献调查发现，多分辨率、稀疏性和边缘检测等适当的关系使变换方法成为去噪的常用方法。然而，这些方法不能很好地表示平滑过渡，往往会失去复杂的图像细节和特征。另一方面，边缘预服务空间域滤波器倾向于保留噪声特征和艺术事实。为了克服这些问题，人们正在利用空间和变换域滤波器的特性进行各种临时处理。这些结合直观自适应阈值的组合方法在图像去噪的客观和主观评价方面都有很大的应用范围。
6 稀疏表示和字典学习方法
冗余和稀疏表示一直是图像去噪研究的基本动态基础。要求冗余的一个主要原因是它具有引起位移不变性的能力。稀疏和冗余的概念已经被广泛应用于各种多尺度和方向变换，如曲波、脊波、小笔刷和方向波。在虚拟表示方法中引入稀疏和冗余的基础上，设计了基于稀疏表示的字典学习方法。这种方法的不同之处在于它拥有一个基于示例的恢复。在这方面，常用的成功方法是BLS-GSM (Bayes最小二乘高斯尺度混合)，它将图像去噪问题描述为使用贝叶斯最小化的逆问题，因此需要在某些变换域基于熵、平滑或稀疏的图像先验。虽然这些方法倾向于从代表图像先验的数学表达式中获得图像估计，但这些基于实例的方法倾向于从已有图像中获得图像先验。在稀疏和冗余表示中融入先验学习思想的同时，最重要的是字典，它提供了一组学习过的参数。这些方法消除了对固定基函数的需要，就像曲波变换或锥波变换[197]那样。
正交匹配追踪(OMP)的引入，作为一种利用冗余字典的直接稀疏分解技术为图像去噪问题的开始奠定了基础[198-200]。在这类方法中，去噪图像的质量很大程度上取决于字典的类型，字典可以从无噪声图像的小块中学习，也可以从噪声图像本身的自适应学习。
换句话说，可以这样说，这些方法适用于字典。这些方法通常采用基于patch的去噪方法，在重叠patch的情况下进行平均。由学习的例子构造的字典包含原子，可以理解为使用原子的稀疏线性组合逼近小块。
在本节中，我们只回顾一些主要的字典学习方法，包括k -奇异值分解(K-SVD)，期望Patch Log Likelihood (EPLL)， k - local Learned Dictionaries (K-LLD)， Learned Simultaneous Sparse Coding (LSSC)， Patch based Locally optimi - mal Wiener(犁)，Trained Filters，度量导向核回归(SKR)滤波器，卷积稀疏表示(CSR)，局部自适应回归核(LARKs)和其他各种[4]。
在本节中，我们只回顾一些主要的字典学习方法，包括k -奇异值分解(K-SVD)，期望Patch Log Likelihood (EPLL)， k - local Learned Dictionaries (K-LLD)， Learned Simultaneous Sparse Coding (LSSC)， Patch based Locally optimi - mal Wiener(犁)，Trained Filters，度量导向核回归(SKR)滤波器，卷积稀疏表示(CSR)，局部自适应回归核(LARKs)和其他各种[4]。
Elad等人以在贝叶斯全局估计器中嵌入局部过完备字典为目标，提出了K-SVD作为一种迭代去噪方法，它可以自适应地从噪声图像的整个像素范围进行学习。每次迭代包括使用OMP估计每个patch的系数(使用初始字典计算所有patch的稀疏逼近)，并使用奇异值分解一次更新字典一列。每个补丁都可以从字典中的一系列补丁中估计出来。K-SVD利用学习字典模拟去噪的时代，使用更自适应的模型恢复图像信息。但由于计算量大、字典大小有限等原因，该方法在大patch的情况下仍需改进[197]。在另一种称为K-LLD的方法中，为了避免不同结构的斑块选择被误认为是相似匹配，采用了SKR分类方法[201]。
LSSC方法与K-SVD方法非常相似，相似的patch使用相同的稀疏分解去噪。该方法以非局部的方式利用图像的自相似准则[202]。这种方法背后的动机是，在K-SVD情况下，输入的微小变化会导致字典原子的显著变化，这是不可取的。因此，LSSC被提出作为K-SVD的一种即兴创作，以非局部的方式利用类似的斑块。这种方法无疑加快了在非结构化字典中查找原子的过程。这种方法具有绝对先进的去噪性能，但它有很高的计算复杂度。虽然LSSC在稀疏分解中采用聚类方法取得了令人满意的去噪效果，但其性能很大程度上依赖于初始字典，而初始字典需要在离线状态下使用高质量的图像进行训练。与LSSC相比，CSR去噪方法具有更高的性能和更低的复杂度。
另一类利用字典和类似于空间域滤波的方法是训练滤波器。这些滤波器是非参数或半参数的，具有很好的去噪性能。这些滤波器与空间域滤波器相似，除了它们执行一个非参数过程，通过使用图像丰度进行离线训练来计算滤波器的权值。这些方法保证了自适应图像恢复过程，固定的核系数被训练的系数代替。对于每个噪声块，采用相同的分类方法，并从之前训练过程中构建的查找表(LUT)中获得过滤系数。这些方法的计算速度很快，因为LUT只需要离线训练一次。这些方法的一些主要例子是M-SKR(度量导向核回归)[203]和K-SPR(半参数正则化)[204]。
在图像去噪方法中，主要问题在于提取合适的特征，能够确定相邻系数之间的关系。大多数去噪算法都不能有效地满足这一目的。DNN是一类机器学习算法，它提出学习灵活的模型，无需任何假设和数据分布的先决条件。在这类图像去噪算法中，Shahdoosti和Remza提出了一种新的基于CNN模型和shearlet变换的图像去噪算法，该算法在特征分类方面优于现有的各种最先进的去噪算法[244]。支持向量机(Support vector machines, SVMs)是Vapnik[245]在1998年引入的另一种重要的字典学习算法，在函数估计和分类问题中得到了广泛的应用。它们是在统计学习理论的背景下开发的，旨在最小化结构风险。最小二乘支持向量机是一种计算效率高、速度快的支持向量机。
Wang等人在2010年提出的一项工作中，将LS-SVM与未抽取小波变换相结合，在图像去噪的同时保留边缘[246]。然后在2013年，他再次使用LS-SVM将NSCT系数分为噪声系数和边缘系数。在LS-SVM的帮助下，将不同尺度的NSCT系数划分为平滑区域和含有纹理区域的区域。为了最大化纹理信息，边缘系数未被修改，而噪声系数采用贝叶斯阈值作为阈值。该方法结合了NSCT (multi-scale, multi-direction, shift-invariant)和LS-SVM，在客观上优于probb - shrink和BLS-GSM等方法[247]。
字典学习方法的主要问题是其计算复杂性，因为它们需要多次迭代，并且具有非结构化字典，这使得它们不适合实时应用[4]。
7. 图像去噪的最新趋势
从局部滤波到非局部自相似探索，从自适应阈值到学习字典，去噪领域以一种令人费解的方式发展着。对这些大量文献报道的方法的研究是压倒性的，几乎不可能讨论每一种开创性的方法。在即将出版的这部分文献中，我们试图着手去噪领域中最近的趋势和主要的行动计划领域。
2010年，在[205]中，Chatterjee和Milanfar避开了去噪最终界限的固有问题。随着如此多的方法涌入，人们会思考降噪是否有最终的极限。在这篇工作中，作者估计了图像去噪的下界。据描述，尽管最近的技术有显著的发展，但仍然有改进的空间，去噪领域还没有死。
此外，在2012年，这些作者提出了犁过滤器，在上述工作中列出的统计观察的动机。他们采用了基于贴片的冗余韦纳滤波器，其中参数模型的设计同时考虑了几何和光度的相似度。该方法已经显示出极高的图像视觉质量，优于著名的BM3D[206]。
继混合域图像去噪受到强烈关注之后，Zhang等人在2013年提出了一种基于空间变换域联合统计建模(joint statistical modeling, JSM)的图像恢复方法。该方法提出了一种利用局部平滑和非局部自相似性来生成高保真图像重建的新方法。JSM是一个混合平台，它产生了一个基于正则化(全变分模型)和非局部方法的强大组合。通过对高斯噪声和脉冲噪声的严格实验验证了该算法的有效性[207]。
以BM3D为例，基于补丁的方法的性能目前受到限制，因为相似补丁的数量不足，而且在较大图像的情况下，由于复杂性增加。因此，Talabi和Milanfar在2014年对这方面的研究做出了重大贡献，他们设计了全局图像去噪滤波器(GLIDE)，将图像中所有相似或包含信息的部分都考虑在内。该方法对输入图像进行预滤波后，对少量像素进行采样，作为Nystrom方程法的输入。通过对滤波矩阵的特征值进行阈值化来估计最终图像[208]。
2015年[209]提出了另一项基于方向let域尺度间和尺度内依赖关系杂交的研究。首先将图像转换为方向让系数，然后使用二元PDF对系数进行建模，以利用尺度内和跨尺度依赖性。该方法在小波域上具有比二元收缩更好的性能。
另一种激励图像去噪的方法是[210]。该工作解决了一个自然的问题，即使用先验图像场景自适应替换图像。它利用外部和内部的相关性，从而对网络上的真实图像和噪声图像的相似斑块进行聚类。该方法采用基于图的优化和变换域滤波的两阶段图像去噪方法。该方法在噪声范围较广的情况下，性能优于BM3D。最近在2018年，一些作者对图像去噪问题进行了研究——将一个非线性扩散模型推导为一个交叉扩散问题[211]。
基于Patch的处理已经成为图像恢复问题的核心思想。这一过程包括将图像分解为相似的重叠斑块，并通过普通平均恢复它们。该方法除图像去噪外，在图像填充和去模糊等领域得到了广泛的应用。然而，这些基于补丁的方法的主要缺陷是对中间结果施加先验，而不是对最终结果进行处理。设计EPLL就是为了解决这个问题。在2016年最近的一项工作中，提出了一种扩展和改进EPLL的方法[212]。该方法不仅对最终图像施加先验，而且对从输入图像中提取的不同尺度的小块构造多尺度先验。该方法在包括BM3D在内的主要图像恢复算法上取得了相当大的改进。
在[213]中，另一种优化的基于像素的加权平均方法被设计用于基于patch的图像去噪。各种图像去噪算法在保留残差的同时恢复干净的图像。留下的残留图像应该包含不相关的污染噪声，但它也包含一些来自干净图像的残留。在基于小块的图像去噪算法中，提出了一种正则化方法，使残差小块尽可能不相关。据此，作者生成了稀疏编码的解析解和一个新的在线字典[214]。
讨论了NSST在多分辨率分析和位移不变性方面表现出的优异性能。在此基础上，利用SUnSAL构造了基于特征向量的NSST域空间规则。SUnSAL分类器使用Bayes Shrink方法区分基于边缘的系数和基于噪声的系数，它们都是阈值[215]。
2016年，先驱Shahdoosti和Khayat提出了一种利用NSST、SUnSAL和各向异性扩散混合的图像去噪方法[249]。为了获得多个尺度和方向分量，对噪声图像进行NSST处理。然后使用SUnSAL分类器来区分噪声系数和边缘相关系数。其主要思想是利用扩散方程使噪声系数的能量最小化。利用各向异性扩散滤波系数和纹理系数(保持不变)得到的无噪声图像明显没有伪影，构成的边缘信息优于BLS-GSM、probb - shrink和[4]中给出的work等方法。
在图像去噪的大范围无缝工作中，主要的底层方法是边缘恢复。[216]最近的一项研究对这种方法进行了研究。该方法由基于各向异性扩散模型的边缘检测和融合模型组成。通过各种基于边缘检测和正则化的方法提取边缘，得到去噪图像，并将去噪图像的边缘替换为边缘。
在对双边滤波器边界进行重新定义的基础上，提出了一种新的边界保持滤波器——共现滤波器，该滤波器通过对频繁出现的像素进行加权，而不考虑高斯范围。另一方面，低出现像素在同现矩阵中的权重更低。该方法在恢复边缘的同时，还能保持边界。本文介绍了同现矩阵的定义及其在去噪中的应用，为设计各种学习同现矩阵的新方法开辟了方向[217]。
针对随机图像去噪方法，文献中给出了一种基于马尔可夫链蒙特卡罗抽样的图像去噪方法。该方法动态适应图像的特征和噪声统计，在图像去噪方面具有较高的性能，同时显示出较低的复杂度。该方法在AWGN的基础上求解问题，从噪声图像中进行先验计算[218]。这个加性图像去噪问题被描述为贝叶斯最小二乘问题，其中目标是估计去噪图像，以噪声图像作为测量和估计后验。后验估计采用基于自适应Geman-McClure目标函数的非参数重要性加权马尔可夫链蒙特卡罗抽样方法[219]。[220 - 223]中给出了该方法的一些改进方法。
在许多去噪方法中，研究人员目前主要关注的是利用非局部自相似性，将其与其他结构保持技术结合，或即兴发挥现有的基于自相似性的方法，如BM3D和NLM。
[254]给出了一种新的采用最近邻协同滤波(NN-CF)的patch匹配方法。本文提出了两种基于CF的斑块生成准则。通过将新的贴片制作方法应用于各种基于贴片匹配的去噪方法，如BM3D和NLM，作者描绘了对贴片制作的鲁棒性，并提出了新的公式来集成外部和内部去噪。使用广义柯西滤波器的图像去噪方法在[255]中说明了使用粒子群优化。
在[256]中给出了一种保留细节的聚类去噪方法，提供了一种稳定的噪声水平估计。该方法采用自适应聚类方法对具有不同特征的非局部斑块进行精细聚类。该方法采用渐进主成分分析阈值法去除噪声;采用基于马尔钦科-巴斯德定律的奇异值分解阈值法和基于系数的主成分分析域LMMSE滤波。
在NLM去噪的众多即兴创作中，[257]给出了一项有效利用自然图像中普遍存在的仿射不变自相似(AV-SS)的工作。该方法利用AV-SS对不同大小和形状的小块进行比较，以适应不同大小和形状的小块，从而选择出更相似的小块。结果表明，该方法在定量分析方面取得了一流的成绩。
相对于假设固定的噪声问题，针对实时去噪问题，作者在[258]中提出了一种盲去噪方法，允许从单个信号和频率相关的图像中估计噪声。该方法在真实的JPEG图像上表现出了高效的性能，其中的队形模型是未知的，它描述了最先进的性能.
除了BM3D、PLOW、LPG-PCA和Shape adaptive SVD外，[259]中还提出了一种采用非局部自相似和低秩近似的方法，是对基于patch的方法的改进。采用块匹配技术对初始相似的斑块进行分类。然后利用奇异值分解(SVD)对每组相似斑块进行因子分解，只选取奇异向量和最大奇异值。将处理过的小块进行聚合，生成最终图像。该方法在提供最佳能量压缩的情况下，能有效地去除噪声，计算效率很高。
在图像表示取得了巨大的进展后，限制算法的计算量成为去噪的主要领域。非局部方法被认为是最有效的去噪标准。然而，人们发现，一些最近邻方法在结果中引入了偏差。因此，Fro- sio和Kautz在2019年提出了一种统计近邻方法，该方法描述了无论灰度图像还是彩色图像，只需较少的统计最近邻即可生成质量更好的图像[260]。
在另一项关于BM3D在地震数据上的极限性能的工作中，作者设计了一个临时的BM3D，包括一个因子，在噪声信号和真信号之间的局部相似性指标。该方法通过恢复信号能量并将其加到去噪后的结果中来防止信号能量的流失。这种有趣的方法已经在最终结果中被证明可以保证结构表示的保真度[261]。
掌纹识别是生物医学中一种可靠的识别方法，是一种重要的图像处理应用。然而，低分辨率掌纹中存在的噪声显著地降低了基于它们的生物度量方法。[262]提出了生成式不利网络方法来缓解噪声的存在，去噪后的错误率从10.841%降低到1.532%[262]。为了保留互补的背景信息并重建精细的图案和纹理，Li等人提出了多尺度门控融合网络(multiscale gated fusion network, MGFN)作为一种即兴的深度卷积网络用于图像去噪。该方法能够提出一个简单而有效的损耗函数来训练网络[263]。
为了去除高光谱图像不同波段的噪声，将去噪问题称为波段融合问题。在[264]中，首先选择一个目标噪声频带，为了去噪它，将与其相关的优质频带融合在一起。该方法在视觉和客观分析方面都优于现有的HSI去噪方法。
为了利用各种技术的属性，[265]中提出了一种混合去噪方法，该方法集成了电视正则化和与图像块自相似性相关的组稀疏性。这种串接技术包括四个步骤，即块匹配、基向量更新、稀疏正则化和电视平滑。与其他使用固定基函数的方法不同，该方法使用SVD导出的更新局部基向量来诱导稀疏性。这种方法已经被证明优于BM3D本身的方法[265]。另一种最近发表的去噪方法是结合核范数、TV范数和L1范数，利用自然图像的低秩特性，增强平滑性并去除稀疏噪声[266]。
[267]在利用深度学习中方法噪声的概念的同时，提出了一种基于深度前向卷积神经网络去噪的医学图像去噪方法。与其他方法不同的是，该方法从噪声图像中学习残余噪声，其中去噪图像是通过从噪声图像中减去学习残差得到的。实验结果表明，该方法具有较好的性能。给出了另一种基于残差相关的正则化图像去噪方法[268]。该方法通过分析和在线字典更新来生成稀疏编码的解，即原子选择和系数计算。该方法利用了残差图像包含干净图像残差的方法。
