分析的兴起

如果说17世纪是天才的世纪，18世纪则是发明的世纪。数学家深入研究微积分，产生了一些重要分支：无穷级数、常微分方程、偏微分方程、微分几何和变分法。他们建立起了现在数学中最广阔的领域：数学分析（分析还包括18世纪数学家几乎未接触过的极限和实数）。另一方面，坐标几何和代数与17世纪相比只有微小的进展，即使是代数中的重大问题（解n次方程）也是因为分析（如部分分式法求积分）需要才受到注意。

在18世纪前30年，大家到处使用几何法，但欧拉和拉格朗日认识到分析法的有效性后，他们渐渐谨慎地把几何法换成分析法，在18世纪末蒙日复兴了几何法，但他的目的是指导分析法工作。尽管他因为赋予几何法新的生命力，而被认为是几何学家，但是他没有探索新的几何思想，主要兴趣和成果都在分析工作上。

拉格朗日和拉普拉斯都强调了分析的重要性。18世纪分析的特点值得一提，一方面，人们仍然重视牛顿的导数和反微分法，所以很少用到求和的概念。但另一方面，莱布尼茨的概念（导数的微分形式）和记法被广泛接受，19世纪统一了函数y=f(x)的一阶微分dy和dx的用法，但18世纪的人们自由使用高阶微分，到今天也没有建立起严密的基础。

18世纪的数学将数从几何中分离出来，含蓄地强调了数系、代数以及分析本身真正的基础。19世纪这个现象变得更加突出。因为18世纪以前几何占统治地位，18世纪的数学家仍自称几何学家。

18世纪工作的推动力

18世纪物理对数学的推动力更大了，实际上很多人工作的目标不是数学，而是求解物理问题，拉普拉斯认为数学只是物理的工具，他也只关心数学对天文学的价值。

物理的主要课题当然是力学，特别是天体力学。数学和力学紧密相连，达朗贝尔等人认为笛卡尔、帕斯卡、牛顿等人的数学工作已经过时了，大家应该搞对物理有用的数学，比如离散质量系统的力学和连续介质的力学。

不过事实跟达朗贝尔的看法恰好相反，拉格朗日说力学变成了数学分析的分支。伽利略开创、牛顿继承的工作法（将基本的物理原理表示为定量的数学陈述，然后利用数学论证推导出新的物理成果）继续推进，物理变得更加数学化，物理的主要分支与数学结合建立了数学物理。

因为科学跟工程学在当时没有明确界限，很多数学家在研究工业技术的问题，比如欧拉研究船的设计、帆的作用、弹道学、地图学等等，蒙日研究挖掘、填塞、风车叶片等等。

蒙蒂克拉（Jean-Étienne Montucla，1725-1799）把数学分成两部分，一部分由纯粹抽象组成，另一部分由物理-数学的混合物组成，这部分包括能用数学方法处理的领域，如力学、光学、天文学、建筑学、保险业、声学和音乐。

证明的问题

物理问题推动了数学的发展，在18世纪数学和物理的合并有决定性意义。微积分的基础是不牢靠的，分析的细致问题，如级数与积分的收敛性、微分与积分次序交换、高阶微分的使用、以及微分方程解的存在性问题等等没什么人在意。数学家的工作完全靠清楚的运算法则，他们把物理问题用数学形式表达后再得出新的方法和结论。数学的物理意义引导着数学的步骤，而且时常提供部分依据来填补非数学的步骤，用结论在物理上的正确性保证它在数学上的正确性。

18世纪人们对符号的信任远超对逻辑的信任，因为无穷级数对一切x的一切值都有同一个符号表示，所以他们不重视区分使级数收敛的x值和使级数发散的x值。即使他们知道1+2+...有一个无穷大的和，他们也不愿意对求和法提出疑问。

对复数的使用也是基于对符号的信任，因为二次方程在零点是实数时可以表示为线性因式的乘积，大家认为零点是复数时也应该有线性因式。他们对形式的依赖阻碍了他们的前进，比如他们深信函数必定能用公式表示，因此在扩大函数概念时遇到了困难。

18世纪人们已清楚数学对证明的要求，比如欧拉试图证明使用发散级数是正当的，拉格朗日也表示要给微积分一个基础，不过成效甚微，而且大家更重视使用性，不在乎失去严密性。甚至有些人吃不到葡萄说葡萄酸，说希腊人搞严密性没啥意义。约瑟夫·沃克斯(1778-1853)是一个计算方法学家，他的论文被巴黎科学院批评为缺乏严密性时，他反驳说这是偏爱手段忽视目的的迂腐。

其实人们很清楚地意识到他们忽略了严密性。达朗贝尔比喻说大家只顾着造高楼不打牢地基，18世纪出现了很多伟大创造，而19、20世纪的人们又看不起18世纪粗糙的经不起考验的归纳性工作。