数学|神奇的常数e

37%,这个数字对大多数人来说很陌生,或许只有数学家才会知道,这个数字正是\frac{1}{e}的值。

e是自然对数底,是个无限不循环小数,数值为2.7182提起数学中的常数,大多数人会首先想到π,其实,自然对数底e也是数学世界中十分重要的常数。

下面我们就通过一个复利的小故事告诉你e的由来。

有一天,一个生意人急着用钱,便向一个财主借钱。

财主见生意人十分着急,便趁机抬高利息,他开出的条件是,生意人每借1两银子,就要在一年后还2两银子,利率高达100%!正在生意人犹豫不决之时,财主又有了一个主意,他想,如果改成半年的利率50%,还是借一年,那么,半年后可以得到子,这样赚得更多!他赶紧收回了此前的条件,改成了半年还钱的新条件。

可是,话刚说完,他就又后悔了。

既然半年还钱比一年还钱赚得更多,那为何不改为每月还钱、每周还钱、每天还钱呢?于是财主赶紧回屋拿起笔来算一算。

半年还一次,利率50%,还钱总数是(1+0.5)^2=25(两);每月还一次,利率\frac{1}{12},还钱总数是(1+1/12)^{12}=2.6130(两);每周还一次,利率\frac{1}{52},还钱总数是(1+\frac{1}{52})^{52}=2.6926(两);每天还一次,利率\frac{1}{365},还钱总数是(1+\frac{1}{365})^{365}=2.7146(两)。

计算结果让财主十分失望,还钱总数并没有预想的那么多。

到这里读者一定看出来了,如果我们把每天再拆成每一小时、每一分钟、每一秒钟,还钱总数会增长的更加缓慢,最终会越来越接近神奇的自然对数底e。

从数学的角度来看,当x趋于无穷大时(1+\frac{1}{x})^x的极限值正是e。

\frac{1}{e}的值是0.3679近似为37%,它与小概率事件之间的神秘关系源于「小概率事件定律」。

小概率事件定律,是指一个十分罕见的随机事件,几乎只发生过一次,并且今后能否再次发生难以预测,那么这个事件不再发生的概率是\frac{1}{e}

被鸟粪砸中、兔子撞树、飞机失事都满足上述条件,因此这些事件不再发生的概率都是37%。

小概率事件定律听起来有些玄妙,其实背后也是有数学原理的,这就是泊松分布。

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