本文所录3题都是平面几何中基本而又核心的问题，主要面向基础弱的学生，包括初中生和高中生。
问题1
已知： 中，点
为
中点，
.
求证：.
问题2
已知： 中，点
为
中点，
.
求证：.
问题3
已知： 中，
，点
为
边上一点，
.
求证：.
【问题1之证法1】
∵ 点 是
中点，∴
而 , ∴
∵ , ∴
, （等腰三角形的性质）
∵ , ∴
, （等腰三角形的性质）
∴ （等式的性质）
∴
而 （三角形的内角和定理）
∴ . 证明完毕.
【问题1之证法2】
∵ 点 是
中点，∴
而 , ∴
∵ , ∴
,
∴ （三角形的外角等于不相邻的两内角之和）
∵ , ∴
,
∴
又∵ （两角之和为平角）
∴
∴ . 证明完毕.
【证明问题2】
延长 至点
, 使得
.
在 与
中：
∴
∴ ,
又∵ , ∴
, ∴
在 与
中：
∴
∴
∴ . 证明完毕.
【证明问题3】
∵ ,
∴ ,
∵ , ∴
, ∴
.
∵ ,
∴ （同角的余角相等）
∴ （等腰三角形的判定定理）
∵ ,
. （等量传递）
证明完毕.
【提炼与提高】
问题1与问题2实际上都是平面几何中的定理，可以用文字表述如下：
『三角形中，如果某条边上的中线等于该边长的一半，则该边所对角为直角。』
『直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。』
『直角三角形斜边上的中点就是该三角形的外心。』
『圆的直径所对的圆周角是直角.』
由以上定理还可以得出以下作图方法。
「直角三角形的作图法」
先作半圆弧，然后在弧上任取一点，连接该点与直径的两个端点，即可得到一个直角三角形。
「矩形的作图法」
先作一个圆；
再任作两条直径；
连接两条直径的四个端点，即可得到一个矩形。
这几个问题是平面几何中基本而又核心的问题，非常重要。强调一下：
考试要考；中考要考，高考要考；中考和高考都要考。
【相关考题】
在高中数学，尤其是立体几何和解析几何中，会经常用到以上命题。这里简单地举几个例子：
