MNAR下的填补方法：
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Reference-based imputation
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J2R（Jump to Reference）
受试者缺失前的均值向量仍为试验组，但退出治疗后，采用对照组的均值分布。因此，对于有缺失记录的受试者，它的均值及协方差矩阵综合了已观测到的试验组+缺失后对照组的结果。对于对照组来说，缺失值填补基于MAR。该方法假定试验组受试者一旦停止治疗，试验组带来的疗效立刻消失，停止治疗后的缺失数据与对照组类似。
J2R-Stata.com -
CIR（Copy Increments in Reference）
受试者缺失前的均值向量仍采用试验组，缺失后采用对照组但需考虑缺失所在时间点的试验组疗效作为增量，即缺失后的数据趋势与对照组类似但以缺失所在点作为起点。CIR的方差-协方差矩阵同J2R。对照组缺失，仍采用基于MAR的填补。该方法假设受试者停止治疗后，疗效仍然存在，后续采用对照组治疗。
CIR -
CR（Copy Reference）
该方法假设退出治疗受试者的整个分布，包括缺失前及缺失后，无论退出所在的时间点，均参照对照组的分布。对照组缺失，仍采用基于MAR的填补。对于随机错误的受试者，可以采用这个方法。
CR.png
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其他方法：
- Delta-adjusted
- Tipping point analysis
MNAR下缺失数据处理的实现方式，包括
1.Sequential modeling method-Ratich and O’Kelly（2011）
PMMs框架下的方法，通过SAS中的Proc MI步实现。基于单调回归填补（Monotone Sequential Regression），而非联合概率分布（Joint distribution）。
(1)每次仅填补一个缺失访视点的数据。
(2)每次仅包括试验组缺失访视点t的受试者及对照所有的数据。因此试验组有时刻t的受试者没有被包含在数据集中，因此试验组数据不会参与到该缺失数据点的填补。
(3)：重复填补步骤填补各个不同的时间点。
优点：方法的逻辑和步骤比较清晰，没有复杂的计算和编程过程，不需要使用IML编程。同时Proc MI步中允许通过class=声明，而proc MI中无法声明Class=语句（分类变量也会近似基于多元正态分布）。
*PMMs里的pattern指共有某一特征的人群自己，而Proc MI里的pattern指的是缺失模式monotone or non-monotone。
- 参考文献：Implementation of Pattern-Mixture Models Using Standard SAS/STAT Procedures（2011）
2. Joint distribution modeling method-Roger (2008)
Joint Modeling比SRI的实现方法复杂很多，需要基于模型的假设对受试者缺失前及缺失后的均值向量及方差-协方差矩阵进行处理，之后再产生填补数据。参考文献Reference-based Sensitive analysis via multiple imputation for longitudinal trials with protocol deviation里的步骤：
假设某随机对照临床试验，i=1...n个受试者，Ti为第i个受试者对应的组别，j=0...J为第j次观测时间，j=0为基线，第i个受试者的第j次观测表示为。假设所有受试者基线均有数据，
为基线后最后一次观测结果，因此
可取
。
为已观测数据，
为缺失数据。对于有缺失的受试者，缺失数据表示为
，η为在填补之前必须估计出来的参数。
为了获取参数η，需要假定一个模型。对于连续数据，假定一个非结构化的多元正态分布（unstructured Multivariate normal model），每个组的每个时间点均值向量以及非结构化的协方差矩阵（unstructured covariates matrix），用以描述重复观测之间的相关性。
具体步骤：
a. 对每个组的所有已观测到的数据，假定MAR模型，拟合一个非结构化均值（即基线及基线后的均值各不相同）以及非结构化的方差协方差矩阵的MVN模型（Multivariate Normal Distribution），采用贝叶斯方法，采用一个improper先验产生unstructured mean，方差协方差矩阵采用uninformative Jeffreys 先验。
b. 从步骤1后验分布中产生每个组的均值及方差协方差矩阵，采用MCMC。
c. 通过步骤2的结果产生缺失受试者的联合概率分布。这个过程中可以基于不同的假设产生该联合概率分布，如J2R、CR、CIR等。
d. 采用步骤3中的联合概率分布构建缺失数据的条件概率分布，完成缺失数据的填补结果并构建完整的填补数据集
e. 重复2-4的步骤，产生m个填补数据集。
该方法的实现：
SAS中没有现成的命令实现基于Joint modelling的上述填补方法。https://www.lshtm.ac.uk/research/centres-projects-groups/missing-data#dia-missing-data 网站上提供了关于Joint modeling下CR、CIR、J2R等方法的实现，但是程序步骤比较复杂。文献3中提供了采用SAS IML计算的实现方法。文献2里给出了基于Stata-mimix的实现方法。
参考文献：1. Analysis of Longitudinal Trials With Protocol Deviations: A Framework for Relevant, Accessible Assumptions, and Inference via Multiple Imputation. -Carpenter, Roger, and Kenward
2. Reference-based Sensitive analysis via multiple imputation for longitudinal trials with protocol deviation
3. An Efficient Multiple Imputation Algorithm for Control-Based and Delta-Adjusted Pattern Mixture Model using SAS-by Yongqiang Tang
