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前言

本书不是教科书，对逻辑学进行简单介绍，追求广度而非深度。读完后，你对逻辑学的基础有了一个很好的掌握，同时也能理解为什么人们愿意思考这门学科了。独特点：探寻潜藏在哲学深处的逻辑学之根源。

每一章开始都提出一个特定的哲学问题或逻辑难题。然后指出一种解决方案，以及存在问题。

读逻辑学或哲学书可不同于读小说。有时，要放慢速度，仔细阅读；有时，得停下来思考，必要时准备回头读上一段。

第一章 效度：根据什么样的原因得出什么样的结论？

逻辑是什么？推理就是逻辑。设法根据所知道的进行推理，推断出为何如此。逻辑学研究的是什么可以算是某事的一个很好的原因，以及它为何是一个好原因。

两点推理--逻辑学家称之为推论：

1. 罗马是意大利的首都，这架飞机在罗马着陆；因此，这架飞机在意大利着陆。
2. 莫斯科是美国的首都；因此，你不可能去了莫斯科而没有去美国。

第一个推理很好；第二个推理是不算数的，也不会说服任何有地理常识的人：因此前提---莫斯科是美国的首都---就是错误的。

“因此”前的断言---逻辑学家称之为前提---是陈述原因的；“因此”之后 的断言---逻辑学家称之为结论---被认为 是由这些原因所导出的。结论要由前提推导而出，这就是逻辑学所关注的。它可不关心一个推论的前提是对还是错的。

结论确实由前提推导而来的一次推理是有效的。

逻辑学的中心目标是理解效度。首先，要区分两种不同的效度。

1. 如果夜贼从厨房的窗户破窗而入，在外部就会留下脚印，但是没有脚印留下；因此，夜贼没有从厨房破窗而入。
2. 琼斯手指上有尼古丁的痕迹，因此琼斯是个吸烟的人。
3. 琼斯每天买两包烟，因此有人在厨房的窗外留下了脚印。

第一个推理是一个非常直接的推理。如果前提正确，结论也必然正确。换句话说，若没有结论的同时正确，前提就不能算是正确。逻辑学家称这样的推理为有效的演绎。

第二个推理有点不同。前提很清楚地为结论提供了一个很好的理由，但结论却不是结论性的陈述。像这样的推理通常被认为是有效的归纳。

第三个推理根据任何一个标准都无望成为有效推理。前提似乎没有为结论提供什么理由。此推理不论在演绎上还是在归纳上都是无效的。

归纳效度是一个非常重要的概念。人们将更多的努力放在了理解演绎效度。除非特别说明，“效度”就是指“演绎效度”。

什么是有效推理呢？在所有情形下，所有前提都是正确的，结论也是正确的。

什么叫正确？假定这个解释是正确的，那么要知道一个推理是有效的演绎就要知道不存在前提正确、结论却不正确的情形。

人们如何知道什么样的推理能在所有情形下都被证明是正确的呢？我们必须从某种特殊的渠道对此有所了解。

合乎语法和不合乎语法的句子有无限多。我们能做到这一点是因为这些数目无限的句子都是由数目有限的规则生成的，这些规则植入了我们体内；生物进化使得我们具有天生的语法知识。 逻辑学也是一样吗？逻辑的规则也是植入我们体内的吗？

** 本章要点：

• 一个有效推理是结论由前提推导而来的推理。
• 一个具有演绎效度的推理是这样的一种推理：推理过程中不存在所有前提都正确但结论却错误的情形。

第二章 真值函数及其他

不管效度的规则是否植入了我们体内，我们对于效度或各种推理都有很强的直觉。

eg:她是个女人且是个银行家，因此她是个银行家。

以上推理是有效的，没有多少争议的。

以下推理是无效的也是没有多少争议的：“他是个木匠，因此他是个木匠且打棒球。”

不过，有时直觉会给我们带来麻烦。

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一个析取命题怎么样才能算是正确呢？只要一个或另一个析取项正确即可。因此，只要前提正确，结论就正确。第二个推理似乎也是有效的。如果两个断言中只有一个正确且其中有一个已经是错误的，那么剩下那个必然正确。

现在，把这两个表面看来是有效推理放在一起，可得到如下显然是无效的推理：

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这样的推理不可能是正确的。如果所有的前提在所有情况下都是正确的，那么它们的结论就是正确的，根据这些结论推导出的其他结论就是正确的，直到我们得到最终的结论。那么，这里的问题出在哪儿呢？

首先，我们把句子“猪会飞”写做p，把“女王很富有”写做q。上述例子中所使用的两个特殊句子与事物没有多大关系，我本可以使用任何两个句子来阐述，因此，我们可以忽略它们的内容。这就是我们把这些句子写成单个字母的原因。

“要么女王很富有，要么猪会飞”便变成“要么q要么p”，逻辑学家常常将其写成qVp。那么，“女王不富有”这一句该如何改写呢？我们可以改写成“并非女王很富有”，把否定词置于分句之前。因此，这一句就可以写成“并非q”。逻辑学家常把它写成逻辑表达式﹁q，并称之为q的否定。那么“女王很富有，且猪会飞”——即“q与p”这一句呢？逻辑学家常把它写做q&p，并称之为q与p的合取，q和p为合取项。在掌握了这一方法之后，我们可把上述系列推理用逻辑式表达如下：

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句子可以是正确的（真），也可以是错误的（假）。我们用T来表示真，用F来表示假。这些值被称为真值。若已知一个句子a，a句的真值与它的否定式﹁a的真值之间有何关系呢？如果一个句子为真，则另一个为假；反之亦然。因此，如果“女王很富有”为真，则“女王不富有”为假，反之亦然。我们可将此关系标明如下：

• 只要a的真值为F，﹁a的真值就为T。
• 只要a的真值为T，﹁a的真值就为F。

逻辑学家称其为否定的真值条件。如果我们假设每个句子要么是真的要么是假的，但决不是两者兼而有之，我们便能用以下表格来描述真值条件（逻辑学家称其为真值表）：

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析取命题（V）的真值情况又是怎样的呢？如果一个析取命题（a V b）中的一个命题a或另一个命题b（或者两个命题）为真，则该析取命题就为真；反之，则为假。我们可将析取命题的真值条件标明如下：

• 只要a与b中至少一个的真值为T，析取命题a V b的真值就为T。

• 只有当a与b的真值均为F时，析取命题a V b的真值才为F。
  这些条件可用以下真值表表示：

  
  
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  表中的每一行——除了第一行的表头——标明了a（第一列）与b（第二列）真值的可能组合。

同样，a与b的真值与a&b的真值之间的关系又是怎样的呢？一个简单自然的假设是：如果a与b都为真，那么a&b为真。因此，我们可举例如下：只有当“约翰35岁了”和“约翰的头发是棕色的”都正确，合取命题“约翰35岁了，且有棕色的头发”才是正确的。我们可用合取命题的真值条件将其标明如下：

• 只有a与b都具有真值T，a&b才具有真值T。
• 只要a与b中至少一个命题的真值为F，那么a&b的真值就为F。

这些条件可用以下真值表表示：

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比如，假设有以下情形：

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（r可能是“大黄有营养”这样的句子，而“p：T”表示p被赋予真值T，等等。）那么，逻辑式p&（﹁r V q）的真值又是怎样的呢？我们获得这一真值的方法与我们计算3×（-6+2）时使用乘法表和加法表一样。r的真值为T，因此根据否定真值表可知，﹁r的真值为F。但是，由于q的真值为F，由否定真值表可知，﹁r V q的真值为F。由于p的真值为T，由合取真值表可知，p&（﹁r V q）的真值为F。采用这样的方式，我们能获得任何包含有&、V和﹁的逻辑式的真值。

如果没有情形可表明所有前提为真而结论不真（假），那么这个推理就是有效的。也就是说，如果无法赋予相关句子以T值和F值（这样会导致所有前提为T而结论为F），那么这个推理就是有效的。比如，来看一下我们前面提到过的推理：q/q V p。（我把这个逻辑式写在一行上是为了让牛津大学出版社省点钱。）相关句子为q和p。共有四种真值组合，我们可计算出每一种组合的前提和结论所具有的真值。我们可将结果表示如下：

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前两列展示了q和p真值的可能组合。后两列则相应地给出了前提和结论的真值。第三列与第一列相同。这是本例的一个巧合，在这个特定的例子中，前提恰好是其中的一个相关句。第四列内的真值可以根据析取真值表获得。有了以上信息，我们可以看出，这个推理是有效的。因为没有一行是前提q为真，而结论q V p不为真的。

推理q V p，﹁q/p的情况又怎样呢？我们可按照相同的方式得到下表：

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这次共有五列，因为共有两个前提。前提和结论的真值可以根据析取和否定真值表获得。而且，也没有哪一行表明两个前提都为真而结论却不为真。因此，这个推理是有效的。

那么我们一开始使用的那个推理q，﹁q/p呢？采用前面的方法我们可以得到下表：

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这就是解决我们一开始所说的问题的方案。根据此方案，我们一开始的直觉推理是错误的。别忘了，直觉经常误导人。大家看来，地球明显是一动不动的——直到学习了物理，才发现地球实际上在飞速地穿越太空。我们的直觉在这样的环境下形成，并不适用普遍情况——就像学走路时所养成的习惯（比如，不向一边倾斜）在其他环境下就不管用（比如，当你在学骑自行车时）。

综上所述，否定命题句﹁a的真值完全是由命题句a的真值决定的。同样，析取命题句a V b和合取命题句a&b的真值完全是由命题句a与b的真值决定的。逻辑学家把这样的运算称为真值函数。但是，有很多理由表明，英语中的or和and不是真值函数——至少不一定是真值函数。

比如，根据合取命题真值表，“a与b”和“b与a”具有相同的真值，即a与b都为真的话，它们也都为真，否则就都为假。但我们来看一下下面两句：

1. 约翰撞了头，摔倒了。
2. 约翰摔倒了，撞了头。

第一句说的是，约翰撞了头，于是摔倒了。第二句说的是，约翰摔倒了，于是撞了头。很明显，即使第二句为假，第一句也可能为真；反之亦然。因此，重要的不是合取项的真值，而是哪一个合取项为另一个合取项的起因。

连接词or也存在类似的问题。根据我们前面所说的方法，如果命题句a与命题句b中的一个正确，则析取命题“a or b”就是正确的。但是，如果一个朋友这样对你说：

要么你现在来，要么我们会迟到；

于是你来了。根据析取真值表，这个析取命题为真。但是，假如你发现朋友一直在跟你开玩笑：你本可以半小时后出发，而且仍然会准时到达。在这样的情形下，你肯定会说你朋友说谎了：他说的都是假话。因此，我们再次发现，重要的不仅仅是析取项的真值，而且是它们之间所存在的某种关系。

本章要点

• 在一种情形下，每个相关句都被赋予了一个特定的真值（T或者F）。
• 当命题a的真值为F时，其否定命题﹁a的真值就为T。
• 当命题a与b中至少有一个命题的真值为T时，析取命题a V b的真值就为T。
• 当命题a与b的真值均为T时，合取命题a&b的真值才为T。

第三章 名称与量词：无名小卒是大人物吗？

我们在前一章里所讨论的推理涉及or（要么）和it is not the case that（并非）这样的短语，它们添加到完整句之中形成其他的完整句。不过，还有许多推理似乎按照完全不同的方式展开。比如，我们来看一下下面这个推理：

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前提和结论都没有一个部分可单独成为一个完整句。如果这个推理有效，那是因为在这两个完整句中有名堂。

传统语法认为，最简单的完整句由一个主语和一个谓语构成。例如，以下几个例句均是简单句：

1. 马卡斯看见了那头象。
2. 阿尼卡睡着了。
3. 有人打了我。
4. 没人来参加我的派对。

在每一句中，第一个词为句子的主语：它说明该句是关于什么的。其余部分为谓语：它告诉我们关于主语的事情。那么，这样的句子在什么条件下为真呢？我们就拿第二句来作个说明吧。该句为真的条件是，主语“阿尼卡”所指的对象要具有谓语所表述的特性，即睡着了。

一切都没有问题。但是，第三句的主语指的是什么呢？打我的人？但是也许没有人打我。没人说这句是真的。第四句的情况更糟糕。“没人”指的是谁呢？在《镜中世界》中，爱丽丝在遇见“狮子”和“独角兽”之前，碰见了正在等待信使的白方国王。（不知何故，当信使出现时，它就像兔子一样惊惶不安。）国王在遇到爱丽丝时说道：

“朝路上看看，请告诉我你是否看见了……［信使］。”
“我看路上没人啊。”爱丽丝回答道。
“我真希望我也有双这样的眼睛，”国王不耐烦地说道，“能看见‘没人’！还在那么远的距离！哎呀，这个距离是我在日光下能看清楚真人的距离！”

图.没人

卡罗尔开了个逻辑玩笑，他经常这样开玩笑。当爱丽丝说她看不到任何人时，她不是说她能看见一个人——不管是真是假。“没人”并不指人——或其他任何事物。

像nobody（没人），someone（有人），everyone（每人）这样的词被现代逻辑学家称作量词，它们有别于“马卡斯”和“阿尼卡”这样的名称。我们前面的讨论表明，即使量词和名称都可作为句子的主语，它们也必然以不同的方式在起作用。那么，量词是如何起作用的呢？

以下是一个现代的标准答案。这涉及一个有很多对象的情形。在本例中，相关对象均是人。我们就此情形所进行的推理中，所有名称指的都是这一集合中的一个对象。如果我们用m来代替马卡斯，m指的就是这其中的一个对象。如果我们用H来代替is happy（很高兴），那么mH这一句在这一情形中为真的条件是：m所指的对象具有H所表述的特性。（有悖常情的是，逻辑学家通常颠倒了顺序，把该句写成Hm，而不是mH。这只是一个习惯问题。）

下面，我们来看看这样一句话：“某人很高兴”（Someone is happy）。该句为真的条件是：在对象集合中有某个对象或另外一个对象是高兴的——在集合中有某个对象，我们称之为x，x很高兴。我们把“某对象x具有这样的特征……”写作Ǝx。这样，我们便可把本句写成：Ǝx x很高兴；前文中我们把“很高兴”写作H，所以本句也可写成：Ǝx xH。逻辑学家把Ǝx称为特称量词。

“每人都很高兴”该如何表示呢？它为真的条件是：在相关集合中每个对象都很高兴。换言之，集合中的每个对象x，x很高兴。如果我们把“每个对象x，x具有这样的特征……”写成∀x，那么此句便可写成∀x xH。逻辑学家通常把坌x称为全称量词。

现在，不难猜出我们如何理解“没人很高兴”了。该句的意思是，在相关集合中没有对象x，x很高兴。我们本可以使用一个特殊符号来表示“没有对象x，x具有这样的特征……”但逻辑学家实际上并不需要创造这么一个符号。原因如下：说“没人很高兴”就等于说“并非有人很高兴”。因此，我们可以把此句写成﹁Ǝx xH。

对量词的分析表明，名称和量词起作用的方式大不相同。特别是，“马卡斯很高兴”与“某人很高兴”用逻辑符号写起来就截然不同，分别写成mH和Ǝx xH；这个事实足以说明这一点。而且，它还向我们表明，表面简单的语法形式可能会产生误导。并非所有的语法主语都是等值的。巧合的是，这一解释说明了为何我们在本章开头所讨论的推理是有效的。我们以G代表“给我那本书”。那么这个推理式可表达如下：

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您也许会认为这是大惊小怪，毫无意义——实际上，只不过是把那么好的一个幽默笑话搞得索然无味罢了。但是，从本质上说，这要严肃得多。因为，量词在数学和逻辑学的许多重要论证中起着关键作用。这里举个哲学方面的例子。一个自然的假设是，没有什么事会毫无理由地发生：人们不会毫无理由地生病，汽车没有故障就不会抛锚。于是，每个事物都有一个原因。但是，每个事物的原因又会是什么呢？很显然，不是某个实体，如某一个人，也不是宇宙大爆炸之类的。这样的事情本身也有原因。因此，它必然是形而上的。很明显，上帝就是那个候选者。

这是一种证明上帝存在的论证，常被称为宇宙哲学论。人们也许会以各种方式反对这一论证。但就其本质而言，这里有一个很大的逻辑谬误。“每件事情都有一个原因”这一句是存在歧义的。它可以表示，每一件发生的事情都有这样或那样的原因——也就是说，对于每个x，都有一个y；且x是由y引起的。它还可以表示，存在着某个事物，它是所有事情的原因——存在一个y，y具有这样的特性：对于每个x，x都是由y引起的。假如我们把相关对象域看成因与果，并把“x是由y引起的”表述为xCy，那么我们可以把这两种意思用逻辑符号分别表示如下：
1．∀x Ǝy xCy

2．Ǝy ∀x xCy

现在可以看出，这两个意思在逻辑上是不等值的。第一个可由第二个推导而来：如果存在一个事物，它是每件事情的原因，那么毫无疑问，每件发生的事情都有这样或那样的原因。但是，如果说每件事情都有这样或那样的原因，就不能推导出存在一个是所有事情原因的事物。（请比较：每个人都有一个母亲；由这一句无法推导出，存在着某个人，她是所有人的母亲。）

这种宇宙哲学论正是利用了这种歧义。在谈论疾病和汽车时所确定的是1；但是，紧接着就问那个因是什么，并假设那是早已确定的2。而且，这种偷梁换柱是隐蔽的，因为在英语中，“每件事情都有一个原因”可用来表达1或者2。请注意，如果把量词换成名称就不会有歧义了。“宇宙远处的辐射是由宇宙大爆炸引起的”就一点歧义也没有。不能区分名称和量词可能是人们无法看到歧义所在的深层原因吧。

因此，正确理解量词是很重要的——不仅对逻辑学很重要。像“某物”、“空”等等这样的词并不代表客观对象，但却是以一种完全不同的方式在起作用。或者说，它们至少能起作用：事情没有那么简单。我们再来仔细思考一下宇宙问题吧。我们可以说宇宙向过去无限延伸，也可以说宇宙是在某个特定时间形成的。在第一种情况下，宇宙没有起点，但一直存在着；在第二种情况下，宇宙的形成始于某个特定的时间。实际上，在不同时期，物理学对这个问题的真实性有着不同的解释。不过，不要担心这一点；我们仅考虑第二种可能。在这种情况下，宇宙凭空形成——或者说它不是由物质实体形成的；不管怎样，宇宙是所有物质实体的总和。我们现在来考虑一下这句话：“宇宙凭空形成。”我们用c来代替宇宙（cosmos），用逻辑符号xEy来表示“x由y形成”。那么根据我们对量词的理解，这一句的意思应该为﹁Ǝx cEx。但它并不是这个意思，因为第一种情况也正确。在这种情况下，宇宙在过去时间上是无限的，所以宇宙在过去还没有形成。尤其特殊的是，宇宙并非由某物形成。当我们根据第二种宇宙论，说宇宙是凭空形成时；我们指的是，宇宙是由“空”中形成的。因此，“空”也可能是一种事物。毕竟，白方国王也没有这么傻。

** 本章要点

• 句子nP在一种情形下为真的条件是：由n所指称的对象在该情形下具有P所表述的特性。
• Ǝx xP在一种情形下为真的条件是：只要在该情形下有个对象x，x具有xP特性。
• ∀x xP在一种情形下为真的条件是：只要在该情形下的每个对象x，x都具有xP特性。

第四章 摹状词和存在：希腊人崇拜宙斯吗？

当我们讨论主语和谓语时，有一种可做句子主语的短语我们还没有论及。限定摹状词（有时简称为摹状词）。

这样的知语被称为摹状词：“第一个登上月球的人”和“唯一可以从太空看见的地球上的人造物”。摹状词具有以下形式：某物满足如此这般的条件。可以将上术短语重新写如下：将“第一个登上月球的人”写成“某对象x，x满足这样的条件：x是一个人，且x第一个登上了月球”。下面，用希腊字母 ι( iota，读做“约塔” 或者 “艾欧塔”) 代表定冠词，摹状词表示为：ιx表示“某物x，x具有以下特征”，于是上述短语便可表示成“ιx(x是一个人，且x是第一个登上了月球)”。如果用M表示 “是一个人”并用F表示“第一个登上月球”，那么便可得到：ιx(xM&xF)。总的来说，一个摹状词就是一个ιxCx，其中Cx就是x发生的某种条件（这就是下标x要提醒你的）。

摹状词是主语，它们能与谓语一起构成完整子。因此，如果我们用U表示“出生于美国”，那么句子“第一个登上月球的那个人出生于美国”便可以表示为：
ιx(xM&xF)U。

让我们把ιx(xM&xF)简写为μ。（我用一个希腊字母来提醒你这实际上是一个摹状词。）那么，这句话便可表示为μU。同样，“第一个登上月球的人是一个人，且他第一个登上了月球”这句话可表示为μM&μF。

摹状词是名称，不是量词。也就是说，它们指代事物。因此，“第一个登上月球的人出生于美国”，即μU为真的条件是，只要短语μ所指的某个特定的人具有U所表示的特征即可。

但是摹状词是一种特殊的名称。和专用名称（如“阿尼卡”和“大爆炸”）不同，它们所携带着所指事物的信息。