先声明，用g2o来做曲线拟合，有点大材小用。g2o本身是一个通用图优化框架，可以解决本质上为非线性优化的图优化问题。
本文先介绍图优化的概念，再介绍如何将曲线拟合转化为图优化问题，最后介绍如何使用g2o解决这个问题。
一、什么是图优化？
图优化是SLAM领域针对非线性优化的一种特殊解法。这里假设我们对一般的优化问题有一定了解，比如，知道优化问题的三个要素：目标函数、优化变量和优化约束。简单说来，优化问题就是在给定约束条件下，求使目标函数最小的优化变量的值。
对应本文的曲线拟合问题，目标函数就是真实点与拟合曲线上的点的误差，优化变量就是拟合曲线的参数，约束暂时没有。如果阅读过本文集的上一篇文章《Ceres曲线拟合》，应该可以体会到Ceres是如何解决这个非线性优化问题的。而图优化则提供了一种更为新颖的解决方案。
图优化将优化变量表示为顶点，将目标函数（或称为误差项）表示为边，于是，针对每一个非线性优化问题，都可以构造一个图。这种表示方法与一般的非线性优化方法（比如最小二乘）相比，可以更细粒度地控制优化变量之间的关联，只有相关的顶点间才会建立边的连接，从而降低整个优化问题的复杂度。具体的形式下文将详细说明。
二、曲线拟合的图优化表示
对于曲线拟合问题来说，只有一组优化变量a、b和c，因此它们可以作为一个顶点，而目标函数或者说误差项，就是实际的y值与通过abc计算出来的y值之差，每一个误差项可以对abc进行一次修正，因此边的起点和终点都是同一个顶点abc。画出来是这个样子：
接下来，就可以使用g2o求解这个图优化问题了。
三、g2o曲线拟合
代码下载地址：https://github.com/jingedawang/G2OCurveFitting
按照惯例，代码量不大而且思路清晰的情况下就直接贴出来好了。
#include <iostream>
#include <g2o/core/base_vertex.h>
#include <g2o/core/base_unary_edge.h>
#include <g2o/core/block_solver.h>
#include <g2o/core/optimization_algorithm_levenberg.h>
#include <g2o/core/optimization_algorithm_gauss_newton.h>
#include <g2o/core/optimization_algorithm_dogleg.h>
#include <g2o/solvers/dense/linear_solver_dense.h>
#include <Eigen/Core>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include <cmath>
#include <chrono>
using namespace std;
// 曲线模型的顶点，模板参数：优化变量维度和数据类型
class CurveFittingVertex: public g2o::BaseVertex<3, Eigen::Vector3d>
{
public:
EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW
virtual void setToOriginImpl() // 重置
{
_estimate << 0,0,0;
}
virtual void oplusImpl( const double* update ) // 更新
{
_estimate += Eigen::Vector3d(update);
}
// 存盘和读盘：留空
virtual bool read( istream& in ) {}
virtual bool write( ostream& out ) const {}
};
// 误差模型 模板参数：观测值维度，类型，连接顶点类型
class CurveFittingEdge: public g2o::BaseUnaryEdge<1,double,CurveFittingVertex>
{
public:
EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW
CurveFittingEdge( double x ): BaseUnaryEdge(), _x(x) {}
// 计算曲线模型误差
void computeError()
{
const CurveFittingVertex* v = static_cast<const CurveFittingVertex*> (_vertices[0]);
const Eigen::Vector3d abc = v->estimate();
_error(0,0) = _measurement - std::exp( abc(0,0)*_x*_x + abc(1,0)*_x + abc(2,0) ) ;
}
virtual bool read( istream& in ) {}
virtual bool write( ostream& out ) const {}
public:
double _x; // x 值， y 值为 _measurement
};
int main( int argc, char** argv )
{
double a=1.0, b=2.0, c=1.0; // 真实参数值
int N=100; // 数据点
double w_sigma=1.0; // 噪声Sigma值
cv::RNG rng; // OpenCV随机数产生器
double abc[3] = {0,0,0}; // abc参数的估计值
vector<double> x_data, y_data; // 数据
cout<<"generating data: "<<endl;
for ( int i=0; i<N; i++ )
{
double x = i/100.0;
x_data.push_back ( x );
y_data.push_back (
exp ( a*x*x + b*x + c ) + rng.gaussian ( w_sigma )
);
cout<<x_data[i]<<" "<<y_data[i]<<endl;
}
// 构建图优化，先设定g2o
typedef g2o::BlockSolver< g2o::BlockSolverTraits<3,1> > Block; // 每个误差项优化变量维度为3，误差值维度为1
Block::LinearSolverType* linearSolver = new g2o::LinearSolverDense<Block::PoseMatrixType>(); // 线性方程求解器
Block* solver_ptr = new Block( linearSolver ); // 矩阵块求解器
// 梯度下降方法，从GN, LM, DogLeg 中选
g2o::OptimizationAlgorithmLevenberg* solver = new g2o::OptimizationAlgorithmLevenberg( solver_ptr );
// g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton* solver = new g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton( solver_ptr );
// g2o::OptimizationAlgorithmDogleg* solver = new g2o::OptimizationAlgorithmDogleg( solver_ptr );
g2o::SparseOptimizer optimizer; // 图模型
optimizer.setAlgorithm( solver ); // 设置求解器
optimizer.setVerbose( true ); // 打开调试输出
// 往图中增加顶点
CurveFittingVertex* v = new CurveFittingVertex();
v->setEstimate( Eigen::Vector3d(0,0,0) );
v->setId(0);
optimizer.addVertex( v );
// 往图中增加边
for ( int i=0; i<N; i++ )
{
CurveFittingEdge* edge = new CurveFittingEdge( x_data[i] );
edge->setId(i);
edge->setVertex( 0, v ); // 设置连接的顶点
edge->setMeasurement( y_data[i] ); // 观测数值
edge->setInformation( Eigen::Matrix<double,1,1>::Identity()*1/(w_sigma*w_sigma) ); // 信息矩阵：协方差矩阵之逆
optimizer.addEdge( edge );
}
// 执行优化
cout<<"start optimization"<<endl;
chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();
optimizer.initializeOptimization();
optimizer.optimize(100);
chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();
chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>( t2-t1 );
cout<<"solve time cost = "<<time_used.count()<<" seconds. "<<endl;
// 输出优化值
Eigen::Vector3d abc_estimate = v->estimate();
cout<<"estimated model: "<<abc_estimate.transpose()<<endl;
return 0;
}
可以看出，g2o是个更加模块化的框架，用户声明的顶点和边的类型都需要通过继承基础类来实现。代码中，顶点继承自BaseVertex模板类，需要重写oplusImpl方法以实现优化变量的更新操作，此处只需要简单的加法就可以了。边继承自BaseUnaryEdge模板类，代表这是一个一元边，即边的起点和终点重合，需要重写computeError方法以实现误差项的计算。除此之外，其它的设置操作本质上与Ceres并无区别，只不过g2o全部采用数值求导方法，而不采用自动求导。
该程序在0.0107522s内运行完毕，迭代18次。优化结果为：
estimated model: 0.890912 2.1719 0.943629
与Ceres的结果很接近，但用时长了不少，大概是因为Ceres是个轻量级框架，而g2o太过沉重，用来解决这类小问题反而得不偿失了。
四、参考资料
《视觉SLAM十四讲》第6讲 非线性优化 高翔
深入理解图优化与g2o：图优化篇 高翔
深入理解图优化与g2o：g2o篇 高翔
