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匹诺曹有一天说了这样一句话：“我的鼻子会马上变长。”然后会怎样呢？如果鼻子变长，那么匹诺曹就说的是真话，所以鼻子不应该变长。如果鼻子没有变长，那么匹诺曹说的就是假话，所以鼻子必须变长。
结果呢？鼻子炸了。
说谎者悖论
矛盾并不是起于匹诺曹。
公元6世纪，一个克里特的哲学家说了一句名言：“所有克里特人都是满嘴谎话”。这个百年老坑挖的好，自己也掉里面了。
如果这句话是真的，那么所有克里特人都是说谎的，哲学家自己也是克里特人，那么他也是说谎的，这句话也应该是谎话，这就又产生矛盾了，这句话到底是真的还是假的？
说谎者悖论的精简版本是：“我在说谎”。
如果你没在说谎，那么你就说谎了；如果你在说谎，那么你是在说真话。
这是个双人版本，左边的说右边的没撒谎，右边的说左边的撒谎了。如果左边的没撒谎，那么右边的也没撒谎，但右边的又说左边的肯定撒谎了，那么到底左边的有没有撒谎？
问题在哪里？
这种问题像是一个无限循环的自我指涉逻辑嵌套，就像我们无法回答下图镜子中有多少个拉奥纳多一样，我们也无法回答说谎者悖论。
其次这个矛盾是巧妙地混用了“真值为真”和“语义为真”，创造了一个“含义为真却真值不能同时为真”的命题。“我在说谎”，我真的在说谎和我这句话是谎话本身就是矛盾的，但又并不违背逻辑。
所以后来有人提出把语言的形式判断和语义判断分在不同层级，然后强制不能逆层级进行判断，只能从形式判断语义，而不能从语义来反推形式。——这实际上实在“立法禁止”产生矛盾，但并没有解决矛盾。
也许这个悖论恰好告诉我们一个真理，即我们所处的世界并非是完美的逻辑自洽（无矛盾）的。
另外还有一个有趣的悖论，“理发师悖论”（等价于“罗素悖论”），即某城的一个理发师发誓，只给而且必须给城里所有不自己理发的人理发。问题在于他是否要给自己理发？——这个问题的矛盾似乎更容易破解，只要把理发师当做城外人就可以了。
关于皮亚诺算术公理Peano axioms
皮亚诺公理是意大利数学家朱塞佩·皮亚诺 Giuseppe Peano在19世纪末期所构造的算术公理系统中的公理，它包括：
- 是自然数；
- 每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；
- 对于每个自然数b、c，b=c当且仅当b的后继数=c的后继数； 1不是任何自然数的后继数；
- 任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理假设了数学归纳法的正确性）
后来这里的1被改为了0.
希尔伯特的23个问题
大卫·希尔伯特David Hilbert，德国人，是19世纪初期最伟大的数学家之一。
1900年，他在巴黎的国际数学家大会上做了作了《数学问题》主题演讲，提出的一系列问题，被称为希尔伯特的23个问题，这些问题为20世纪的许多数学研究指出方向。
其中第二个问题是算术公理（皮亚诺算术公理系统）是相容的（无矛盾的）。
20世纪20年代，希尔伯特更是启动了一项宏伟的计划，大意是建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪，这叫做公理体系的“完备性”；并且公理体系保持“独立性”（即所有公理都是互相独立的，使公理系统尽可能的简洁）和“无矛盾性”（即相容性，不能从公理系统导出矛盾）。
哥德尔不完备定理
希尔伯特的计划才启动不久，1931年，库尔特·哥德尔就给出证明：任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。也就是说，“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的！这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。
哥德尔的证明思路即很巧妙的利用了类似“说谎者悖论”逻辑产生的悖论。
哥德尔1931年发表了两条定理：
- 任何兼容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题，因此通过推演不能得到所有真命题（即体系是不完备的）。
- 任何逻辑自洽的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明它本身的一致性。
哥德尔的不完备定理证明了基本算术的兼容性不能在自身内部证明，因此当然就不能用来证明比它更强的系统的兼容性了，这直接否定了希尔伯特的伟大哲学计划。同时也是对对希尔伯特23问题中第二个问题的证伪。
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