定义9.1 到定点的距离
与到定直线
的距离相等的点的轨迹，称为抛物线(Parabola)。称点为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线。
(1) 如图9.1.1，取定点为%2Cp%3E0)
，直线为
，求到点与到距离相等的点的轨迹方程。
(2) 设点)
在图9.1.1的抛物线上，求经过点
的切线的方程
。并证明：是
的角平分线。
(3) 一个凹镜面的对称轴截面线是焦点为的抛物线，如图9.1.2，试证明：平行于对称轴的入射光，被镜面反射后经过焦点。
题9.2 在平面直角坐标系
中，抛物线)
的焦点为，过
上一点
(异于
)作的切线，与
轴交于点
.若
，则向量 
的数量积为____________. (2021全国中学生数学奥林匹克竞赛初赛第6题)。
定义9.3 到两定点
的距离和等于定长的点的轨迹，称为椭圆，称为焦点。
(1) 如图9.3.1，设%2CF_2%3D(c%2C0)%2Cc%3E0%2CP)
为动点且满足：
。由定义知，点的轨迹是椭圆。
设图中的椭圆与
正轴相交于点，则点的坐标为___________。
设图中的椭圆与
正轴相交于点%2Cb%3E0)
，证明：
。
(2) 依据(1)，定义了点%2CB(0%2Cb))
，我们以后称
为椭圆的长轴，
为椭圆的短轴，请指出图中椭圆长轴与短轴的位置，说明其几何性质，并证明椭圆的方程为：
。
(3) 证明：点的法线平分
。这说明光线从一个焦点发射，经椭圆面反射后，汇聚到另一个焦点。
(1) 解 的坐标为)
。
如图9.3.2，连接
，因为
，所以
，在
中，利用勾股定理即得结论。
(2) 证明 设)
，依据题意：
%5E2%2By%5E2%7D%2B%5Csqrt%7B(x-c)%5E2%2By%5E2%7D%3D2a)
移项
%5E2%2By%5E2%7D%3D2a-%5Csqrt%7B(x-c)%5E2%2By%5E2%7D)
两边平方
%5E2%2By%5E2%3D(x-c)%5E2%2By%5E2%2B4a%5E2-4a%5Csqrt%7B(x-c)%5E2%2By%5E2%7D)
展开
%5E2%2By%5E2%7D)
消项、整式、根式分开、整理：
%5E2%2By%5E2%7D)
两边平方：
)
移项整理：
x%5E2%2Ba%5E2y%5E2%3Da%5E4-a%5E2c%5E2)
利用
，得
，即：
(3) 如图9.3.4，设点%2Cy_0%5Cne%200)
(
的情况简单)的切线为：%2By_0)
移项得：
作点的法线与横坐标相交于点
，连接
。
利用(9.3.3)与柯西不等式，得到：
%5E2%7D%7B(ka)%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B(-y)%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%5C%5C%20%5Cge%20%5Cfrac%7B(kx-y)%5E2%7D%7Bk%5E2a%5E2%2Bb%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B(kx_0-y_0)%5E2%7D%7Bk%5E2a%5E2%2Bb%5E2%7D)
上式等号成立的几何条件是与椭圆相切，其代数条件为：
，整理得：
此时，%3D(x_0%2Cy_9))
，所以椭圆在点)
切线斜率为
根据法线的定义，
，所以直线
的方程为：
)
从而点的坐标为%3D%5Cleft(%5Cfrac%7Bc%5E2%7D%7Ba%5E2%7Dx_0%2C0%5Cright)%3D(e%5E2x_0%2C0))
所以：
另一方面：
%5E2%2By_0%5E2%7D%3D%5Csqrt%7Bx_0%5E2%2B2cx_0%2Bc%5E2%2Bb%5E2-%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7Ba%5E2%7Dx_0%5E2%7D%5C%5C%20%3D%5Csqrt%7Ba%5E2%2B%5Cfrac%7Bc%5E2%7D%7Ba%5E2%7Dx_0%5E2%2B2cx_0%7D%3Da%2B%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7Dx_0%3Da%2Bex_0)
同理：
最后：
根据角平分线定理知：平分
，命题得证。
题9.4 如图9.4.1，
是笔直的公路，
是两个村庄。顺丰快递在高速路建设一个快递站
，要求到
的距离和到
的距离和最短。
(1) 请使用尺规作图法给快递站选址。
(2) 若以为焦点的椭圆与直线相切，证明：切点为顺丰快递站。
(1)作图 如图9.4.2，按如下步骤作图：
a) 作点关于直线的对称点
。
b) 连接
，设直线与直线相交于点，那么就是要求的快递站。
证明 如图9.4.2，在直线上取异于点的点
，根据轴对称性质，有
即：是到两个村庄距离和最小的快递站。
(2) 设
，以此作为长轴作椭圆。根据椭圆切线的几何性质知，直线是椭圆的切线，其切点为。
题9.5 已知抛物线
，直线过点)
且与相切，求的方程。
解 分两种情况讨论：(1) 垂直
，此时
与相切。
(2)否则，设的方程为
，联立方程组：
消去
得的二次方程：
，由相切条件得：
，解得
，所以，此情况
。
综上所述，的方程为
或
。
题9.6 是椭圆
上的点，是直线
上的点，求线段
的最小值。
题9.7 如图9.7.1，二次曲线上两点
及线段的中点为
，过点作直线
与曲线交于
。设
，求证：
证明 以为原点，
为横坐标建立平面直角坐标系，并设
其中
。
不是一般性，设的曲线方程为：%3Dx%5E2%2Bay%5E2%2Bbxy%2Bcx%2Bdy%2Be%3D0)
根据已知条件知，关于的方程%3D0)
的两个根为
，即方程：
的两根为，根据韦达定理，
,即%3Dx%5E2%2Bay%5E2%2Bbxy%2Bdy%2Be)
两直线的方程可以表示为：%3D(x%2Bk_1y)(x%2Bk_2y)%3D0)
它与的交点为，所以直线
的方程可以表示为：%2B%5Cbeta%20F(x%2Cy)%3D0)
所以，
的横坐标为方程：%2B%5Cbeta%20F(x%2C0)%3D0)
的两根，%5CLeftrightarrow%202x%5E2%2Be%3D0)
根据韦达定理知，
中点为，即得
定义9.8 到两定点的距离差等于定值的点的轨迹，称为双曲线，称为焦点。
(1) 如图9.8.1，设为动点且满足：
。由定义知，点的轨迹是双曲线。
设图中的双曲线与正轴相交于点，则点的坐标为___________。
设图中的双曲线与正轴相交于点，证明：
。
(2) 依据(1)，定义了点，我们以后称为双曲线的实轴，为双曲线的虚轴，请指出图9.8.1中实轴与虚轴的位置，说明其几何性质，并证明双曲线的方程为：
。
(3) 为双曲线上的点，证明：点的切线平分。这说明光线从一个焦点发射，经双曲面反射后，反射光的反向延长线过另一个焦点。
(4) 比较抛物线、椭圆、双曲线的光学性质，总结其异同。
题9.9 已知直线
与双曲线
交于不同的两点。
(1) 求参数
的取值范围。
(2) 若以
为直径的圆经过坐标原点，求该圆的半径。
