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王梓坤：学习数学的管见

一、成功的四个基本条件

学会游泳并不难，但要成为国家选手就很难。同样，学会一门专业和精通它不完全是一回事。一般地说，要做出较大成绩，四个条件是不可少的：理想、勤奋、毅力和方法。理想，或者说志气，是我们力量的源泉，是行动的方向，是心灵上的太阳。为建设强大的祖国而学习，为发展科学技术造福人类而工作，是我们的理想。许多革命前辈和科学巨人，不知疲倦地奋斗，直到生命最后一刻，究其原因，主要是由于有崇高的理想。没有远大的理想一般是不会有重大建树的。古人说：“哀莫大于心死”，最大的悲哀，不过于没有理想了。为了实现理想，必须勤奋，即使天赋独厚，也不例外。大科学家如牛顿、居里夫人，大文豪如鲁迅、巴尔扎克，都是异常勤奋的人，牛顿的助手说：“他（牛顿）很少在二、三点钟以前睡觉，有时到五、六点，……特别是春天或落叶的时候，他常常六个星期，一直在实验室里。不分昼夜，灯火是不熄的，他通夜不眠地守过第一夜，我继续守第二夜，直到他完成他的化学实验。”然而勤奋并不等于毅力。有些人勤则勤矣，却缺乏毅力。他回避困难，一有阻力就转移方向，不敢坚持在一个重要专题上长期奋斗。他辛辛苦苦地筑了许多土堆，却没有建成一间像样的房子。除理想、勤奋、毅力而外，方法也是重要的。高明的方法可以收到事半功倍的效果，而且富有趣味和启发性。所以，一些大科学家如笛卡儿、爱因斯坦、拉普拉斯等都很重视方法。具体到数学，由于数学离不开逻辑推理，在学习一种理论或一条定理时，首先要看准推理的终点，既要达到什么目的，需要证明什么结论。其次要掌握推理的起点，即各种有关的公理、定义、概念和条件。第三是要分析推导起点与终点的推理程序，包括证明的思路、方法和用到的计算、公式等等。吃透了推理的程序，往往可以改进原来的证明使之适用于更一般的情况，或在改善原来的条件和结论。学习数学与研究数学的思想程序有些不同。学数学是由起点推终点，即学习前人如何由已给条件一步一步地推导出结论。研究数学则反其道而行之，常常是由终点推起点。我希望得到结论甲，为了甲必须先有乙，为了乙又必须有丙……。如果丙已足够简单明了，便于应用，就把它当作起点。由此可见，不论是学数学或研究数学，都必须循序渐进，每前进一步，都必须立脚稳固，这是数学方法中的一个显著特点。其它的科学也要循序渐进，不过数学尤其如此。前头没有弄懂，切勿冒进。有如登塔，只有一层一层地上时，才能达到光辉的顶点。

学习的三要项是理解、记忆和练习。知其然以及其所以然，这是理解；然后记住它，并且通过练习以加深理解、增强记忆、应用理论和发展理论。所以这三项都是不可或缺的。对于数学练习尤其重要。通过练习不仅可以增加知识，更重要的是，可以培养我们解决问题的能力。不去水里不能学会游泳；不做足够多而且有一定难度的练习题，是不可能学好数学的。

二、两种循环与争取主动

“我整天生活在紧张和被动之中”，一位大学生向我诉苦，“各门功课的习题像潮水一样涌来，又多又难。课堂上老师讲得很快，还要求抄笔记，但顾得上抄就顾不上听，作业完不成，越堆越多，这怎么办呢？”的确，这是一个带有普遍性的问题。从中学到大学是一个飞跃，中学教本写得简明、清楚，一个公式后面配着几个例题。学生仿着做，大部分作业就可以完成。大学则不然，内容越来越抽象，方法也很灵活，老师的辅导随着年级的上升而减少，对独立工作能力的要求不断提高。

“听课——复习——练习”，又是“听课——复习——练习”，毎门功课都是这样重复地进行着。如果听课效率不高，许多地方没有听懂，复习的时间必然增加，做练习的时间必然减少，于是作业完不成，但下一次练习又来了。就这样，他卷入了恶性循环。反之，如果听课效率高，课堂上基本解决了问题，复习就快，练习能按时甚至提前完成。于是他有余力可以预习，或再另看一些参考书；这样他的自学能力越来越强，听课效率也越来越高，他进入了良性循环。常常有这种情况：两极分化非常厉害，两个人入学时水平差不多，但到大学毕业时相差很远，一个甚至可以当另一个的老师。原因固然很多，进入不同的循环也许是其中重要原因之一。

怎样才能使循环成为良性的呢？关键在于预习。如果上课前对老师要讲的内容有了思想准备和大致了解，那么听起来主动多了，只要把重点放在预习时看不懂的地方。由于听课高度集中，有的放矢，所以在课堂上基本上能消灭难点，这样便节省了复习时间。更有甚者，我们可以领悟到为什么自己预习时看不懂，卡在那里，思想方法上有什么毛病，从而提高自学的能力。

剩下的问题是，哪里有时间预习呢?主要靠假期。放假时间很多，一部分用来休息和锻炼身体，另一部分用来预习，预习下期要学习的重点课程，哪怕是其中前几章。这样，我们就走在老师讲课的前头，变被动为主动了。

三、如何攻读数学专著

没有进货的商店不能持久。类似地，缺乏获取新知识的能力，就不能前进。所以在各种独立工作能力之中，自学能力可算是最基本的了。

数学书刊，浩如烟海，一个人的精力有限，只能精读其中几本有代表性的高水平的著作；读懂了这几本，其它的就比较好办。如何选择精读书？首先要确定主攻方向，然后围绕主攻方向，争取老师或先行者的帮助。高水平的著作虽然难读，但读懂了却终身受益。所以，花高代价也是值得的。一般地说，要打好基础，读几本这样的书实是必不可少的。

如何攻读数学专著？先阅读序言、目录以及有关介绍，以便了解本书概况及作好必要的准备。读第一遍时要慢和细，一步一步地循序渐进，这样才能读得深和走得远；正如诸葛亮所说：“非宁静无以致远。”如果贪多图快，又不消化，则必半途而废，读不下去。预防冒进的好方法是做笔记，既动脑又动手。把一些重要的概念、定理及证明仔细地整理一遍，必要时作补充证明，写读书体会；还要做一定数量的习题。一章过后，做一小结。如此前进，直到全书读完，再从头开始读第二遍。这时，由于大部分细节已经弄懂，读起来会快得多。我们可以把重点放在解决遗留问题上，同时尽量搞清楚各概念之间、各定理之间、各章节之间的内在联系，学习各种证明方法和计算技巧，展望理论的进一步发展。所以，如果说第一遍是“局部地读”，那么第二遍便主要是“整体地读”了。第二遍过后，原来的问题解决了不少，但又可能会出现一些新问题。我们必须乘胜追击（切勿冷下来)，再读第三遍。这时可以顺读，可以反读（从后面往前读)，也可以就一些专题有目的地读。反读可以清理源流，专题读可以攻坚，甚至做出新发现。学习应以自力更生为主，争取外援，参考有关书刊。为此反复几遍，全书的体系也就经络分明，了然在目了。如果还有一些问题，那也不必着急，可以留待以后慢慢解决。

“攻读”与“阅读”是不同的概念。攻者，攻坚也。无坚则无所谓攻。攻读需要勇气和毅力，决非一般的阅读所能比拟。

四、专题研究的三个阶段

有了一定的专业基础和解题能力，便可开始科研。万事开头难，从学习到科研是一飞跃，不可等闲视之。学习主要是继承前人成果；科研则要解决新问题，或再作出新发现，科研贵在创新。

数学研究的第一步是提出问题。它们可以来自实际，也可以是理论发展中的新问题。数学中分支繁多，发展又极为迅速。今天，世界上恐怕没有一个人敢说通晓全部数学。对于新手来说，起初只能在一个分支工作，待站稳后再逐步扩大战果。即使在一个分支里，要了解它的前沿也非易事，需要争取外援。在科研第一线工作的老师可以给我们介绍情况、提出问题，把我们迅速地带上最前线。

问题明确以后，要尽可能收集有关文献，为此可充分利用《数学评论》及类似期刊。对最重要的文章，要精心攻读，搞得烂熟，以了解前人的成果、思想方法、解题技巧、理论观点等等。

下一步进入攻坚阶段，我们开始进攻，先找出它的薄弱环节，集中全部精力和时间，攻此一点。不过我们可能碰上了钉子，几个月也没有进展。这时得抬起头来看看，需不需要改变策略，从另一点着手，但不可灰心。要知道，高斯说过：“有一条定理的证明折磨了他两年，忽然在一刹间像闪电般想出来了。”高斯尚且如此，我为什么不能再想它一年呢？

下列的思想方法可以参考：

1.我似乎在什么地方碰到过类似的问题，不妨借用那里的方法来试试（类比法）。

2.这个问题太大了，太抽象了，我简直把握不住它。能不能把它分解成几个问题，或再分成几部分，由易而难地各个击破，然后再串起来（《老子》说：为难于其易，图大于其细)？

3.尽可能举一些具体的例子，或考虑一些特殊的情况，从中找出一般的规律（从具体到抽象，从特殊到一般）。

4.我的计算能力比较强，必须发挥这个优势。先加一些条件，把这个问题算到底，看会得到什么。是骡是马，先牵出一匹来看看。然后我超脱一些，站高一点，把这个结果直观地理解一下，看是否能使用别的更好的方法。也许我会恍然大悟，想出一般的解法（发挥优势）。

5.直观和猜想，在科学发挥中是不可少的。这个问题有什么物理（或几何、或概率）意义吗？我能不能直观地把结果猜出来？这种“发散式思维”，常常会给我们指出道路。不过它很可能是错误的导引，在没有严格的确证以前，我不能轻易相信它。

6.我不知这个结论是否正确，用归纳法试试，先看它当 时情况如何，这至少可以提供一点信息。数论中一些定理不就是这样发现的吗？

7.我就卡在这个该死的不等式上。我真傻，为什么不去查数学工具书（手册、公式集等）呢？

8.某人的工作，某个讨论班，与我这个题多少有点关系，也许会从他们那里得到启发。

9.这个问题折磨了我好几个月，搞得我神魂颠倒，坐立不安。我现在要换一换脑筋，到公园去走走，或再找几本好小说看看。不是说，长时间紧张后的短暂松弛有利于灵感的出现吗？

10.我已经有了一些进展，但必须采取客观态度，决不能自我姑息，轻易相信我的结论是正确的。要利用头脑最清醒的时间，再三考验它，它与已有的定理和谐吗？有无反例？由它会得出荒谬的结果吗?证明中的每一步是否都不可动摇？我能否找到另一证明？总之，我必须把错误消灭在摇篮里，要不，它很可能给以后的工作铸成大错。

问题基本上解决了，研究工作便进入第三阶段，即整理提高或付诸应用的阶段。一项较大的研究，需要很长的时间，前后的思路未必一致，弯路走了不少，草稿纸也积累了一大堆。现在需要用统一的思想，简明的叙述，正确的论证，数学的语言，写成一篇规规矩矩的论文，争取发表，以供同好。如果这项研究来自实践，就应让研究成果接受实践的考验，并为实践服务。

作者简介：

王梓坤，男，汉族，1929年4月生，中国著名数学家、教育家、科普作家，曾任北京师范大学校长。江西吉安人，生于湖南零陵。教授，博士生导师。中国科学院院士。1948年在江西省立泰和中学高中毕业，1952年在武汉大学数学系毕业。以后在天津南开大学数学系任教。1955年赴苏联留学，在莫斯科大学数学力学系作研究生，攻读概率论。1958年毕业获副博士学位。回国后先后担任南开大学教授、数学系副主任。1950年加入中国共产党。三次被评为天津市劳动模范(1961，1979，1982)，1973 年为党的十大代表。1978年全国科学大会获奖，1982年获“全国自然科学奖”，1984年被国家人事部授予“有突出贡献中青年专家”称号，1985年获国家教委“科学技术进步奖”；1981年获“全国新长征优秀科普作品奖”，1990年被全国科普作协评为“建国以来成绩突出的科普作家”。1981年任首批博士生导师，1988年获澳大利亚麦克里大学名誉科学博士学位。王梓坤对中国的科学和教育事业做出了重要贡献，是中国概率论研究的先驱和主要领导者之一。

王梓坤教授主要从事于概率论的研究，侧重研究随机现象演变过程的数量关系。他在生灭过程的构造、泛函分布和马氏过程的边界问题、遍历性、零一律等方面有卓越的成就，受到国外专家的高度评价。主要论著有《生灭过程的分类》，《一个生灭过程》、《生灭过程泛函的分布及其在排队论中的应用》、《生灭过程构造论》等二十余篇论文，以及《概率论基础及其应用》、《随机过程论》(这二书已被许多高等院校用作教师进修或研究生的教村）、《生灭过程与马尔科夫链》、《概率统计预报及其在地震与气象中的应用》、《布朗运动与位势》等专著。此外，在对自然科学研究的方法论方面，著有《科学发现纵横谈》一书，影响较大，荣获1980年全国科普作品二等奖。

1984年12月，他通过《北京晚报》、《北京日报》首次提出“尊师重教”，并建议在全国设立教师节。社会工作方面，先后任中国科学技术协会第三届委员，中国数学会及中国地震学会理事，中国概率统计学会常务理事，中国高等师范教育学会理事长，科学方法论研究会主任，数学哲学研究会主任，《中国科学》、《科学通报》、《数学物理学报》、《科技导报》、《世界科学》等期刊编委，《数学教育学报》主编等职。科普作品大致可分为3类：科学研究的一般方法，数学的学习和研究方法，科学知识的传播。1977年发表《科学发现纵横谈》，收到读者鼓励信上千封，获全国新长征优秀科普作品奖，并为全国中学生首届“我所喜欢的十本书”之一，此书开各种“纵横谈”之先河。科普方面出书2种、文章数十篇。数学研究方面，出版《随机过程论》、《生灭过程与马尔科夫链》等专著或书6种，数学论文数十篇。曾获国家自然科学奖、国家教委科学技术进步奖等8种奖。