1.5 条件概率与独立性

蒙提·霍尔问题(The MontyHall Problem)

The MontyHall Problem

主持人给一次改选的机会,是否应该改选2号门？
观点一 ：没有必要改选,因为此时1、2号门后面的奖品是汽车的概率都是 $1/2$ .
观点二 ：主持人打开的3号门后是羊，提供了新信息，因此改选2号门获得汽车的概率会增大。
问题：如何利用新信息计算概率？

猜硬币问题：甲左右手各抛一枚硬币，双手握住落下的硬币后，要乙猜“是否正、反各一面朝上”？乙猜对的概率是多少？

分析：样本空间为
$\Omega = \{ \mathrm { HH } , \mathrm { HT } , \mathrm { TH } , \mathrm { TT } \}$
记 $A=\{\text{正反各一面朝上}\}= \{ \mathrm { HT } , \mathrm { TH } \}$ ，则 $P(A)=1/2$

已看到结果的丙透漏“至少出现了一次正面”的信息给乙，则乙猜对同一问题的概率又是多少？

分析：由于乙此时获知 $B=\{\text{至少出现了一次正面}\}$ ，故样本空间变为
$\Omega ^ { \prime } = \{ \mathrm { HH } , \mathrm { HT } , \mathrm { TH } \} = \Omega \cap B$
所以 $P(A)=\frac23$

为什么会有不同的结果？

解释： 概念不一样，值也不一样！

严格来说，后一个概率应该是
$P ( A | B ) = \frac { 2 / 4 } { 3 / 4 } = \frac { P ( A B ) } { P ( B ) }$

条件概率

定义：设 $A,B$ 是两个事件，且 $P(B)>0$ ，记
$P ( A | B ) \triangleq \frac { P ( A B ) } { P ( B ) }$
称为在事件 $B$ 发生的条件下事件 $A$ 发生的条件概率

注：

当 $P(B)=0$ 时，条件概率 $P ( A | B )$ 没有意义
条件概率的直观理解
- $B$ 先于 $A$ 发生， $B$ 是“因” $A$ 是“果”？
- $B$ 带来的“信息”提供了对 $A$ 的“推断”的新认识
- 实际上， $B$ 可能已经发生，也可能没有发生，而仅仅是一种假设；或者说， $A$ 、 $B$ 之间只是相互关联，但未必是某种严格的“因果”关系

图中P(A) = 0.30 + 0.10 + 0.12 = 0.52，条件概率P(A|B_1) = 1, P(A|_B2) = 0.12 / (0.12 + 0.04) = 0.75, P(A|B_3) = 0

例：据长期监测发现甲、乙两信号出现的概率分别为20%和18%, 两信号同时出现的概率为12%. 试推断甲、乙两信号是否有关联？

解：记 $A$ 表示甲信号出现， $B$ 表示乙信号出现。则
$P ( A ) = 0.20 , P ( B ) = 0.18 , P ( A B ) = 0.12$
所以
$\begin{array} { l } { P ( A | B ) = \frac { P ( A B ) } { P ( B ) } = \frac { 0.12 } { 0.18 } = 0.67 } \\ { P ( B | A ) = \frac { P ( A B ) } { P ( A ) } = \frac { 0.12 } { 0.20 } = 0.60 } \\ { P ( A \cup B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B ) = 0.26 } \end{array}$
因 $P ( A \bigcup B )$ 较小，而 $P ( A | B ) , P ( B | A )$ 较大，故推断甲、乙两信号存在关联。

Q：为什么还需要 $P ( A \bigcup B )$ 较小作为判断的条件？

这个例子不太能够说明问题，最好不讲！

条件概率的基本性质

设 $P(B)>0$ ，则有

非负性：对任一事件 $A$ ，有 $P ( A | B ) \geq 0$
规范性：对于必然事件 $\Omega$ ，有 $P ( \Omega | B ) = 1$
可列可加性：设 $\{A_k\}$ 是两两不相容事件列，则有
$P \left( \bigcup _ { k = 1 } ^ { \infty } A _ { k } | B \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } P \left( A _ { k } | B \right)$

证（3）：因为 $\{A_k\}$ 两两不相容，故 $\left\{ A _ { k } \cap B \right\}$ 两两不相容，故
$\begin{aligned} P \left( \bigcup _ { k = 1 } ^ { \infty } A _ { k } | B \right) & = \frac { P \left\{ \left( \bigcup _ { k = 1 } ^ { \infty } A _ { k } \right) \cap B \right\} } { P ( B ) } = \frac { P \left\{ \cup _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( A _ { k } \cap B \right) \right\} } { P ( B ) } \\ & = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } P \left( A _ { k } \cap B \right) } { P ( B ) } \\ & = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { P \left( A _ { k } B \right) } { P ( B ) } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } P \left( A _ { k } | B \right) \end{aligned}$

注：以上三条性质说明， 条件概率也是概率

分析：设原概率空间为 $\{ \Omega , \mathscr { F } , P \}$ ，因为 $B$ 已发生，所以新的样本空间变为
$\Omega _ { B } = \Omega \cap B$
记 $P _ { B } ( A ) = P ( A | B )$ ，则条件概率空间为
$\left\{ \Omega _ { B } , \mathscr { F } , P _ { B } \right\}$

乘法公式

由条件概率的定义出发，可得
$P ( A B ) = P ( B | A ) P ( A ) = P ( A | B ) P ( B ) \quad ( P ( A ) > 0 , P ( B ) > 0 )$
该公式可以进一步推广为（如果 $P \left( A _ { 1 } A _ { 2 } \cdots A _ { n } \right) > 0$ ）
$\begin{aligned} P \left( A _ { 1 } A _ { 2 } \cdots A _ { n } \right) & = P \left( A _ { n } | A _ { 1 } A _ { 2 } \cdots A _ { n - 1 } \right) P \left( A _ { 1 } A _ { 2 } \cdots A _ { n - 1 } \right) \\ & \vdots \\ & = P \left( A _ { 1 } \right) P \left( A _ { 2 } | A _ { 1 } \right) P \left( A _ { 3 } | A _ { 1 } A _ { 2 } \right) \cdots P \left( A _ { n } | A _ { 1 } A _ { 2 } \cdots A _ { n - 1 } \right) \end{aligned}$
这相当于将同时发生的事件概率计算转化为有序发生的事件的概率来计算。

例：某球队要经过三轮比赛才能出线。该球队第一轮比赛被淘汰的概率为 $0.5$ ，第二轮比赛被淘汰的概率为 $0.7$ ，第三轮比赛被淘汰的概率为 $0.9$ ，求球队出线的概率。

解：记 $A_i=\{$ 球队第 $i$ 轮被淘汰 $\},i=1,2,3$ ，则
$\begin{aligned} P\{\text{球队出现}\} & = P \left( \overline { A } _ { 1 } \overline { A } _ { 2 } \overline { A } _ { 3 } \right) \\ & = P \left( \overline { A } _ { 3 } | \overline { A } _ { 1 } \overline { A } _ { 2 } \right) P \left( \overline { A } _ { 1 } \overline { A } _ { 2 } \right) \\ & = P \left( \overline { A } _ { 3 } | \overline { A } _ { 1 } \overline { A } _ { 2 } \right) P \left( \overline { A } _ { 2 } | \overline { A } _ { 1 } \right) P \left( \overline { A } _ { 1 } \right) \\ & = ( 1 - 0.9 ) ( 1 - 0.7 ) ( 1 - 0.5 ) \\ & = 0.015 \end{aligned}$

例：袋中有 $a$ 只红球 $b$ 只白球，每次任取一球，取后放回，同时向袋中放入同颜色的球 $c$ 只。然后再从袋中取出一球，重复第一次的做法，设共取了 $3$ 次。求三次取出的球分别是白、红、白的概率。

解：记 $A_i=\{\text{第}i\text{次取到白球}\},i=1,2,3$ ，则
$\begin{array} { l } { P \left( A _ { 1 } \right) = \frac { b } { a + b } } \\ { P \left( \overline { A } _ { 2 } | A _ { 1 } \right) = \frac { a } { a + b + c } } \\ { P \left( A _ { 3 } | A _ { 1 } \overline { A } _ { 2 } \right) = \frac { b + c } { a + b + 2 c } } \end{array}$
三次取出的球分别是白、红、白的概率为
$\begin{aligned} P \left( A _ { 1 } \overline { A } _ { 2 } A _ { 3 } \right) & = P \left( A _ { 1 } \right) P \left( \overline { A } _ { 2 } | A _ { 1 } \right) P \left( A _ { 3 } | A _ { 1 } \overline { A } _ { 2 } \right) \\ & = \frac { a b ( a + b ) } { ( a + b ) ( a + b + c ) ( a + b + 2 c ) } \end{aligned}$

事件的独立性

设 $A,B$ 是两个事件，若则称事件 $A,B$ 相互独立，简称独立。

两个事件 $A,B$ 相互独立，意味着
$P ( A | B ) = P ( A ) , P ( B | A ) = P ( B )$
例如：甲乙二人各抛一枚硬币，记事件 $A=\{\text{甲抛出正面}\}$ ， $B=\{\text{乙抛出正面}\}$ ，则可以验证 $A,B$ 相互独立

更进一步地，设 $A,B,C$ 是三个事件，若
$\begin{aligned} P ( A B ) & = P ( A ) P ( B ) \\ P ( B C ) & = P ( B ) P ( C ) \\ P ( C A ) & = P ( C ) P ( A ) \\ P ( A B C ) & = P ( A ) P ( B ) P ( C ) \end{aligned}$
则称事件 $A,B,C$ 相互独立，简称独立。

注：三个事件相互独立不仅仅意味着它们是两两独立的。

例：袋中有红、白、黑球各一个，染有红、白、黑三色的彩球一个.从袋中任取一球，记 $A,B,C$ 分别表示取到的球上分别有红、白、黑三色，则
$\begin{array} { l } { P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ { P ( A B ) = P ( B C ) = P ( C A ) = \frac { 1 } { 4 } } \end{array}$
故 $A,B,C$ 两两独立。但是
$P ( A B C ) = \frac { 1 } { 4 } \neq \frac { 1 } { 8 } = P ( A ) P ( B ) P ( C )$
故 $A,B,C$ 不是相互独立的。

思考：

必然事件是否与任意事件独立？（是）
不可能事件是否与任何事件独立？（是）
事件{甲患感冒}与事件{乙患感冒}是否相互独立？（？）

问： $A,B$ 相互独立与 $A,B$ 不相容有什么关系？
答：不能同时成立！

问：若 $A,B$ 独立， $\overline { A } , \overline { B }$ 是否独立？

分析：若 $P ( A B ) = P ( A ) P ( B )$ ，则
$P ( A B ) = P ( A ) ( 1 - P ( \overline { B } ) ) = P ( A ) - P ( A ) P ( \overline { B } )$
进而
$\begin{aligned} P ( A ) P ( \overline { B } ) & = P ( A ) - P ( A B ) \\ & = P ( A - A B ) \\ & = P ( A \overline { B } ) \end{aligned}$
故 $A, \overline { B }$ 独立。进而可知 $\overline { A } , B$ 独立， $\overline { A } , \overline { B }$ 独立。

例：某型号速射炮单发弹击中目标的概率为 $p$ ，试求连续发射 $n$ 发炮弹能击中目标的概率。

解：记 $A_i=\{\text{第}i\text{发击中目标}\},i=1,2,...,n$ ，易知 $A_1,A_2,...,A_n$ 相互独立，所以概率
$p _ { n } = P \left( \bigcup _ { i = 1 } ^ { n } A _ { i } \right) = 1 - P \left( \bigcap _ { i = 1 } ^ { n } \overline { A } _ { i } \right) = 1 - ( 1 - p ) ^ { n }$
若 $p=0.001$ ，则 $p _ { n } = 1 - 0.999 ^ { n }$

发射n发炮弹的命中概率

国产航母1130型近防炮每分钟可发射10000发（每秒约166发）炮弹，所携炮弹可连续射击约7.7秒，打击飞行速度达4马赫来袭的空中目标，拦截成功率可达96%

国产航母1130型近防炮

“天下武功，唯快不破”

注：

即使 $p$ 很小，但只要试验不断进行下去，小概率事件几乎必然要发生
绝不能轻视小概率事件！(量变→质变)
关于事件独立性的确定往往需要结合问题的背景加以分析

例（配对问题）旅社管理员共管 $𝑛$ 间客房，房门钥匙标牌丢失，随机地将这 $𝑛$ 间客房的钥匙分发给 $𝑛$ 个旅客，问至少有一人能打开房门的概率是多少？

分析：记： $𝐴_𝑖$ :第 $𝑖$ 个房门可以打开, $𝑖=1,2,…,𝑛$ ， $𝐴$ :至少有一个房门可以打开，利用加法公式
$\begin{array} { l } { P ( A ) = P \left( \bigcup _ { i = 1 } ^ { n } A _ { i } \right) } \\ { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } P \left( A _ { i } \right) - \sum _ { i < j } P \left( A _ { i } A _ { j } \right) + \cdots + ( - 1 ) ^ { n - 1 } P \left( A _ { 1 } A _ { 2 } \ldots A _ { n } \right) } \end{array}$
又由乘法原理公式
$P \left( A _ { i } \right) = \frac { 1 } { n } , P \left( A _ { i } A _ { j } \right) = \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } , \ldots , P \left( A _ { 1 } A _ { 2 } \ldots A _ { n } \right) = \frac { 1 } { n ! }$
故
$\begin{array} { l } { P ( A ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } P \left( A _ { i } \right) - \sum _ { i < j } P \left( A _ { i } A _ { j } \right) + \cdots + ( - 1 ) ^ { n - 1 } P \left( A _ { 1 } A _ { 2 } \ldots A _ { n } \right) } \\ \quad{ = C _ { n } ^ { 1 } \frac { 1 } { n } - C _ { n } ^ { 2 } \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } + \cdots + ( - 1 ) ^ { n } C _ { n } ^ { n } \frac { 1 } { n ! } } \\ \quad{ = 1 - \frac { 1 } { 2 ! } + \frac { 1 } { 3 ! } - \cdots + ( - 1 ) ^ { n } \frac { 1 } { n ! } } \end{array}$

系统可靠性的概念

例：某系统由四个部件I、II、III、IV 构成，见下图

系统可靠性

设每个部件的可靠性均为 $p$ ，且四个部件是相互独立的。求整个系统的可靠性。

解：设 $A_i$ 表示第 $i$ 个部件正常， $i=1,2,3,4$ ，则
$\begin{array} { l } { \text{系统的可靠性}= P \left\{ A _ { 1 } A _ { 2 } \cup A _ { 3 } A _ { 4 } \right\} } \\ { = P \left( A _ { 1 } A _ { 2 } \right) + P \left( A _ { 3 } A _ { 4 } \right\} } \\ { = P \left( A _ { 1 } \right) P \left( A _ { 2 } \right) + P \left( A _ { 3 } \right) P \left( A _ { 4 } \right) - P \left( A _ { 1 } A _ { 2 } \right) P \left( A _ { 3 } A _ { 4 } \right) } \\ { = p ^ { 2 } + p ^ { 2 } - p ^ { 2 } p ^ { 2 } } \\ { = p ^ { 2 } \left( 2 - p ^ { 2 } \right) } \end{array}$

课后思考题：习题一：15，16，17，18，19