有界线性算子

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数学主要研究的对象是函数、运算。

在这之前，我们关注的空间基本上是函数空间 $x(t)$ 或数列 $x_n$ 组成的空间，并建立了距离空间、赋范空间、内积空间、Hilbert空间的概念。

运用了类比、联想、归纳等数学研究方法，把有限维空间的代数结构和几何特征延伸、拓展到无穷维空间。

线性算子

许多数学问题，如：中学解析几何中的平移和旋转就是一些线性变换（运算）。

高等数学研究的微分、积分也都是线性运算，它们与 ${\mathbb{R}}^n$ 空间中的线性变换（向量的旋转、拉伸、平移等）有很多相同的运算性质。

线性方程组、微分方程、积分方程都可以看作是特定空间中的线性运算（或者称为线性变换或线性映射）。

我们把这些称之为线性算子，线性算子是泛函分析中最重要的基本概念之一。我们将全体有界线性算子（如积分、矩阵等）看作一个线性空间，并赋予范数，成为赋范线性空间，线性算子看作赋范空间中的元素。

线性算子空间是线性泛函分析研究的主要对象。在线性算子空间的框架下，研究线性运算的性质，解决分析、代数、几何中的问题。

在赋范空间中讨论有界线性算子的本质特征，可以得到一些很深刻的结论：

一致有界原则；
开映射定理、逆算子定理；
闭图像定理。

有界线性算子与有界线性泛函

有界线性算子与有界线性泛函的定义

满足性质 $T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty$ 的运算 $T$ 称为线性算子。因此微分运算、积分运算都是线性算子。

定义1：设 $X$ ， $X_1$ 是赋范空间， $\mathcal{D}\left( T \right) \subset X$ 是线性子空间， $T$ 是从 $\mathcal{D}(T)$ 到 $X_1$ 的映射，满足：
$T(x + y) = Tx + Ty,$

$T(\alpha x) = \alpha Tx,$

其中， $x,y \in \mathcal{D}(T), \alpha \in \mathbb{K}$ （ $\mathbb{K}$ 是数域），则称映射 $T$ 是从 $X$ 到 $X_1$ 的线性算子。 $\mathcal{D}(T)$ 称为 $T$ 的定义域。

注1： 一般地， $\mathcal{D}(T)$ 是 $X$ 的真子集，如果 $\mathcal{D}(T)= X$ ，则称 $T$ 是从 $X$ 上到 $X_1$ 的线性算子。

注2：若 $X_1 = \mathbb{K}$ （数）， $T:\mathcal{D}(T) \to \mathbb{K}$ 。这样的线性算子称为是线性泛函。

即线性泛函 $T$ （或 $f$ ）是从赋范空间 $X$ 到数域 $\mathbb{K}$ 的线性算子。

注3：从信号与系统的角度， $X$ 空间其实就是系统的输入空间（输入信号）， $X_1$ 空间就是系统的输出空间（输出信号）或者变换（作用）后的空间；线性算子就是一个线性系统。

定义2：设 $T$ 是从 $X$ 到 $X_1$ 的线性算子，若存在常数 $M>0$ ，使得
${\left\| {Tx} \right\|_1} \leqslant M\left\| x \right\|,\forall x \in X$

则称 $T$ 为有界线性算子。

如果一个线性泛函 $f$ 是有界的，如果存在常数 $M>0$ ，使得
${| {f(x)} |} \leqslant M\left\| x \right\|,\forall x \in X$

则称 $f$ 为有界线性泛函。因为泛函映成一个数，所以一个数的范数用绝对值表示。

注1：有界线性算子的有界是指映射后“放大的倍数”不超过一个常数。（元素的大小用范数衡量）

注2：由于内积可以产生范数，内积空间也是赋范空间，因此，有关赋范空间上的有界线性算子、有界线性泛函的讨论在内积空间依然成立。

注3：有界线性算子把有界集映成有界集（有界输入，有界输出）。

定义4：设 $X$ ， $X_1$ 是赋范空间， $T$ 是从 $X$ 到 $X_1$ 的线性算子，若 $x_n \to x_0$ 时， $Tx_n \to Tx_0$ ，则称 $T$ 在 $x_0$ 点连续。

定理5：设 $X$ ， $X_1$ 是赋范空间， $T$ 是从 $X$ 到 $X_1$ 的线性算子， $T:X \to X_1$ 。如果 $T$ 在 $x_0$ 点连续，则 $T$ 在 $X$ 上连续。

注1：对于线性算子来说，一点连续意味着点点连续。

注2：线性算子 $T$ 连续意味着：
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } T\left( {{x_n}} \right) = T\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n}} \right)$

极限运算和线性算子 $T$ 作用可以交换顺序。

定理6：设 $X$ ， $X_1$ 是赋范空间， $T$ 是从 $X$ 到 $X_1$ 的线性算子，则 $T$ 是连续的当且仅当 $T$ 是有界的。

有界线性算子组成的赋范空间

下面我们把有界线性算子看作一个元素，构成一个新的线性空间，即由全体有界线性算子（如积分运算、矩阵运算）构成的空间。

从赋范空间的角度研究线性算子的性质。

定义7：设 $X$ ， $X_1$ 是赋范空间， $\mathcal{B}(X, X_1)$ 表示从 $X$ 到 $X_1$ 的全体有界线性算子。

如果 $X= X_1$ ，我们把 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 简记为 $\mathcal{B}(X)$ 。

在 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 中可以自然地定义线性运算（加法、数乘），对于任给的 $A, B \in \mathcal{B}(X, X_1)$ 及 $\alpha \in \mathbb{K}$ ，定义：
$(A+B)(x) = Ax + Bx$

$(\alpha A)(x) = \alpha Ax$

由于 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 对加法、数乘运算封闭，因此成为线性空间。

下面我们把有界线性算子看成空间中的元素，在空间中定义有界线性算子的范数

定义8：设 $T$ 是从赋范空间 $X$ 到 $X_1$ 的有界线性算子，即存在 $M>0$ ，使得
$\left\| {Tx} \right\| \leqslant M\left\| x \right\|,\forall x \in X$

令
$\left\| T \right\| = \mathop {\sup }\limits_{\mathop {x \in X}\limits_{x \ne 0} } \frac{{\left\| {Tx} \right\|}}{{\left\| x \right\|}}$

$\left\| T \right\|$ 称为线性算子 $T$ 的范数。

定理10：设 $T$ 是从赋范空间 $X$ 到 $X_1$ 的有界线性算子，则:
$\left\| T \right\| = \mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| = 1} \left\| {Tx} \right\| = \mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| \leqslant 1} \left\| {Tx} \right\|$

特别地，当 $A,B \in \mathcal{B}(X)$ ，还可以定义乘法运算（记为 $AB$ ）：
$(A \cdot B)(x) = A(Bx)$

显然 $AB$ 也是线性算子，并且：
$\left\| {AB} \right\| \leqslant \left\| A \right\|\left\| B \right\|$

进一步有：
$\left\| {{A^n}} \right\| \leqslant {\left\| A \right\|^n}$

定理11：设 $a = (a_1, a_2 , \cdots , a_n) \in \mathbb{R}^n$ 。对于任意的 $x = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ ，定义：
$f(x) = \sum _{i=1}^{n} a_ix_i$

则 $f$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的有界线性泛函。

注： $\mathbb{R}^n$ 上的任何有界线性泛函一定可以写成上述形式， $f (x) = (a,x)$ ，即 $\mathbb{R}^n$ 上的有界线性泛函 $f$ 可以由 $\mathbb{R}^n$ 中的元素 $a$ 确定。

下面给出无穷维空间上的有界线性泛函

定理12： 设 $y_0(t)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数，对于任意的 $x \in C[a,b]$ ，定义：
$f(x ) \triangleq \int _a^b{x(t)y_0(t)} dt$

则 $f$ 是 $C[a,b]$ 上的有界线性泛函。

注1：可以证明线性泛函的范数 $\|{f}\| = \int _a^b|y_0(t)|dt$ 。

注2：特别地，若 $y_0(t) \equiv 1$ ，定积分 $f(x) = \int _a^b x(t)dt$ 是 $C[a,b]$ 上的有界线性泛函。

注3：不是所有的线性算子都是有界的，例如十分重要的微分算子就是一类无界算子。如，对 $\sin nt \in C[0,1]$ 求微分，我们有：
$T(\sin{nt}) = n \cos{nt}, \;\; \|x_n\| = 1$

但是， $\| Tx_n \| = n \to \infty (n \to \infty)$ ，即 $T$ 是无界的。

注：微分算子是一类十分重要的无界线性算子。微分算子虽然无界，但它是闭的线性算子。闭的线性算子也有“类似连续”的很好的性质。

有界线性算子空间的收敛性与完备性

有界线性算子空间中的收敛性

由算子的范数 $\| \cdot \|$ 可以诱导出算子的距离：
$d(A_1, A_2) = \| A_1 - A_2 \|,\;\; \forall A_1, A_2 \in \mathcal{B}(X, X_1)$

因此， $\mathcal{B}(X, X_1)$ 也是一个距离空间（在空间中定义了元素距离结构），有了距离可以讨论空间中元素列的收敛性，接着就可以讨论空间完备性。

显然在 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 中可以讨论算子列按范数的收敛性。

定义1：设 $A_n, A \in \mathcal{B}(X, X_1)$ ，若
$\| A_n - A\| \to 0 \;\;(n \to \infty)$

则称有界线性算子列 $\{A_n \}$ 按范数收敛到有界线性算子 $A$ 。

定理2：空间 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 中线性算子列 $\{A_n \}$ 按范数收敛等价于线性算子列在 $X$ 中的单位球面 $S$ 上一致收敛（收敛速度与 $x$ 取值无关， $x \in X$ ）。

一致收敛直观解释， $\| A_n x - Ax \| \to 0$ ，使 $\| \cdot \|$ 最大的 $x$ 点都收敛了，那么其它的点必然收敛，这是由算子范数定义决定的，算子范数取的是对 $x$ 所放大的最大的倍数（算子 $T$ 对不同 $x$ 取值放大倍数不同）。

进一步，算子列 $\{A_n \}$ 按范数收敛等价于在有界集上一致收敛。

在数学分析中，函数的收敛有逐点收敛、一致收敛，根据研究问题不同使用不同的收敛性。在泛函分析中，同样可以根据研究问题不同，考虑不同收敛性。

线性算子在空间 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 中，除了按范数收敛（或称一致收敛），还可以定义其它收敛方式。

定义3：设 $T_n, T \in \mathcal{B}(X, X_1) (n = 1,2, \cdots )$ 。如果对于 $\forall x \in X, T_n x \to Tx$ $( n \to \infty)$ ，即
$\| T_n x- Tx \| \to 0 \;\;\;(n \to \infty)$

则称 $\{T_n \}$ 逐点收敛到 $T$ （不同 $x$ 收敛速度可能不同），或称 $\{T_n \}$ 强收敛到 $T$ 。

注： $\{T_n \}$ 按范数收敛到 $T$ （一致收敛）可推出 $\{T_n \}$ 强收敛到 $T$ ，反之不成立。

有界线性算子空间的完备性

有界线性算子组成的空间是一个赋范空间，于是可以讨论它的完备性。

一个赋范空间是完备的（ $Banach$ 空间）当且仅当空间中的 $Cauchy$ 列一定收敛。

定理5：设 $X$ 是赋范空间， $X_1$ 是 $Banach$ 空间，则有界线性算子空间 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 是 $Banach$ 空间（完备的赋范空间）。

一致有界原则

我们把线性算子抽象成线性算子空间中的元素。抽象的目的是为了使我们能更清楚地看到线性算子的一些本质特征。

在线性算子空间的框架下，研究线性运算的性质，将得到一些深刻的结论，例如：一致有界原则，开映像定理，逆算子定理，闭图像定理。这三个定理和 $Hahn-Banach$ 定理（线性泛函的延拓定理）可以看作是赋范空间中线性算子理论的基石。

这三个定理刻画了 $Banach$ 空间中线性算子的重要性质。

$Baire$ 纲定理

定义1：设 $(X,d)$ 是距离空间， $E \subset X$ 。如果 $E$ 不在 $X$ 的任何非空开集中稠密，则称 $E$ 是疏集。

稠密的定义： $A,B$ 是距离空间 $X$ 中的点集，如果 $\bar B \supset A$ ，则称 $B$ 在 $A$ 中稠密。

注：疏集 $E$ 中没有内点。事实上，若 $x \in E$ 是内点，则存在一个开球 $S(x,r) \subset E$ ，那么 $E$ 在开球 $S(x,r)$ 中稠密。

定义2：若集合 $E$ 可表示成至多可数个疏集的并，即
$E = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {{E_n}}$

其中， $E_n$ 是疏集 $(n=1,2, \cdots)$ ，则称 $E$ 是第一纲集。不是第一纲集的集合称为第二纲集。

定理3（ $Baire$ 纲定理）：完备的距离空间是第二纲集。

推论： $Banach$ 空间是第二纲集。

一致有界原则

对于有界线性算子，可以得到：一族点点有界的有界线性算子必定一致有界。

定理7（ $Banach-Steinhaus$ 一致有界原则）：
设 $\{ T_\alpha | \alpha \in I\}$ 是 $Banach$ 空间 $X$ 上到赋范空间 $X_1$ 中的有界线性算子族。如果对于 $\forall x \in X$ ，有
$\mathop {\sup }\limits_\alpha \left\| {{T_\alpha }x} \right\| < \infty$

则 $\left\{ {\left\| {{T_\alpha }} \right\|\left| {\alpha \in I} \right.} \right\}$ 是有界集。其中 $\alpha$ 属于一个指标集。

注1：“一致”指的就是对所有的 $x \in X$ 都成立。

注2：定理表明，若对任意的 $\forall x \in X$ ，存在 $M_x > 0$ ，使得
$\left\| {{T_\alpha }x} \right\| \leqslant \mathop {\sup }\limits_\alpha \left\| {{T_\alpha }x} \right\| = {M_x} < \infty$

则存在一个共同的 $M$ ，使得
$\left\| {{T_\alpha }} \right\| \leqslant M,\forall \alpha \in I$

该定理的逆否命题：如果 $\left\{ {{T_\alpha }\left| {\alpha \in I} \right.} \right\}$ 是 $Banach$ 空间 $X$ 上到赋范空间 $X_1$ 中的有界线性算子族， $\mathop {\sup }\limits_\alpha \left\| {{T_\alpha }} \right\| = \infty$ ，则存在 $x \in X$ ，使得
$\mathop {\sup }\limits_\alpha \left\| {{T_\alpha }x} \right\| = \infty$

该命题称为共鸣定理。

强收敛意义下的完备性

由上节定理5可知，如果 $X$ 是赋范空间， $X_1$ 是 $Banach$ 空间，则有界线性算子空间 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 是 $Banach$ 空间。即空间中任何 $Cauchy$ 列都按算子的范数收敛（即当 $n \to \infty$ ，算子范数 $\| T_n - T \| \to 0$ ）。

下面考虑在强收敛意义下的完备性即空间中任何 $Cauchy$ 列逐点收敛。

定理12：设 $X,X_1$ 是 $Banach$ 空间，则 $\mathcal{B}(X, X_1)$ 在强收敛意义下完备。

注：完备的含义：

$T_n \in \mathcal{B}(X, X_1),$
若 $\forall x \in X, \{ T_nx\}$ 是 $X_1$ 中的 $Cauchy$ 列，则存在 $T \in \mathcal{B}(X, X_1)$ ， ${T_n}\mathop \to \limits^{Strong} T\left( {n \to \infty } \right)$ ，即
$\forall x \in X, {T_nx}\mathop \to Tx\left( {n \to \infty } \right)$

注： $T_n x$ 就是第 $n$ 次迭代后算子（模型）的输出。 ${T_nx}\mathop \to Tx , T_n \to T$ 。

开映射定理与逆算子定理

逆算子

若对任给的 $y \in \mathcal{R}(T)$ （ $\mathcal{R}(T)$ 表示映射 $T$ 的值域），只有唯一的 $x \in X$ ，使得 $y = Tx$ ，则称映射 $T$ 是单射。这时可定义从值域 $\mathcal{R}(T)$ 到 $X$ 的算子 $T^{-1}$ ，并称 $T^{-1}$ 为 $T$ 的逆算子。

众多数学问题，都可归结为求方程 $Tx = y$ 的解，即考虑 $T^{-1}$ 是否存在、是否唯一以及 $T^{-1}$ 是否连续（算子连续可保证解的稳定性）。

定义1（逆算子）：设 $T$ 是从线性空间 $X$ 到线性空间 $X_1$ 中的线性算子。如果存在 $X_1$ 到 $X$ 中的线性算子 $T_1$ ，使得
$T_1Tx = x (x \in \mathcal{D}(T) \subseteq X)$

$TT_1y = y (y \in \mathcal{R}(T) \subseteq X_1)$

则称算子 $T$ 有逆算子， $T_1$ 为 $T$ 的逆算子，记为 $T^{-1}$ 。

注1： $T$ 存在逆算子的充要条件是： $T$ 是空间 $X$ 中到空间 $X_1$ 中的一对一映射。

注2：如果 $T^{-1}$ 存在，则 $T^{-1}$ 是唯一的。

注3：可以证明 $T^{-1}$ 也是线性算子。

注4： $(T^{-1})^{-1} = T$ 。

定理2：设 $T$ 是从赋范空间 $X$ 到赋范空间 $X_1$ 中的线性算子。如果存在 $m > 0$ ，使得
$\left\| {Tx} \right\| \geqslant m\left\| x \right\|\left( {x \in \mathcal{D}\left( T \right)} \right)$

则 $T$ 存在有界的逆算子 $T_1$ 。

注1： $T^{-1}$ 是从 $\mathcal{R}(T)$ 到 $\mathcal{D}(T)$ 的映射， $\mathcal{R}(T)$ 不一定是全空间 $X_1$ ， $\mathcal{D}(T)$ 也不一定是全空间 $X$ 。

注2：这里并未要求 $T$ 有界，只要求 $T$ 下方有界即可。

开映射定理

定义3：设 $T$ 是 $X \to X_1$ 的一个映射，若 $T$ 把 $X$ 中的任何一个开集映成 $X_1$ 中的开集，则称 $T$ 是开映射。

定理4（开映射定理）：设 $T$ 是定义在 $Banach$ 空间 $X$ 上到 $Banach$ 空间 $X_1$ 上的有界线性算子，则 $T$ 是开映射。

注1：定理要求的条件是： $\mathcal{D}(T)=X，\mathcal{R}(T)=X_1,TX = X_1$

注2：定理表明：当 $T$ 是有界线性算子时，若 $TX = X_1$ ， $X ， X_1$ 都是 $Banach$ 空间，则对开集 $G,TG$ 一定也是开集。

注3：注意 $T$ 是开映射与 $T$ 是连续的区别。
$T$ 是开映射： $T$ 把一个开集映成开集。
$T$ 连续 $\Leftrightarrow$ 开集的原像是开的，即 $G \subset X_1,G$ 是开集 $\Rightarrow T^{-1}(G)$ 是开集。

注4：如果线性算子 $T$ 是开映射，且 $T$ 的逆算子存在，则 $T$ 的逆算子 $T^{-1}$ 是连续的，也即 $T^{-1}$ 是有界线性算子。

逆算子定理

定理5（ $Banach$ 逆算子定理）：设 $T$ 是定义在 $Banach$ 空间 $X$ 上到 $Banach$ 空间 $X_1$ 上一对一的有界线性算子，则 $T$ 的逆算子存在，且 $T^{-1}$ 是有界的。

注： $TX = X_1,X$ 是 $Banach$ 空间， $X_1$ 是 $Banach$ 空间或第二纲集这些条件不能少。

例如： $X = X_1 = C[0,1]$ ，
$Tx = \int_0^t {x\left( s \right)ds} , \ x(s) \in C[0,1]$

注意到 $TX \ne X_1$ ，经变上限积分算子映过去以后不再是一个 $Banach$ 空间，因此推不出 $T^{-1}$ 有界。

事实上，
$TX = M =\left\{ {y \in C^1[0,1] | \;\;y(0) = 0}\right\}$

$M$ 是 $C[0,1]$ 中的疏集（一阶可导函数的全体），不是第二纲集。

$T^{-1}$ 事实上是一个微分算子，是无界线性算子（微分运算不连续，会存在间断点）。

闭算子与闭图像定理

闭线性算子是一类非常重要的线性算子，它有与连续线性算子“相近”的性质（极限可以跟算子交换顺序），微分算子就是一类闭线性算子。

闭算子的定义

定义1：设 $X, X_1$ 是赋范空间， $T$ 是从 $X$ 中到 $X_1$ 中的线性算子，考虑乘积空间
$X\times X_1 = \left\{ {(x,y) | \;\;x \in X, y\in X_1 }\right\}$

在该空间上定义范数：
对于任意的 $z = (x,y) \in X \times X_1$ ，令
$\left\| z \right\| = \left\| {\left( {x,y} \right)} \right\| = \left\| x \right\| + {\left\| y \right\|_1}$

若 $X, X_1$ 是 $Banach$ 空间，则 $X \times X_1$ 也是 $Banach$ 空间。令
$G(T) = \left\{ {(x, Tx) \in X \times X_1 | x \in \mathcal{D}(T)} \right\}$

称集合 $G(T)$ 为算子 $T$ 的图像（很多时候这个图像是画不出来的）。

定义2：如果 $G(T)$ 在乘积赋范空间 $X \times X_1$ 是闭的，则称 $T$ 是闭算子。

定理3：（闭算子的等价条件）设 $X, X_1$ 是赋范空间， $T$ 是从 $X$ 到 $X_1$ 中的线性算子，则 $T$ 是闭算子当且仅当对 $\forall \{x_n\} \subset \mathcal{D}(T), x_n \to x \in X,$ 及 $Tx_n \to y \in X_1$ ，必有 $x \in \mathcal{D}(T), \ y = Tx$ 。

注1：由上述定理，显然定义在全空间上的有界（连续）线性算子一定是闭线性算子。

注2：对于闭线性算子来说，在上述条件下，极限运算可以和算子交换顺序。

闭图像定理

定理4：（闭图像定理）设 $T$ 是 $Banach$ 空间 $X$ 上到 $Banach$ 空间 $X_1$ 中（不一定要映满全空间）的闭线性算子，则 $T$ 是有界线性算子。

最后编辑于：2019.11.24 21:56:01

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有界线性算子

回顾

线性算子

有界线性算子与有界线性泛函

有界线性算子与有界线性泛函的定义

有界线性算子组成的赋范空间

有界线性算子空间的收敛性与完备性

有界线性算子空间中的收敛性

有界线性算子空间的完备性

一致有界原则

纲定理

一致有界原则

强收敛意义下的完备性

开映射定理与逆算子定理

逆算子

开映射定理

逆算子定理

闭算子与闭图像定理

闭算子的定义

闭图像定理

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