一、 与哥德尔定理的缘分
利用假期，终于把购买了三年的《哥德尔 埃舍尔 巴赫 ——集异璧之大成》（以下简称“哥德尔 埃舍尔 巴赫”）认真看完了，还是很感慨。多年前看到艾舍尔的版画被其中蕴含的神秘力量惊呆了，然后看了刊载这些图像作为插图的书 《GEB-一条永恒的金带》 ，也知道了后者是前者的一个节译本。这本是当时四川人民出版社走向未来丛书中让人感到极其震撼的两本书之一，另外一本是《以权利制约权力》，讲三权分立的。
在《GEB-一条永恒的金带》中第一次知道了哥德尔定理，即一个形式系统如果复杂得可以包含定义了乘法的算数系统，并且能构建一个可以描述自己具有某个属性形式化语句单变量函数，则该系统的一致性和完备性不能同时满足。极其引申的意义。看了该书至少5篇，空白处几乎都写满了笔记，但是绝对没有读懂。不过在心中种草了，一定要对哥德尔定理理解清楚。学数理逻辑时终于学习了哥德尔定理，教科书上4页的证明甚至可以背下来了，但是依然没有没有能完全看明白证明， 由于兴趣和好奇心使然，于是对这个问题进入了“主体性阅读”，下载了许多文献来学习，影响深刻的《无尽的对角线》从对角线引理出发，从另外一个角度进行了解读。
经过那两本获得普利策大奖作品及大量文献和数理逻辑教科书终于明白被称为上世纪最重要一篇数学论文中定理的证明过程，实在高兴。
二、 本书内在结构
1. 不同领域横向和同一领域纵向的同构
同构是一个数学概念，表示保持运算关系不变的一个一一映射。这是一个极其重要概念。事实上，如果两个系统是同构的，二者在本质上是完全一样的，只不过表现的具体形式有差异，但是其内在的复杂结构和演化规则都是一样的。所以，研究了一个系统，同构的其他系统其特性就完全了解了。
1) 音乐、绘画、数学甚至本书自身结构的同构应用
巴赫音乐使用 卡隆 和 赋格 手法，在音乐中间发现同构，《音乐的奉献》。这是一个哥德尔神秘的版画。
数学中研究的同构就更多了。只要是两个系统而间找到了一个通过映射，就认为是完全相同的。研究一个系统其具有的性质。另外一个系统也就具有相同性质，这是一个极好的在系统层面的分类（有时觉得数学的一个重要任务就是分类）。通过研究一个熟悉系统就可以把握另外同构系统的结构、功能和发展趋势，是一个极好方法。
2) 系统内不同构成层级间的同构
音乐中的卡隆，对位手法。……
2. 对自指的迷恋领域中怪圈
在系统内部中，有不同的构成层级，如在数学中需要有“元数学”来对我们的线性/抽象代数、分析、拓扑等进行说明。主要都是数理逻辑，包括二演算（命题演算、谓词演算）和四论（集合论、递归论、模型论、证明论）。以一种形式化方法对数学本省的一致性和完备性进行研究，力图为数学打下一个坚实基础。
3. 哥德尔定理描述内容
三、 对哥德尔定理的理解
1. 定理证明过程总体思路
2. 证明中两个特别重要环节
1) 哥德尔配数*
对命题变元和逻辑运算符号改造到用9个也可以表示所有的命题及证明的一个系统，让这9个符号和阿拉伯数字1～9之间形成一一对应，再加上一个0表示一个字符串/合式公式结束。这个对应叫做 “哥德尔配数”，这就在形式系统和算数系统中形成了双射。而且可以找到一种方法，让算数系统中通过一种算数运算可以唯一地对应着形式系统中一个证明（字符串）。这就是保持运算不变的映射，就是所谓的“同构”，在群论中这个概念也常用。
哥德尔配数有多种方法，其中一种方法是利用算数基本定理，下面就进行一个列举。
****1、形式系统符号指定哥德尔数（代码表）****
要把需要配数的内容分为两个部分，一个是逻辑连接词，量词，变元等组成的词，都是单个的，连接词，量词是有限的
由连接词、谓词、变元等组成的合式公式，有合法的，有不合法的，一个合规的合式公式有可能就是表示一个证明过程。
****2、合式公式的哥德尔配数****
所有的合适公式都是有运算符号按照一定规则排列起来表达某种意思或者证明过程。
公式2计算出来就是一个自然数。也就是合式公式1的对应的哥德尔数。
对于哥德尔配数的变换以使用 G(α)来表示，G为映射，α为合式公式。
任何一个大于1的自然数 N,如果N不为素数，那么N可以唯一分解成有限个 素数 的乘积
由此，可以知道，通过哥德尔配数，在一个形式系统和一个算数系统中建立了双射，同时形式系统中关系和运算通过间的先后顺序确定，在自然数中也通过算数基本定理将这种关系完全对应起来，实现了两个系统间的 同构！
从编码过程看，最重要的是在算数系统中定义乘法。当然，这个公理系统首先需要定义空集、然后有构造性的后继关系，还有加法。因此在算数的多个公理系统中，要满足了上述要求的系统才是不完全的，如皮亚罗算数系统。
****3、在算数系统中构造可以讨论自身结构的方法****
目的是要在算数系统中通过该系统的规则可以讨论自身的结构（自指的回响打了一个响指！）
2) 对角线引理
因为，如果是这样的一行， 其交点既等于对角线的同位点 ( 同一个点)， 又不等于它（“反转了”）就是说交点上的符号是 0当且仅当它是 1，而我们假定 0 <v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas></v:formulas><v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style="width: 9pt; height: 14pt;"><v:imagedata src="file:////Users/liwei/Library/Group%20Containers/UBF8T346G9.Office/TemporaryItems/msohtmlclip/clip_image001.emz" o:title="" chromakey="white"></v:imagedata></v:shape> 1
表1中，0和1 两个符号代表两个任何不同的东西！！，比如可以代表真、假，还可以代表某个值域为（0，1）的函数，这就是抽象的力量！详见 邢滔滔的《无尽的对角线》[1]
3. 定理证明详细过程
1) 通过哥德尔配数让形式系统通过算数系统
创建环境，让形式系统命题间成立逻辑关系同构成细条本身算数语言间关系
只是这个 同构 有些特殊，它让算数系统通过算数运算来描述自身，通过构造函数让算数系统中符号串可以讨论自己。“自指” 在此出现。
2) 在形式系统中构造一个具有某个属性单变量函数通过哥德尔配数映射到算数系统
利用 1）中 创建的环境，在其中构造命题，通过算数运算得到结论
在神一般存在的 “对角线引理” 中构造一个单变量函数，实例化后让其意义成为“属性”，
先在自然数集上构造一个“可证”的语句
这个语句是通过谓词来构造的。
由于项、公式和证明都可以进行哥德尔编码，某个证明序列s是否是公式α的证明，就是问G(s)和 G(α) 是否属于 N×N的一个二元关系。
3) 自指的实现
……
4) 在同构的算数系统中运算得到结论翻译到命题系统
利用 2）中 创建对象，通过算术运算得到 第一定理。
一个单变量函数，寻找一个函数是表示“我具有某种属性”，这个就有了自指了。而这个函数的值为真和假，和对角线引理中0、1对应。X 是数字串，也是经过哥德尔配数后得到的一个定理，由对角线引理知道，一定是函数数量多于定理数量，也一定有一个“反转序列”是属于系统中的一个定理，但是，其结果却是 ¬Pr(x)
通过算数运算规则计算得到关于 属性 对自身的描述，翻译成形式系统的语言可以得到 “我是不可证明的”。
让数学大厦的根基受到极大威胁。数学要求系统是即是一致的又是完备的，但是哥德尔定律却表示任何一个复杂得可以包含算数运算的系统，其一致性和完备性不能同时满足。 数理逻辑中对一个定理的证明通过命题、命题变元和相应的逻辑运算符号（与、或、非、蕴含等）一定的排列和运算规则形成一个符号串，专业叫法是合式公式。这个符号串（合式公式）就是证明过程。
4. 这个定理的影响
这个定理粉粹了人们对数学绝对性的假定，也就是一致性和完备性不能同时成立，这是对人类理性自信的巨大毁灭。引发了数学上的第三次危机，从此，数学的确定性丧失了。
π小数点后某一位开始是否会出现0123456789这样一个排列，就是一个哥德尔命题。连续统假设、选择公理就是一个典型的哥德尔命题。这两个命题是如此重要，在数学的四大流派中，只有直觉主义者拒绝接受，但是如果那样的话数学中巨量的美好结论就没有了，所以绝大多数数学家是接受选择公里和连续统假设的。
四、 多人对定理的理解。今后想做什么
“哥德尔 埃舍尔 巴赫”这本书有优美的文笔，翻译也相当给力，绝对是一本非常好的作品。书的结构非常精巧。乌龟和阿基里斯的对话是对要介绍内容的一个现实空间的映射。是一个同构映射。但是觉得有些遗憾的是同构中最重要的是要保持关系不变，但是书中缺没有明确指出这一点。而且这种对应实在太复杂了。
依然觉得这是一本非常好的数，推荐看看。
[1] [1]邢滔滔.无尽的对角线[J].科学文化评论,2014,11(03):5-20.
