单期库存模型：需求为某种概率模型 缺货
上次我们探讨了预期收益，本次我们来看看预期缺货。讲缺货的时候，我们一般分为需求为连续的和离散的。先讲离散的需求，这个更加符合直觉。
这里先简单说一下什么是离散需求和连续需求!离散需求就像我买衣服、买手机、买床、买电脑等，我只能买1的整数倍，我不可以买3.5个电脑，100.8个手机，这样的需求就是离散的; 而在另外一些行业，如钢铁，糖，水泥，我可以买100.12吨的钢铁，5.5公斤的糖等，这个就是连续需求，因为他的数字是连续的。
假设我拥有一个蛋糕店，根据历史数据，每天可以卖1到8个不等的新鲜蛋糕，每天卖几个的概率是一样的，即卖出一个的概率是1/8，卖出两个的概率是1/8，... 卖出八个的概率也是1/8,那么需求的分布就是如下这个图。准备蛋糕的原材料需要隔天甚至隔两天提前备货，当天没有办法再次补充原材料，而且当天卖不掉的新鲜蛋糕就必须扔掉。
我现在决定每天做5个蛋糕，那么
预期蛋糕需求是多少？
预期卖掉的蛋糕是多少？？
预期缺货的蛋糕是多少？？？
我们刚才提到卖掉蛋糕的数量是1-8中，其中任何的一个概率是1/8，即0.125，那么预期蛋糕需求就是预期卖掉的数量×概率，用公式表示就是
用啰嗦一点的方式表示：1 × 0.125 + 2 × 0.125 + 3 × 0.125 + 4 × 0.125 + 5 × 0.125 + 6 × 0.125 + 7 × 0.125 + 8 × 0.125 = 4.5
第一个问题已回答，预期的需求是4.5个。
在给定我每天只制作5个蛋糕的前提下，我预期能够卖出的蛋糕是多少呢?显然不是4.5，因为在需求为6，7，8的时候，我只制作了5个蛋糕，因此用概率论的知识，计算为：
预期销售为3.75个。
那么预期缺货呢?这个也可以通过概率论的知识求解，但是先通过直觉来感受一下，我每天制作5个蛋糕，当需求小于等于5的时候，预计缺货数量是0，当需求为6的时候，缺货1个；当需求为7的时候，缺货2个；当需求为8的时候，缺货3个
计算出的预期缺货为 0.75个。
大家有没有发现 4.5 = 3.75 + 0.75，即预期的需求等于预期能够卖掉的 加上 预期缺货的数量。巧合?还是真理?
离散的需求分布，非常有助于我们理解这3个概念：预期需求，预期销量和预期短缺。建议你再看一遍，然后再往下。
而在需求为连续的情况下，用上述离散的分析是不可行的，因为需求是不可穷举的。幸运的是，数学家们已经通过复杂的导数推导、概率精算已经帮我们计算过了。大家可能知道标准正态分布表、标准泊松分布表。这里以正态分布为例，说明一下表格里面的几列。
k, P[x<=k], G(k)分布代表什么意思
k：是偏离正态分布中心点的度。有些人用z表示
P[x<=k]: 在偏离k的情况下的概率
G(k): 在偏离k的情况下的缺货概率
有点抽象，给个例子看看
假设某个业务的需求是符合正态分布的，均值Mean = 160, 标准差 SD= 45，我购买190个，那么预期缺货多少个?
k = (190-160)/45 = 0.67
查表 G(k) = 0.1503
预期缺货E[short] = 45 × 0.1503 = 6.67个
回到本系列课程开始的美式足球例子
c=10.9; p=24;
mean = 32000; SD = 11000
第一个案例：假设剩余的衣服没有剩余价值，即g=0时，我们计算出的最佳采购数量是33,267件衣服，那么我们预期可以赚多少钱呢?还记得预期利润的公式吗?
(p-g) X E[x] = (24-0) * 32000 = 768,000
(c-g) X Q = (10.9-0)*33267 = 362,610
(p-g+B) X E[short] = ? 这个怎么办呢？
我们知道E[short] = G(k) * SD, 那么必须计算出k才可以，k = (Q-mean)/SD = (33267-32000)/11000 = 0.115, 查表可得G(k) = 0.3441，则E[short] = 11000 X 0.3441 = 3785。
(p-g+B) X E[short] = (24-0-0)*3785 = 90,840
期望收益 E[P(Q)]= 768,000 - 362,610 - 90,840 = 314550
第二个案例：我们可以用7元的价格销售超过预计需求的产品，根据上述的公式同样可以计算。
期望收益 E[P(Q)]= 544,000 - 156,580 - 24,905 = 362514
由于我们可以用7元的价格销售超量的产品，我们多购买了产品，而且，缺货成本也小了，我们比之前多赚了15%的利润。
这里有了一点供应链体系中，上下游协调把整个链条的价值做大的思想，这个是供应链管理的重要观点，而在实践中，每个个体都是以自己利益为重，难以达成所谓的“战略联盟”，因此，供应链管理的价值难以发挥最大。
