题11.1 已知，求证：
(1) 不是整数。
(2) 区间中没有整数。
证明 (1) 假设是正整数，则关于b的二次方程
有正整数解，这说明是平方数。
由，故
是平方数。
另一方面，因，故
，展开移项化简得：
这与
是正整数矛盾。所以假设不成立，所以
不是整数。
(2) 假设有整数，根据(1)，区间的左端点不为整数，所以：
则：
或
上面不等式合并得：
或
(11.1.2)蕴含着，舍去。
注意到：
故，于是可以作带余除法：
将之代入(11.1.1)得：
因，令
，则上式变为：
其中，这说明，若存在
使区间
内有整数，则必存在
，使区间
有整数。这就构造了一个无穷递降，矛盾。所以假设不成立，命题成立。
题11.2 证明： 是无理数。
证明 假设是有理数，那么存在互素的正整数
，满足
，从而有
于是知，所以存在一个
，使
代入(11.2.1)，化整并整理得：
所以，因
，故
。这与
矛盾。假设不成立，命题成立。
评注11.3 题11.2是一个古老的问题，一般使用无穷递降法解决，(11.2.2)巧妙构造并利用带余除法，推导一个整除性矛盾，最终证明了命题。
