人类进步通常是由认识自然的渴望所驱动的。这种探求事物的本质、追根溯源的努力，远远超过了单纯满足生存需求和提高生活质量的要求。当然，这并不是说所有人都会主动去追寻自然奥秘，研究抽象的数学命题。为了生存而整日奔波忙碌的芸芸众生，几乎不可能有时间奢侈地思考人生的意义。然而，人类历史上却始终不乏先驱来思考万事万物的根源，探寻自然界的构成方式和法则。
摘录自《数学沉思录》，作者Mario Livio 1945年出生于罗马尼亚，1950年定居以色列，耶路撒冷希伯莱大学本科毕业，魏兹曼科学院硕士，特拉维夫大学博士。
数学是对具象世界的抽象化表示，具象世界包含了万事万物。正如英国物理学家James Jeans表示：“宇宙好像是一位理论数学家设计的。”
我们先举几个例子：
l人类胚胎细胞繁殖速度神速，到了成年以后繁殖速度递减，为什么？繁殖速度的函数关系和概率分布是怎么样的？
l甲醛已经被世界卫生组织确定为致癌和致畸形物质，是公认的变态反应源，也是潜在的强致突变物之一，诱发白血病。新装修的房间吹吹风三四个月，就能安全入住吗？甲醛衰减释放到安全限值以下，需要多久时间？它的衰减函数是多少？空气净化器能够加快甲醛衰减，还是能够彻底去除甲醛？
l有一笔资金100万，存入连续复利计算的银行，年利率为4%，那么6年后，利息本金总余额为多少？
l如果你平均每个小时接到2次电话，那么你平均等待每一次电话的时间是多长时间？
l你的手机中电子元器件过了多少年不能正常工作，那么元器件的寿命分布是什么类型的？
l电蚊拍啪啪啪电死蚊子以后，放开开关，电蚊拍电网上残余的电压会多久变为0，它的函数是什么样的？
以上问题看似各不相关，但是经过物理学家，化学家，金融家，生物学家等科学家初步抽象化后，再最终经过n层抽象化，发现他们背后的规律极其相似，都来到了数学家的大门。
这些规律都涉及到神奇的自然指数，也叫自然常数，自然底数，原名双曲对数，是以e为底的对数，其中，e是一个无理数常数，近似于2.718281828459。
e是所有连续增长过程都共有的基本增长率，而负数-e，可以理解为所有连续衰竭过程都共有的基本衰减率。
也就是说常识上理解的生老病死等具象背后，有着一个神奇的数字，e在规划着量的变化，直到质的变化。
先用python画一个自然衰减的概率分布曲线：
lam = 0.5
x = np.arange(0, 15, 0.1)
y = lam * np.exp(-lam * x)
plt.plot(x,y)
plt.title('Exponential: $\lambda$ =%.2f' % lam)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Probability density')
plt.show()
l人类胚胎细胞繁殖速度神速，到了成年以后繁殖速度递减，为什么？繁殖速度的函数关系和概率分布是怎么样的？
例如细胞或细菌的繁殖，也会经历指数增长期这个阶段，大量快速繁殖，然而如果一直按照这个速度持续下去，可能地球都无法承担一个成人的重量，如果没有死亡，也无法承担人口数量的指数增长。所以又有了新的限制性设计，即控制增长常数k来实现对生长繁殖的限制。
美国学者海尔弗利在1961年提根据实验研究发现动物胚胎细胞在成长过程中，其分裂的次数是有规律的，到一定阶段就出现衰老和死亡。2009年的诺贝尔医学奖获得者是三位长期从事染色体研究的科学家，发现了端粒(telomere)和端粒酶(telomerase)，端粒酶的作用是维持端粒的长度。出生前端粒酶很活跃，到四、五岁时就基本停止活动，端粒开始随着时间而退化，导致细胞衰老并最终停止分裂。
l甲醛已经被世界卫生组织确定为致癌和致畸形物质，是公认的变态反应源，也是潜在的强致突变物之一，诱发白血病。新装修的房间吹吹风三四个月，就能安全入住吗？甲醛衰减释放到安全限值以下，需要多久时间？它的衰减函数是多少？空气净化器能够加快甲醛衰减，还是能够彻底去除甲醛？
例如甲醛污染物的浓度随时间的变化符合指数函数的变化趋势:
ct=c0*exp(-k*t)
通过实际测量，可以通过回归分析，计算出甲醛的k衰减常数，得出甲醛污染物随时间t的曲线。而空气净化器本质上是通过改变k衰减常数，加速甲醛污染物的衰减速度，经过比较短的时间后，如果产品能力足够强大，使得人们在相对有限空间的房间内能够相对安全的居住。而不是从根本上杀死或去除污染物，所以如果新装修的房间检测出甲醛等污染源，而又无法通过其他方式从根本上降解转化为安全化学物的化，净化器要常开常用才能实现“消除”污染物的目的。
l有一笔资金100万，存入连续复利计算的银行，年利率为4%，那么6年后，利息本金总余额为多少？
对比下两者复利计算的差异：
简单复利计息的计算公式：本利和=本金×（1+利率）^期数。如果是简单复利计算，FV=126.53万。
如果连续复利计息，即无时无刻不在计息，也就是时间进行无线细分后，在有理数和无理数的t数轴上连续计息。
连续复利计息的计算公式：投资的终值FV=C0×e^(rt)，这里r=0.04，t=6，C0=100万，则六年后127.12万，比简单复利计算多了5900。
其他两个问题或类似问题，基本上也都是按照类似函数关系进行展开分析。
我们可以将指数函数进行泰勒级数展开，或加入欧拉公式，发现将e拆分后，是有极有规律的数值合成的，可以由幂函数展开。
而在复数平面空间，则可以将指数函数展开为三角函数，也就是正弦和余弦函数，
如果将x的n次方作为一组函数基底，即相互垂直的n维坐标轴，而将1/n!作为系数，则e^x函数可以看作是矩阵[0,1/1!,1/2!,…1/n!]和[x^0,x^1,x^2…x^n]的乘积。
其中第一个矩阵也可以成为n维行向量，第二个矩阵看作n维列向量，即转换为向量空间的数量积（又叫内积、点积）。
如果将n设定为无穷大，则e^x函数可以展开为无穷维空间的向量运算，数学家们对无限维度函数空间的概念和运算，展开为一门新的数学分支，泛函分析（functional analysis），从而打开了另外一个天地。
泛函分析研究的主要对象是函数构成的空间，是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
那么问题来了，如果将e^x函数作为第一层抽象，而将泰勒幂函数展开作为第二层抽象，将向量空间和其算子作为第三层抽象的话，那么泛函分析这种经过n重抽象之后的纯数学计算有什么价值和意义呢？
泛函分析是
举一个最简单的具象例子：
一个圆球在重力加速度作用下，从A点到不在它垂直下方的另一点B点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。
也就是著名的最速曲线问题。
如果任意作图，A点到B点之间可以画直线，也可以做任意的曲线，这些曲线如果用函数表示，则可以为无穷个函数。
那么这无穷个函数中，圆球沿着哪个函数的曲线，时间最短呢？
通过泛函分析，计算得出欧拉－拉格朗日方程。这个方程称为极值函数。
泛函分析也广泛应用于图像降噪处理等现实商业技术领域，在理论学科例如数学物理方程、概率论、计算数学、信号与系统、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。
我们再回到这个函数，这里自然对数函数是由x^n函数，即幂函数组合而成。
幂函数在自然和社会现象中，又有哪些应用呢？
股市中有80％的投资者只想着怎么赚钱，仅有20％的投资者考虑到赔钱时的应变策略。但结果是只有那20％投资者能长期盈利，而80％投资者却常常赔钱。
著名的20/80原则，也称为帕累托分布，长尾分布就是幂函数分布，也就是幂律分布，其广泛存在于物理学、地球与行星科学、计算机科学、生物学、生态学、人口统计学与社会科学、经济与金融学等众多领域中,且表现形式多种多样.在自然界与日常生活中,包括地震规模大小的分布、月球表面上月坑直径的分布、行星间碎片大小的分布 、太阳耀斑强度的分布 、计算机文件大小的分布 、战争规模的分布、人类语言中单词频率的分布 、大多数国家姓氏的分布 、科学家撰写的论文数的分布、论文被引用的次数的分布、网页被点击次数的分布 、微博的粉丝数量、不公平社会中的财富分配、书籍及唱片的销售册数或张数的分布、每类生物中物种数的分布、甚至电影所获得的奥斯卡奖项数的分布等,都是典型的幂律分布。
既然提到了分布，我们不能不提大名鼎鼎的正态分布（高斯分布）。这个分布和e又有什么关系呢？
我们看一个简单的标准正态分布的概率密度函数，就知道它的底依然是e，也就是自然对数。这里函数依然可以通过泰勒展开为幂函数的组合。
同样有关分布，我们再回到这个问题：
l如果你平均每个小时接到2次电话，那么你平均等待每一次电话的时间是多长时间？
对于接电话这个事件发生的频率和次数，经研究任务是泊松分布。而等待一次电话的平均间隔时间，则又变成了指数形式。
当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。
p(τ)=λe^-λτ
而时间间隔，则呈现指数形式，而且底数为e!
如果耐心看到这里，也许会有一个直观的疑问，即这些复杂的各种各样的分布背后，函数背后，既然都和e有关，是否存在一种或若干种变换，或一个空间，能够将所有分布和概率问题统一为更一般性或简单化的规律呢？
这个问题有赖于数学家们的进一步抽象化和创新，也有赖于人们对数学工具的应用。
小结：
数学因其高度抽象思维的特征，广泛应用于各种理论学科和现实实践当中，数学理论工具的应用和迁移，也带来了更多的创新。
引申阅读：
