第27课复数矩阵和快速傅里叶变换

当向量和矩阵是复数时，求两个复向量的内积

傅里叶复数矩阵，特殊的快速傅里叶变换(简称FFT)

在计算机经常用到，特别是涉及大数据的时候，它可以很快速的进行傅里叶变换。

做乘法时怎样才能快速用这个 $N$ 阶方阵做乘法，通常 $N$ 阶方阵的乘法要算 $n^2$ 次，因为有 $n^2$ 个非零元素，这是个矩阵，且列向量正交，而快速傅里叶变换将原先要进行 $n^2$ 次计算缩减到 $nlog(n),log_2$ ，该 $log$ 底数是 $2$ ，这只是简单的矩阵分解，但改变是巨大的

复向量一般用 $z$ ： $z$ 不属于 $R^n$ 而是 $n$ 维复空间， $z_1,z_2,\dots,z_n$ 都是复数
$\underbrace{z=\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{bmatrix}}_{in C^n}\\ 模长=\begin{bmatrix}\overline{z}_1&\overline{z}_2&\dots&\overline{z}_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{bmatrix}=\overline{z}^Tz\\ \overline{z}_1为共轭复数;\overline{z}_1z_1=|z_1|^2$
1的共轭为1， $i$ 的共轭是 $-i$
$z=\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}1&-i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix} = 1+1=2\\ 模长=\sqrt{2}$
$z^Hz$ 标志 $H$ 抽取转置的时候，还要算共轭， $H$ 代表埃尔米特

复向量的内积是 $\overline{y}^Tx=y^Hx$

实对称意味着 $A^T=A$ ，在复数对称矩阵中，
$A^H=A=\begin{bmatrix}2&b\\c&5\end{bmatrix}\\ 令b=3+i,\overline{c}^T=b\\ \therefore c=3-i$
复数情况下对应的对称矩阵 $\begin{bmatrix}2&3+i\\3-i&5\end{bmatrix}$ ，该叫做埃尔米特矩阵 $A^H=A$ ，它们的特征值是实数

$Q=\begin{bmatrix}\vdots&\vdots&\vdots\\q_1&q_2&q_3\\\vdots&\vdots&\vdots\end{bmatrix}\\ Q^TQ=I=Q^HQ$
酋矩阵它与 $Q$ 相似，首先它是 $n$ 阶方阵，列向量正交，有正交的列向量以傅里叶命名

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