恢复对几何学的兴趣
笛卡尔和费马引入解析几何后的百来年里，代数和分析成为几何学的主要方法，这一时期只有英国数学家坚持尝试使微积分奠基于几何学，用综合方法而非代数、分析得到了新结果。几何方法优美直观，比如麦克劳林就喜欢几何胜过分析，因此17、18世纪的纯粹几何学虽然没有蓬勃发展，依然保持一定活力，到19世纪初，几位大数学家认为综合几何学过去被忽视了，于是努力复兴并扩展。
彭赛列（Jean-Victor Poncelet,1788-1867）是综合几何学的提倡者，他承认旧的纯粹几何学存在局限性，与解析几何的普遍性相比，综合几何的发展依赖碰巧和作者的智慧，结果也局限于特定图形。但他认为这个可以改进，希望提出新的综合方法。
沙勒（Michel Chasles,1793-1880）也支持几何方法，他否定过去宣称几何已死的说法，引用拉格朗日的观点：综合几何以其内在清晰、解法优美在某些问题中有优势，而且有些问题代数分析搞不定，比如旋转椭球体对其表面或内部一点（单位质量）的引力，麦克劳林曾用纯粹几何法解决了这个问题。沙勒还引用了比利时天文学家兼统计学家凯特勒(Lambert Adolphe Quetelet,1796-1874，他发明了BMI)的信，说轻视纯粹几何是不恰当的，有些人嫌几何方法缺乏普遍性，是因为研究它的人不够努力。为了克服缺乏普遍性，沙勒提出两条守则：1、应当把特殊定理推广到最普遍（同时还应最简单自然）结果。2、不应满足于证明一个结果，而应该找到一般方法或一部分学说。他提出一个定理的真正基础，由它可以容易得出别的定理，且具有简单直观的特性。
有些综合几何学的支持者直接攻击分析法，比如卡诺认为分析法文字难懂，是鬼画符，应该滚粗几何学，19世纪末Eduard Study (1862-1930)说坐标几何的推导过程过于机械，充满了磨坊的嘎嘎声。
他们反对解析几何不是闲的抽风，第一个问题是：解析几何到底是不是几何？其方法和结果的实质都是代数，几何意义都是隐蔽的。沙勒指出分析法过程略过了几何法的小步骤，分析法得到了答案，但起点和终点的联系是不清楚的。另一方面，几何法可以得到简单直观的证明和结论。
过去几何学被认为是关于空间和现实世界的真理，而代数、分析甚至不算数和函数的重要真理。现在这种看法不多了，不过19世纪初分析法还不完善，没建立紧密逻辑，所以几何学家理直气壮地怀疑解析证明的正确性。这场分析法与几何法之争的结局是，纯粹几何学家重申几何法的作用，因为笛卡尔创立了解析几何，19世纪初的几何学家以打败笛卡尔为目标（笛卡尔：无语）。两边吵得很激烈，纯粹几何学家Steiner威胁克雷尔，如果他要发表普吕克的分析法文章，那以后自己就不给他的《数学杂志》供稿了。
蒙日刺激了综合几何学的复兴，之前已提到他对解析几何和微分几何的贡献，他本人希望重新使用几何学作为分析学结果的启发和阐释。不过他的学生迪潘(Charles Dupin,1784–1873)、塞尔沃斯(Francois-JosephServois,1768-1847)、布里昂雄（Charles Julien Brianchon,1783-1864）、毕奥(Jean-Baptiste Biot,1774-1862)、卡诺(Lazare-Nicolas-Marguerite Carnot,1753-1823)和彭赛列产生了复兴纯粹几何学的强烈愿望。
蒙日对纯粹几何学的贡献是1799年出版的《画法几何学》，讲怎样把三维物体正交投影到两个平面上，使得从这个表示法中推断该物体的数学性质。这个图解法适用于建筑学、堡垒设计、透视学等，第一次讨论了三维图形投影到两个二维图形。不过画法几何学的思想和方法没有在后来的几何学和数学其它部分中显现。
