微分方程组
弹性理论使用微分方程，研究天体运动（两个或多个物体相互作用）则使用微分方程组。在天文学中，列出微分方程的基础是牛顿第二定律F=ma，1750年欧拉给出牛二在固定直角坐标系的分析形式：他还指出对于质点，m是总质量；对于分布均匀的物体，m是dM。
一个物体在另一个固定物体的引力下运动，两个微分方程可以合成一个只含x,y（直角坐标）或r和θ（极坐标）的微分方程，运动轨迹是一条以固定物体为焦点的圆锥曲线。如果两个物体在相互吸引下一起运动，就需要列六个微分方程的方程组，它的解表明：每个物体都是按（以两个物体质心为焦点的）圆锥曲线运动。牛顿在《原理》中用几何法解决了这一问题，但没有做分析工作。早期法国人在力学上使用笛卡尔的理论，一直到伏尔泰1727年访问伦敦后才把牛顿力学带回法国（然后伏尔泰写了牛顿看到苹果落地从而发现万有引力的故事，好家伙太能编了）。17世纪几大数学家惠更斯、莱布尼茨、约翰伯努利反对万有引力的观点（不就是跟牛顿吵架的阵营吗），丹尼尔伯努利用分析方法研究行星运动，得到了法国科学院的奖金（怪不得他爹很生气，属于政见不合啊），欧拉完全使用分析方法研究行星与彗星运动。
假设有n个球形物体，质量分布是球对称的（密度为半径的函数），得到第i个物体的运动方程：
每个物体3个方程，n个物体就是3n个方程，n体问题包括三体问题，是不能精确解出的。因此人们选择了两个方向：一、探索可以推导什么形式的、可以阐明运动的定理。二、找近似解，这就是摄动法。
对第一类，牛顿在《原理》中给出了n体运动几个定理。如n体质量中心在一直线上做匀速运动。拉格朗日（1736-1813）则给出了三体问题的一些特殊情形和某些精确的结果。
拉格朗日小时候不爱学数学，17岁看了哈雷写牛顿发明微积分的文章迷上数学分析（百度说这篇文章叫《论分析方法的优点》）19岁时他成为都灵皇家炮兵学校的数学教授（18岁时写论文给欧拉，欧拉说你搞的这个东西莱布尼茨50年前搞过了，但是他没有放弃，发展了欧拉提出的变分法，一下子有了名气，当上了教授，真的是好励tian志cai呢）。虽然拉格朗日的工作涉及许多领域，如数论、代数方程、微积分、微分方程、变分法，但他的主要兴趣是把引力定律应用于行星运动。阿基米德是拉格朗日的偶像。
拉格朗日的代表作《分析力学》完善了牛顿的工作，但当时很难找到人出版，因此他曾经发牢骚说牛顿运气太好了，就这么一个宇宙，而牛顿已经发现了它的数学规律（出生早了，没赶上量子力学的好时代）。
1772年拉格朗日在三体问题中找到了一些特殊精确解，其中一个说：这些物体能作运动使运动轨迹同时描出三个相似椭圆，而且以三个物体的质心为共同焦点。一个是假定三个物体从一个等边三角形的顶点开始运动，它们在三角形上运动，三角形本身围绕着三物体质心运动，1906年被发现适用于太阳、木星和一个叫阿喀琉斯的小游星（搜百度只能搜到阿克琉斯，找不到这个星的信息，阿克琉斯：我还是去追龟吧）上。最后一个是：三物体在直线初始位置投入运动，在适当初始条件下会继续固定在直线上，而直线在一平面上绕物体质心运动。
第二类n体问题，即找近似解或摄动理论：两个球体在引力相互作用下沿圆锥曲线运动，称这种运动是非摄动的。对这种运动的任何偏离（不管是位置还是速度），都称为摄动运动（偏离原因：介质对运动有阻力，物体不是球体而是扁球等）。18世纪，拉普拉斯（1749-1827）在这一领域做了最大贡献。
拉普拉斯16岁上大学学数学，完成学业后带着推荐信找达朗贝尔被拒，后来拉普拉斯写信阐述了力学的一般原理，引起了达朗贝尔重视，帮他安排了巴黎军事学校数学教授的职位（达朗贝尔还是个HR呢？）他年轻时就搞了很多成果，1783年他接替了Bezout当军事考试委员，给拿破仑考试（好神奇的履历），法国大革命期间他当了度量衡委员会的委员，但是后来和拉瓦锡等人一起被开除了（怎么还有搞化学的！），他就隐居在巴黎附近的城市，写了著名的《宇宙系统论》。革命后，他当上了内政大臣、议会委员、议会大臣。虽然拿破仑封他当了伯爵，但1814年他给拿破仑投了反对票，傍上了路易十八，后者封他为法兰西侯爵和贵族（是吕布拉斯没错吧……）
拉普拉斯一边搞政治一边搞科研，1799-1785年他出版了五卷《天体力学》，把牛顿、克莱罗、达朗贝尔、欧拉、拉格朗日和自己的成果统一成一个整体，唯一的缺点是他不交代来源，整得好像都是他干的一样。
1812年他出版了《概率的分析理论》，1814年再版序言是一篇通俗短文，里面有一段话关于决定论：世界的未来完全由过去决定，智者只要掌握这个世界在任一给定时刻的状态的数学信息，就能预报未来（智者即拉普拉斯妖）。
拉普拉斯在数学物理上有很多发现，他对很多领域都感兴趣，比如流体动力学、声波传播、潮汐；化学上搞了物质液态、表面张力等；他和拉瓦锡设计了测热量的工具，测了很多物质的比热。1827年拉普拉斯去世，据说遗言是：“我们知道的是很微小的；我们不知道的是无限的。”（德摩根说遗言是：“人们了解的只是幻像。”总之大师死前讲的话也很有逼格就是了。）
拉普拉斯跟拉格朗日经常联系，但个性大相径庭，他老是偷拿拉格朗日的概念又不声明来源。此外拉格朗日写的东西清楚优美，而拉普拉斯虽然创造了很多新方法，但是他对纯数学不感兴趣，如果搞物理时碰到数学问题，他就说“容易看出……”鲍迪奇（1773-1838）翻译了他的《天体力学》，吐槽说：一看到“容易看出”，我就知道要花几个小时填补空白。
拉普拉斯的工作是处理行星运动的近似解，之所以有解是因为太阳占太阳系总质量的99.87%，行星之间的摄动力小，轨道近似椭圆。造成摄动的原因主要是木星占行星总质量70%以及地球卫星相当靠近地球，相互影响。
日地月问题是18世纪考虑最多的三体问题，因为航海需要了解月球运动。牛顿给出了几何法的理论，欧拉和克莱罗试图求精确解，1747年克莱罗用微分方程的级数解得到了进展，他应用到哈雷彗星运动上，预测了比较精确的回归时间。
为了计算摄动产生了参数变值法：牛顿考虑了月球轨道的变值算出太阳对它的影响，约翰伯努利用变值法解个别情况下的非齐次方程，欧拉用变值法研究二阶方程和木星、土星的相互摄动。拉格朗日充分发展了该方法，将单个常微分方程的参数变值法应用到n阶方程，然后以更一般的方式应用到方程组上。
在发展变值法期间，拉格朗日和拉普拉斯解答了关于太阳系的基本问题。十八世纪人们改进了解微分方程的方法，也发现了新的物理事实，在之后两个世纪，人们为进一步解答n体和太阳系问题做出努力。
总结
18世纪常微分方程成为独立学科，对解的理解和寻求发生了变化。最初数学家用初等函数表示解，然后是没有积出的积分，再接着是无穷级数。
数学家不仅想把解表示成积出形式，也在寻找可以用有限个初等函数表示其解的微分方程。达朗贝尔研究了椭圆积分，欧拉等人从微分方程导出其他方程；另一种研究是寻找级数解可以只含有限多个项的条件。
孔多塞企图把求常微分方程的孤立方法统一起来，但是失败了；欧拉证明凡可用变量分离法的地方都可用积分因子，反之则不然。他还证明高阶微分方程不能用变量分离，但可以降阶。
1775年起探索常微分方程的一般积分方法一直没有新的进展，直到19世纪才引入算子方法和拉普拉斯变换。事实上人们对一般求解方法的兴趣消退了，总的来说这门学科还是各种孤立技巧的汇编。
放个拉普拉斯的生平：拉普拉斯的传奇人生
