Leetcode【470、478、497、519、528】

题目描述:【Math】470. Implement Rand10() Using Rand7()
解题思路:

这道题是用等概率的 Rand7()([1, 7])产生等概率的 Rand10()([1, 10])。

因为是要产生等概率的 Rand10(), 因此诸如 Rand7() + Rand7() // 2 的做法就不用想了(不是等概率)。

但是有一条重要的数学性质:调用两次等概率的 RandN() 可以产生等概率的 Rand(N^2)(),如调用两次等概率的 Rand7() 可以产生等概率的 Rand49()。

这就好办了,我们可以用 Rand7() 先产生 Rand49(),得到等概率的 [1, 49],然后随机产生一个数字,如果是 [41, 49],丢弃了也无妨。如果是 [1, 40],对 10 取模,就可以得到等概率的 [1, 10]。

那么,问题的关键在于,如何 Rand7() 两次来产生 Rand49() 呢?公式如下:

  • Rand49() = Rand7() + 7 * (Rand7() - 1)

即 Rand7() 得到 [1,2,3,4,5,6,7],7 * (Rand7() - 1) 得到 [0,7,14,21,28,35,42],然后对应元素相加即可得到等概率的 [1,49] 了(画一个方阵对应着加一下)。

此解决方案可以推广到所有 RandN 生成 RandM (N < M) 的场景(如果 N >= M,直接丢弃超过 M 的数字即可)。

Python3 实现:
# The rand7() API is already defined for you.
# def rand7():
# @return a random integer in the range 1 to 7

class Solution:
    def rand10(self):
        """
        :rtype: int
        """
        while True:
            tem = rand7() + (7 * (rand7() - 1))  # 构造均匀分布 1~49
            if tem <= 40:  # 丢弃大于40的数字,保证等概率
                return (tem - 1) % 10 + 1  # mod10 可以得到均匀分布的[1,10]

问题描述:【Math】478. Generate Random Point in a Circle
解题思路:

这道题给出圆的半径 r 及圆心坐标,随机生成一个在圆内或圆上的坐标。

很简单,只需要随机生成两个正负半径范围内的浮点数 x、y,然后判断是否满足 x^2 + y^2 <= r^2(= 表示可以在圆上),如果不满足,重新生成两个浮点数;满足的话,各自加上圆心坐标就是最后的结果。

Python3 实现:
class Solution:

    def __init__(self, radius: float, x_center: float, y_center: float):
        self.radius = radius
        self.x_center = x_center
        self.y_center = y_center

    def randPoint(self) -> List[float]:
        while True:
            x = random.uniform(-self.radius, self.radius)
            y = random.uniform(-self.radius, self.radius)
            if x * x + y * y <= self.radius * self.radius:
                return [self.x_center + x, self.y_center + y]


# Your Solution object will be instantiated and called as such:
# obj = Solution(radius, x_center, y_center)
# param_1 = obj.randPoint()

问题描述:【Binary Search】497. Random Point in Non-overlapping Rectangles
解题思路:

这道题是给一些不重叠的矩阵,从这些不重叠的矩阵中随机采样一个整数点(采样点包括矩阵边界)。

因为可能有很多矩阵,而我们又要保证等概率的选取一个点,因此我们可以先计算出每个矩阵能采样多少个点,并计算总采样点,然后 num = random.randint(1, 总采样点) 采样一个数 num。接下来,我们要计算这个 num 落在了哪一个矩阵中。这时我们可以像下面的 Leetcode 528 题一样,按顺序求出矩阵的前缀和,然后使用二分查找的方法计算 num 落在了哪一个矩阵中。最后,我们再像下面的 Leetcode 519 题一样,将 num 映射到二维坐标上,返回结果。

举个例子,假设有三个矩阵 rects = [[2,1,5,3], [1,1,2,2], [1,2,3,4]],我们容易的计算出每个矩阵可以采样的点数分别为 [12,4,9],总采样点数为 12+4+9 = 25,同时计算前缀和 pre_sum = [12,16,25]。我们假设随机了一个 [1, 25] 区间的数 num = 15,那么根据 pre_sum,就可以使用二分查找的方法,得到 15 应该位于 rects[1] 这个矩阵中,并且可以知道 15 是 rects[1] 中的第 3 个样本点(15-12=3)。最后,我们把这第 3 个样本点映射到二维坐标中,假设按照从左到右,从下到上映射,我们将会得到坐标 [1, 2]。

Python3 实现:
class Solution:

    def __init__(self, rects: List[List[int]]):
        self.rects = rects
        self.pre_sum = [0] * len(rects)  # 前缀和
        self.pre_sum[0] = (rects[0][2] - rects[0][0] + 1) * (rects[0][3] - rects[0][1] + 1)
        for i in range(1, len(rects)):
            self.pre_sum[i] = self.pre_sum[i-1] + (rects[i][2] - rects[i][0] + 1) * (rects[i][3] - rects[i][1] + 1)

    def pick(self) -> List[int]:
        rand = random.randint(1, self.pre_sum[-1])
        low, high = 0, len(self.pre_sum) - 1
        # 根据前缀和进行二分查找,找到随机数落在哪个矩阵中(low即为位置)
        while low <= high:
            mid = (low + high) // 2
            if self.pre_sum[mid] < rand:
                low = mid + 1
            elif self.pre_sum[mid] >= rand:
                high = mid - 1
        # 找到对应矩阵
        x1, y1, x2, y2 = self.rects[low][0], self.rects[low][1], self.rects[low][2], self.rects[low][3]
        rows = x2 - x1 + 1
        cols = y2 - y1 + 1
        if low != 0:  # 在该矩阵中的rand值,取值为[1, rows*cols]
            rand -= self.pre_sum[low-1]
        rand -= 1  # 将rand值范围变为[0, rows*cols-1],便于映射到二维坐标上
        # 左下角对应0,右上角对应rows*cols-1,从左到右,从下到上   
        i = x1 + rand % rows
        j = y1 + rand // rows
        return [i, j]


# Your Solution object will be instantiated and called as such:
# obj = Solution(rects)
# param_1 = obj.pick()

问题描述:【Array】519. Random Flip Matrix
解题思路:

这道题是说给一个 n_rows 行 n_clos 的矩阵,初始化为 0。如果调用 flip 函数时,随机将 0 的位置置为 1,返回矩阵坐标。如果调用 reset 函数,重置矩阵为全 0。

因为时间消耗比较多的肯定是 random() 的调用次数,但是矩阵大小可以为 10000*10000,且 flip 函数最多调用 1000 次,因此我们可以随机多次 random() 函数,找到非 0 的位置,把它置为 1。

因为要求调用的 random() 次数最少,因此我们可以通过调用一次 random() 来计算出矩阵坐标(而不用两次)。例如 n_row = 2,n_cols = 3,我们随机一个 [0, n_rows*n_cols-1] 区间的数 num,然后使用 i = num // n_colsj = num % n_cols 就可以得到对应矩阵的行列坐标(i,j)。

因为还要考虑到空间,所以直接开一个 n_rows 行 n_clos 的矩阵空间肯定是浪费的,而且在调用 reset 函数也是 O(n^2) 的复杂度,这样肯定不行。实际上,我们只需要保存那些置为 1 的坐标到一个集合中。在 flip 函数中,每次 random() 一个坐标,判断其是否在集合中(O(1) 复杂度),如果在,说明这个坐标之前已经被置为 1 了,那就重新 random() 一个坐标;如果不在,说明这个坐标之前没有被置为 1,就把当前坐标加入到集合中,同时返回该坐标。在 reset 函数中,我们也只需要 .clear() 清空这个集合即可。时间复杂度和空间复杂度都极大地降低。

Python3 实现:
class Solution:

    def __init__(self, n_rows: int, n_cols: int):
        self.n_rows = n_rows
        self.n_cols = n_cols
        self.one = set()  # 保存置为1的那些坐标

    def flip(self) -> List[int]:
        while True:
            rand = random.randint(1, self.n_rows*self.n_cols) - 1
            row = rand // self.n_cols  # 根据随机的数字计算矩阵行列坐标
            col = rand % self.n_cols
            if (row, col) not in self.one:  # 之前没有被置为1的坐标
                self.one.add((row, col))
                return [row, col]

    def reset(self) -> None:
        self.one.clear()  # 清空置为1的那些坐标


# Your Solution object will be instantiated and called as such:
# obj = Solution(n_rows, n_cols)
# param_1 = obj.flip()
# obj.reset()

题目描述:【Binary Search】528. Random Pick with Weight
解题思路:

这道题实际上是给一个数组 w,其中 w[i] 代表位置 i 的权重。写一个函数,可以随机地获取位置 i,选取位置 i 的概率与 w[i] 成正比。

举个例子,w = [1,3,2,2],我们需要随机的获取位置 i (0、1、2、3),选取位置 0 的概率是 1/(1+3+2+2) = 1/8,选取位置 1 的概率是 3/(1+3+2+2) = 3/8,选取位置 2 的概率是 2/(1+3+2+2) = 2/8,选取位置 3 的概率是 1/(1+3+2+2) = 2/8。

弄懂题意后,我们可以想到先随机一个 [1, 8] 中间的数,比如 7,那么 7 是哪个位置的呢?很明显属于位置 3;如果随机的数是 3,则属于位置 1。

因此,我们可以先求出 w = [1,3,2,2] 的前缀和,得到 pre_sum = [1,4,6,8],分别对应位置 0 到 3,然后随机产生一个 num = random.randint(1, 8)(1 <= num <= 8),使用二分查找的方法确定落在哪个对应的位置即可。时间复杂度为 O(logn)。

Python3 实现:
class Solution:

    def __init__(self, w: List[int]):
        self.tot = sum(w)  # 总和
        self.pre_sum = [0] * len(w)  # 前缀和
        self.pre_sum[0] = w[0]
        for i in range(1, len(w)):
            self.pre_sum[i] = self.pre_sum[i-1] + w[i]
        

    def pickIndex(self) -> int:
        tot = self.tot
        pre_sum = self.pre_sum
        rand = random.randint(1, tot)  # 随机产生一个数1<=rand<=tot
        low, high = 0, len(pre_sum) - 1
        while low <= high:  # 二分查找
            mid = (low + high) // 2
            if pre_sum[mid] < rand:
                low = mid + 1
            elif pre_sum[mid] >= rand:
                high = mid - 1
        return low  # 最终的对应位置
        

# Your Solution object will be instantiated and called as such:
# obj = Solution(w)
# param_1 = obj.pickIndex()
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