说起勾股定理，大家都特别熟悉。脱口而出两直角边的平方之和等于斜边的平方。这些都不是我要说的重点，勾股定理本身并不难，但由勾股定理而引申出的一些应用，却难倒了一大片学生。
我们给勾股定理的应用分分类，大致可以分为四类——折叠问题的求解、面积类问题的求解、实际问题的求解和最短距离的求解。
今天我们先来说一下前两类问题的解决办法。首先说折叠问题的求解，这类题目在中考题中是常考的题目，一般以填空题的形式出现。勾股定理又是八年级上的内容，在八年级阶段这类题目大多以解答题的形式出现，在期中期末里也是必考内容。
我们来举例子说明：
【例1】如图，已知长方形ABCD中AB=8,BC=10 ,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
分析：读完题目后我们知道问题是要我们求解CE的长，那我们就要想一下通过什么办法来解决这个问题。我们仔细观察了一下，CE跟DE有关系，跟Rt△CEF有关系。我们可以猜想一下，如果我们知道了DE的长度，CE的长度就知道了；如果我们知道了CE和CF的长度，那么运用勾股定理也可以求出CE的长度。我们再来看看题目中的条件有哪些：AB和BC的长度以及折叠。根据这些条件，我们可以否定第一种方案，因为DE我们没办法求出来；那么就只剩下第二种方案了，首先我们可以求出CF的长度。由折叠可以得出AF=AD=BC=10，而AB=8，所以根据勾股定理得到BF=6，则CF=4。由折叠还可以得到EF=DE，而DE+CE=8，所以EF+CE=8。这样的话，如果我们设CE的长度为a，则EF的长度就为8-a。根据勾股定理，我们就可以列出式子：
解出a的值就是CE的长度。
突破点：折叠的性质——隐含相等的条件；运用解方程的思想，题目问什么，我们就设谁为未知数。
我们再来看一道例题：【例2】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3 ，BC=5 ，则重叠部分△DEF的面积是（ ）
分析：问题让我们求△DEF的面积，那我们知道三角形的面积=底×高÷2。仔细观察之后，我们肯定选DE作为底边，高就是AB的长度。所以我们只要求出DE的长度就能得到三角形的面积。既然是折叠问题，我们刚刚已经说了要用方程思想来解。所以我们设DE的长为x，接下来就是运用勾股定理。勾股定理的应用肯定是要放在直角三角形里的，我们仔细观察了一下，应该在Rt△A/ED中应用勾股定理。所以，由折叠可以得出A’E=5-x，A’D=3。
那我们就可以列出式子：
我们可以解出x=3.4，所以三角形的面积=3.4×5÷2=7.5。
所以我们就得到了这类问题的解题方法：
勾股定理的应用第二类题目的求解就是面积类问题。我们还是以例题来进行说明：
【例3】已知，如图，四边形ABCD中，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
分析：题目问的是四边形的面积。但我们仔细一看，这个是个不规则的四边形，肯定不能直接求解。那我们可以添加一条辅助线，把这个不规则的图形变成我们已知的规则图形。这个辅助线的添加有两种，可以连接BD，也可以连接AC。我们仔细观察一下，连接AC的话，两个三角形的面积都无法求解。所以只能连接BD。连好之后，三角形ABD的面积一下子就能求出来，利用两直角边想乘再除以2就可以，也就是S△ABD=4×3÷2=6。由勾股定理，我们很容易得出BD的长度为5，然后5,12,13又是我们熟悉的勾股数，所以△BCD也是直角三角形。那么它的面积就等于5×13÷2=37.5。所以四边形的面积就是6+37.5=43.5。
面积类的解题方法就可以归纳为：
关于这两类问题的求解，不知道你掌握了多少，欢迎大家在评论区提出你宝贵的意见。
